用数学眼光看社会热点问题_数学眼光看道家答案
时间：2020-02-23 07:27:06 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学来源于生活,又应用于生活.关注社会、关注民生是新课标的要求,也是时代的呼唤.用数学眼光观察社会生活,关注热点问题,进而利用数学为社会服务,不仅能够进一步提高数学应用能力,而且能够增强自身的综合素质.下面略举几例与大家共同欣赏.
1 关注民生需“保障”,和谐发展求“经适”
房地产市场的健康发展关系着国家的长治久安.针对居高不下的房价,国务院出台了多项抑制房价的措施,其中要求各级地方政府必须保证一定比例的“经济适用房”和“安居保障房”的建设.
问题1 假设某市2008年新建住房400万平方米,其中有250万平方米是中低价房.预计在今后的若干年内,该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外,每年新建住房中,中低价房的面积均比上一年增加50万平方米.那么,到哪一年底,
(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2008年为累计的第一年)将首次不少于4750万平方米？
(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？
解 (1)设中低价房面积形成数列{an},由题意可知{an}是等差数列,
其中a1=250,d=50,则Sn=250n+n(n-1)2×50=25n2+225n,
令25n2+225n≥4750,即n2+9n-190≥0,而n是正整数, 所以n≥10．
到2017年底,该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4750万平方米．
(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可知{bn}是等比数列,
其中b1=400,q=1�08,则bn=400•(1�08)n-1
由题意可知an>0�85 bn,有250+(n-1)•50>400•(1�08)n-1•0�85．
由计算器解得满足上述不等式的最小正整数n=6．
到2013年底,当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%．
点评 本题是关于住房面积问题,其中新建住房面积包括中低价房与非中低价房,“增长8%”与“增加50万平方米”意味着新建住房面积成等比数列,中低价房面积成等差数列.本题实质上是关于等差数列与等比数列的通项与求和问题,其中涉及到解不等式和不等式的估算.
2 土地资源不再生,计划使用要珍惜
最近十几年,我国由于房地产开发、生产建设用地需求量大,另一方面人口基数大,种粮用地不能少.为此国家划定种粮用地红线.要解决发展和吃饭的矛盾,必须有计划地用地.
问题2 某地现有耕地10000公顷,规划10年后粮食单产比现在增加22%,人均粮食产量比现在提高10%.如果人口年增长率为1%,那么耕地平均每年至多只能减少多少公顷(精确到1公顷)？
(粮食单产=总产量耕地面积,人均粮食产量=总产量总人口数)
分析 此题以关系国计民生的耕地、人口、粮食为背景,要求从两条线索中抽象出有关数学模型,然后进行比较和决策.
解析 问题涉及耕地面积、粮食单产、人均粮食产量、总人口数及三个百分率,其中人均粮食产量=粮食单产×耕地面积总人口数.
设耕地面积平均每年至多只能减少x公顷,又设该地区现有人口为P人,粮食单产为M吨/公顷.现在人口数为P,则现在人均粮食产量为M×104P,10年后粮食单产为M(1+0.22),人口数为P(1+0.01)10,耕地面积为(104-10x)
依题意得不等式
M×(1+22%)×(104-10x)P×(1+1%)10≥M×104P×(1+10%)，
化简得
x≤103×［1-1.1×(1+0.01)101.22］=103-1.1×103×(1+0.01)101.22，
因为(1+0.01)10≈1.1046,所以x≤103-995.9≈4(公顷)
所以按规划该地区耕地平均每年至多只能减少4公顷．
点评 本题主要抓住各量之间的关系,注重三个百分率.其中耕地面积为等差数列,总人口数为等比数列,问题用不等式模型求解.在解答应用问题时,强调“评价”这一步不可少.它是解题者的自我调节,比如本题求解过程中若令1.0110≈1,算得结果为x≤98公顷,自然会问：耕地减少这么多,符合国家保护耕地的政策吗？于是进行调整,检查发现是错在1.0110的近似计算上.原题中没有提供(1+0.01)10≈1.1046,这就需要学生运用二项式定理根据精确度要求取近似值.
3 节约能源倡绿色,低碳生活是时尚
目前我国原油对外依赖度首超美国,能源战略关系到国家的可持续发展问题.全球各个国家都在制定能源战略,没有能源就没有发展.所以一方面积极寻找能源、开发新能源,另一方面,提倡低碳生活,减少能源消耗.
问题3 (2010年湖北)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位：万元)与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x)=k3x+5(0≤x≤10),若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式；
(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值．
解析 (1)设隔热层厚度为x cm,则由题设知该建筑物每年的能源消耗费用C(x)=k3x+5(0≤x≤10).
当x=0时,C(x)=8,求得k=40,所以C(x)=403x+5(0≤x≤10).
又因为建筑物隔热层费用为6x万元,
故f(x)=6x+403x+5×20=6x+8003x+5(0≤x≤10).
综上得k=40,f(x)=6x+8003x+5(0≤x≤10).
(2)由(1)得f(x)=2(3x+5)+8003x+5-10≥22(3x+5)•8003x+5-10=70,
当且仅当2(3x+5)=8003x+5
0≤x≤10,即x=5时取等号.
故当隔热层修建的厚度为5 cm时,总费用f(x)达到最小,且最小值为70万元.
点评 本题以时尚且全球都在倡导的低碳生活为背景,以建造隔热层为元素构造一个函数问题的应用题.对每个考生而言,其背景简单,列式容易且贴近生活.解第(2)问时只用到基本不等式这个基础知识,当然还可以利用导数知识完成.纵观本题,回归了数学应用题的本质,有效地考查了学生对函数、不等式、导数等知识的掌握,真正体现了数学源于生活,反过来又应用于生活.本题最大的价值在于其应用价值.
