“质点的动能定理”的另一种表达形式|质点动能定理微分形式

时间：2019-01-28 03:32:06　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要:利用矢量投影从质点的动能定理的常见表达形式导出了另一种表达形式,并从动力学的角度给出了这种表达形式的证明,该表达形式的动能定理更能揭示出质点某个方向的动能改变的原因。
　　关键词:质点;动能定理;表达形式
　　
　　众所周知的质点的动能定理――质点动能的微分dE■等于质点所受合外力F对质点所作的元功δW,其数学表达式为
　　dE■=δW(1)
　　其中质点的动能为(m为质点的质量,v为质点的速度)
　　E■=■mv■=■mv・v.
　　力F对质点所作的元功为(dr为质点的元位移):
　　δW=F・dr
　　式中δ表示一个不一定是全微分的小量。
　　质点的动能定理(1)式是一个标量方程.若在惯性参考系上固连一个直角坐标系Oxyz,将其中涉及的两个矢量v和F分别在x方向,y方向,z方向投影,形式上可得到:
　　dE■=δW■dE■=δW■dE■=δW■(2)
　　即质点在某方向的动能的微分等于质点所受合外力F在该方向的分力对质点所作的元功。(2)式能否作为质点的动能定理的另一种表达形式?
　　一、动力学推导
　　选择惯性参考系,设质量为m的质点在合外力F的作用下沿某一曲线运动,建立一直角坐标系Oxyz,质点加速度为:
　　a=a■+a■+a■
　　质点所受合外力为:
　　a=F■+F■+F■
　　质点动力学方程为:
　　F=ma,(3)
　　设受力质点发生元位移
　　dr=dxi+dyj+dzk,
　　合外力F在x方向的投影F■所做的元功δW■即为以F■标乘dr,有
　　δW■=F■dr
　　 =F■・(dr+dyj+dzj)
　　 =F■dx
　　上式化简利用了i・i=1,i・j=0.i・k=0再利用质点动力学方程(3)式在方向的投影,得
　　δW■=ma■.d■
　　又因为a■=■,v■=■,上式可化为:
　　δW■=m■dx=m■dv■=mv■■
　　m为恒量,可移到微分符号后。上式变换为:
　　δW■=d(■mv■■)
　　不妨把■mv■■叫做x方向的动能,记为
　　E■,上式即为:
　　dE■=δW■
　　即质点在方向的动能的微分dE■等于质点所受合外力F在x方向的投影F■对质点所作的元功δW■.同理可得(2)式中的其余两式.故(2)式确为质点的动能定理的另一种表达形式。
　　二、结束语
　　利用矢量投影从质点的动能定理的常见表达形式(1)式导出了另一种表达形式(2)式,并根据牛顿第二定律从动力学的角度给出了(2)式的证明,同时很容易看出,(2)式中的三个式子相加,即是(1)式,与(1)式相比,(2)式更能揭示出质点的动能定理的本质,沿某个固定方向的力对质点作功是改变质点这个方向的动能的原因,在某些需要考虑质点某个方向的动能的增量的具体问题中,使用(2)式比(1)式更直截了当。
　　参考文献
　　[1]周衍柏.理论力学教程(2版).北京:高等教育出版社,1986.
　　
　　作者单位:
　　山西太原师范学院物理系
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