【适应横向速度变化的波动方程偏移程序】 波动方程表达式
时间：2019-02-02 03:31:01 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文实现了时间―空间域和频率―波数域的地震波场外推，在时间―空间域实现了65度波动方程有限差分偏移，在频率―波数域实现了只适合地震波速度，仅随深度变化的相移法偏移和适应地震波速度横向变化的分裂步有限差分偏移。
关键词： 65度方程 有限差分 相移法偏移 分裂步傅立叶偏移（SSF）
一、引言
1972年克莱鲍特（J.Clearbout）首先提出波动方程有限差分偏移法，给出了至今仍然广泛应用的15度方程。虽然这种偏移技术只能对倾角很小地质构造进行成像，但是我们今天所用的各种偏移技术都借鉴了克莱鲍特对于波动方程的处理方法。1978年盖兹达格（Gazdag）提出相移法偏移，同样是在频率―波数域偏移，相移法能够适应地震波速度随深度变化的情况，也是到目前为止速度仅随深度变化地质模型的最佳偏移方法，其计算量远小于波动方程有限差分偏移技术，没有倾角限制，没有假频的危险，可是这种方法还不能适应地震波速度的横向变化。1990年Stoffa提出分裂步傅立叶变换法（SSF）偏移，也叫相移加校正偏移，对相移法进行改进适应地震波速度横向变化，在频率域进行相位移动以后，在频率―空间域再做一次相位校正。这种方法没有倾角限制，计算量也较小，但是它要求速度函数是平滑的（一阶可导），不能适应地震波速度横向变化剧烈的地区。
我从地震波动理论出发，根据前人所做的工作，分别在时间―空间域和频率―波数域，实现了单程波动方程地震波场延拓。运用爆炸反射模型的概念，在时间―空间域和频率―空间域实现了零偏移距（叠后）65度波动方程有限差分偏移。在频率―波数域实现了相移法偏移，进一步的，根据Stoffa的推导实现了分裂步傅立叶（SSF）偏移以适应地震波速度的横向变化。在此基础上，设计了向斜构造地层模型来验证相移法偏移。
二、理论基础与程序实现方法
1.爆炸反射面成像原理
图1显示了两种波动传播情形，第一种是假象的地下反射层突然爆炸的实验，地表布置一排假想的检波器，记录从假想的爆炸反射面向上传播到地表的波动。
图1在地表所有的点布置炮―检对观测回声信号（左边）与“爆炸反射面”概念模型（右边）
注意图中野外记录情况下的射线路径与爆炸反射面情形的射线路径看起来是一样的。想象这两种波场（观测波场和假想波场）是一样的，这将给我们带来概念上的方便。如果它们是相同的，我们就可以忽略数以千计的业已做过的试验，而把注意力集中到一个假想的试验上。两种情况的一个明显的区别是野外观测系统中的波必须先向下传播然后又沿相同的路经向上传播，而假想实验只需要向上传播。野外实验的旅行时除以2，实际上，通常在分析野外实验数据（双程走时）时，都假设其声波速度为实际速度的一半。类比零偏移数据和爆炸反射模型，我们用爆炸反射模型零时刻的波场来表示地下地层的构造图像。
2.波动方程有限差分偏移
根据Clerbout的15度近似单程波方程
+=0 （1）
利用地面记录的零偏移距地震波场外推得到地下任意点的地震波场，根据爆炸反射面概念，认为零时刻地下任意点的波场振幅即为该点的反射强度，即为地下反射界面图像。
将方程（1）进行差分离散，并根据初始条件和边界条件：
p=φ，z=0的边界条件 （2）
并且，p=p=0侧边界条件（可以用吸收边界等替代） （3）
还有初始条件p=0 （4）
我们从j=1，n=N开始，考虑所有的1≤i≤I，以及侧边界条件（3），就可以形成一个三对角方程组：
1+2a-a0… 0 0-a1+2a-a … 000 -a1+2a …0 0M MMO M M000… 1+2a -a000… -a 1+2a pppMpp
=cccMcc（5）
方程（5）可以通过追赶法求解，得到p，1，2，…，I。对所有j和n循环可求出所有p，i=1，2，…，I；j=1，2，…，J；n=1，2，…，N，应用成像条件t′=τ，p即为最终输出图像。
有限差分45度和65度方程偏移法：
考虑（10）式时我们不是直接把?鄣p/?鄣z′忽略，而是进一步对z′求导，利用（10）式消去?鄣p/?鄣z′，然后略去?鄣p/?鄣z′得到45度方程:
-+=0 （6）
用系数优化的方法把上式中的1/4和1/2分别由0.3767和0.4761代替可以得到65度方程，它们的差分求解方法类似于15度方程。
3.速度随深度变化的相移法偏移
相移法用exp（ikz）直接进行向下外推，然后估算t=0时（反射面在t=0时激发）的波场。先对时间剖面进行二维傅立叶变换，然后把所有在（k，ω）平面内的变换后数据值乘以下式进行相位移：
е=exp{-i［1-（）］△z} （7）
总结起来，相移法的计算步骤为：
（1）对输入叠加剖面进行二维傅立叶变化，把p（x，z，t）变换为p（k，0，ω）；
（2）对变换域波场进行相位移，即乘以因子C，即：
p（k，j△z，ω）=C×p（k，（j-1）△z，ω），j=1，2，…，J；
（3）对所有频率ω求和，得到p（k，j△z，t=0）=p（k，j△z，ω），j=1，2，…，J；
（4）沿k进行反傅立叶变换，得到p（x，z）即为地层映像。
4.分裂步傅立叶偏移（SSF）
Stoffa把慢速度场（速度的倒数）分为两部分，一部分称为参考慢度u，另一部分称为慢度扰动△u=u（，z）。与速度随深度变化的相移法一样，先用参考慢速做一次相移，再在频率空间域在每一空间位置用慢速扰动做一次相位校正，从而适应地震波速的横向变化。具体偏移步骤为：
（1）首先把地面波场变换到频率-波数域p（，z=0，ω）；
（2）用参考慢度场把地面波场向下延拓，即p（，z+△z，ω）=p（，z，ω）е其中k=ω；
（3）把延拓后的波场变换到频率空间域p（，z+△z，ω）；
（4）根据慢度扰动△u再次相移，即p（，z+△z，ω）=p（，z+△z，ω）е；
（5）对所有的频率求和得到地下任意位置的地层图像p（，z）。
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