4 食品安全大如天,配置合理最优化
儿童是祖国的未来.三聚氰胺事件牵动着每一个人的心,儿童的食品安全尤其重要,为了使儿童能够健康成长,必须合理配置,选择最优化方案.
问题4 (2010广东理)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．
如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2�5元和4元,那么要满足上述的营养要求,并且花费最少,应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
解 设该儿童分别预订x,y个单位的午餐和晚餐,共花费z元,则z=2.5x+4y.可行域为
12x+8y≥64
6x+6y≥42
6x+10y≥54
x≥0, x∈N
y≥0, y∈N,即3x+2y≥16
x+y ≥7
3x+5y≥27
x≥0, x∈N
y≥0, y∈N
作出可行域如下图所示：
经试验发现,当x=4,y=3 时,花费最少,为z=2.5×4+4×3=22元．
故应当为该儿童分别预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐,总花费22元.
点评 本题实质上是利用线性规划解决最优化问题.利用线性规划解决实际应用问题,需要通过审题理解题意,找出各量之间的关系,最好是列成表格,找出线性约束条件,写出所研究的目标函数,通过数形结合解答问题.
5 金融风暴危害大,政策杠杆来调控
为了保证金融秩序,金融机构(主要是各个商业银行)必须将存款的一部分保持在中央银行,这部分存款叫做存款准备金；存款准备金占金融机构存款总额的比例则叫做存款准备金率.比如说,如果存款准备金率为7%,就意味着金融机构每吸收100万元存款,要向央行缴存7万元的存款准备金,用于发放贷款投资的资金为93万元.倘若将存款准备金率提高到7�5%,那么金融机构的可贷资金将减少到92�5万元.
在存款准备金制度下,金融机构不能将其吸收的存款全部用于发放贷款,必须保留一定的资金即存款准备金,以备在特殊情况下,客户提款的需要,因为存款准备金制度有利于保证金融机构对客户的支付.随着金融制度的发展,存款准备金逐步演变为重要的货币政策工具.当中央银行降低存款准备金率时,金融机构用于贷款的资金就增加,社会的贷款总量和货币供应量将相应增加；反之,社会的贷款总量和货币供应量将相应减少.中央银行通过调整存款准备金率,可以影响金融机构的信贷扩张能力,从而间接调控货币供应量.
假设客户甲在银行存入100万元,银行的准备金率是10%,银行要扣除10万元作为准备金,有90万元可以用来贷款.设银行把这90万元贷给了客户乙,客户乙将这笔钱存入了自己的账户中(不妨假设与客户甲存入的是同一个银行,并且没有现金流出),该银行得到了客户乙的90万元后,又可以用它来贷款.具体地说,银行要扣除9万元(90万元的10%)作为准备金,用剩下的81万元发放贷款.依次下去,…….由此可以看出,某个客户将100万元存入银行后,通过上述方式,在银行里,存入的钱数和能够贷出的款数远远不止100万元.
问题5 我们考虑以下理想情况：客户存款到银行后,没有现金的流出,并且这个银行除了缴纳存款准备金外,其余资金都能发放贷款,收到贷款的单位又是将其存入贷款的银行,在这个过程中,不计存款的利息.试根据以上的叙述,上网查阅得到08年1月我国的存款准备金率是15%,之后我国的存款准备金率不断上调,目前(2011年7月)大约为20%,请计算：在08年1月、2011年7月,如果一家银行吸收了1000万元,银行由此分别最多能产生多少金额的贷款？
解析 当银行准备金率是15%时,银行吸收了1000万元,因此最多能产生的贷款总额是
1000×(85%+(85%)2+(85%)3+……)=1000×0.85(1-0.85n)1-0.85→5666.55(万元)
当银行准备金率是20%时,银行吸收了1000万元,因此最多能产生的贷款总额是
1000×(80%+(80%)2+(80%)3+……)=1000×0.80(1-0.80n)1-0.80→4000(万元)
所以当存款准备金率为15%时,该银行有1000万元在理想状态最多产生5666�55万元的贷款；当存款准备金率为20%时,该银行有1000万元在理想状态最多产生4000万元的贷款；
点评 我国的存款准备金率根据我国经济发展情况不断作出调整,上网查询可以看出,为了抑制经济过热,深层次引导百姓理财行为,存款准备金率在上调.最近美国金融信用等级下调,带动世界经济恐慌.眼下二次衰退给西方带来的不仅是经济冲击,还有制度质疑.了解金融资本金制度有助于安排自己的理财行为,了解美国等西方国家利用金融工具掠夺世界的本质.
方法归纳：解决应用问题重点过好下面三关：
(1)事理关：读懂题意,知道哪些是已知条件,要求的结论是什么.
(2)文理关：需要将“问题情景”的文字语言转化为数学的符号语言,用数学式子表达关系.
(3)数理关：在构建数学模型的过程中,要求有对数学知识的检索能力,认定或构建相应的数学模型,完成由实际问题向数学问题的转化,此后解答过程也需要比较扎实的基础知识和较强的数理能力.
随着新课标的实施和高考改革的不断深入,对应用型问题的考查越来越重视,预计在今后的高考中,不但会加大题量,而且还会从广度和一定深度上全方位考查,考查学生的综合运用数学知识解决实际问题的能力.进一步讲,提高数学应用能力,有助于提高我们用数学眼光观察社会现象的能力,从而使我们在纷繁复杂的大千世界中保持清醒的头脑.
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