【一类数列与算法相结合的考题】数列极限的求法

时间：2019-04-09 03:24:25　来源：雅意学习网本文已影响人

　　数列是高中数学的重要内容之一，在高考中亦有相当重要的地位。随着新课程的普及，算法知识已逐渐为老师和学生所知晓。近些年来，经常可以看到数列和算法知识相结合的新考题，这成为高中数学新课程教学的一大亮点。本文通过实例来浅析这类新考题，希望能对正在进行高中新课程教学的同行们起到有益启示。
　　1.数列和算法的结合点
　　数列是一类特殊的函数，所以它可以和函数知识结合得很好，那么数列和算法又是如何很好地结合在一起的呢？其结合点又是什么呢？我们可以先看下面一道考题：
　　例1 已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图，若k=5，k=10时，分别有S=511和S=1021。
　　(1)试求数列{an}的通项；
　　(2)令bn=2an，求b1+b2+…+bm的值。
　　分析：由程序框图中的语句ai+1=ai+d可以比较明显看出an是个等差数列，除此之外，程序框图还给出了S的表达式，即：S=1a1a2+1a2a3+…+1akak+1，再联系到an是等差数列，利用题目给的已知条件就可以求出an的表达式。
　　由上述例题可以看出，对算法知识的了解和掌握，正确解读程序框图，是解决问题的基础，而准确迅速地找到程序框图中所包含的等差或等比数列的通项公式或者与之相关的表达式，则是解决问题的关键。
　　数列是一组具有离散性、规律性的数的集合，而数列的通项公式是对数列中各项的一种普遍性表达，其具有的高度概括性可以使得算法程序很容易地把数列中的每一项都轻松地表示出来。如例1中的算法语句ai+1=ai+d清楚地表示了数列的每一项。因此可以说数列通项就是数列与算法的内在联系点，也是数列和算法的完美结合点。
　　2.数列和算法相结合问题的题型与解法
　　在明确了数列的通项公式是数列与算法的结合点之后，那么如何在算法程序中获得数列的通项表达式或与通项有关的表达式就是解决这类问题的基本出发点。一般来说，数列和算法相结合的考题大致有两类，一类如例1所示的已知程序框图求通项公式，再利用求出的通项公式解决数列的一系列问题。现以例1来详细说明一下解决这类问题的一般步骤。
　　第一步：分析算法程序框图，弄清程序过程。
　　例1中的程序框图包含了一个循环过程，表示在给定的条件下求S，即求一组数列的前k项和。程序框图的过程分析如下。
　　①设定a1、d和k值，并给S、M、i赋值；②判断循环条件i≤k，满足则进行第③步，否则跳到第⑦步；③计算ai+1=ai+d；④计算M=1aiai+1；⑤计算S=S+M；⑥i自身增加1；⑦输出最终S值，程序结束。
　　第二步：找到表示数列通项的关键语句，并求出通项。
　　在弄清楚了程序的过程之后，我们需要找到解题的钥匙——数列通项。该程序中包含两个数列{ai}和{Mi}，程序框图中所含的有关的数列表达式语句分别为ai+1=ai+d、M=1aiai+1和S=S+M。我们把程序中的表达式语句稍微变化一下，得到ai+1=ai+d、Mi=1aiai+1和Si+1=Si+Mi。这样的表达式就更符合数列表达式的书写习惯，利用数列知识可以求得第一小题中的{an}的通项。
　　第三步：“抛开”程序框图，利用纯数列知识解决相关的数列问题。
　　在求出了数列的通项后，我们就可以“抛开”程序框图的影响，变程序题为单纯的数列题，利用所学的数列知识，求出第二小题。
　　除了上述的题型外，另一类的数列和算法相结合的考题类型为：通过添加一个或一些语句，从而产生一个特定数列。这里不再举例说明。
　　新课程的教学需要更加灵活，其知识的互相结合也更加紧密，更加贴近实际。新课程对教师来说，不仅有教育教学理念的挑战，而且有数学及科学知识方面的挑战。在新课程的背景下，“学生需要一杯水，教师则要有一桶水”的要求不仅没有过时，反而被赋予了更为丰富的内涵。教师在不断提升自己专业知识水平的同时，更要帮助学生消除对新课程、新知识、新题型的神秘感和畏惧心理，使学生真实地参与到新课程的学习中来。
　　（作者单位：安徽省太和一中）

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