不定积分经典例题100个_不定积分的解题方法与技巧

时间：2019-02-02 03:23:26　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：不定积分是积分学和积分变换的基础，其计算方法很多，每种方法都蕴含了丰富的数学知识和解题的灵活性与技巧性，本文讨论了不定积分常用的计算方法与技巧。　　关键词：不定积分题型计算方法解题技巧
　　
　　函数F（x）与f（x），在等式F′（x）=f（x）中，已知F（x）求f（x），这是求导问题；已知f（x）求F（x）就是不定积分问题，所以不定积分作为导数运算的逆运算，自然也是高等数学的基本问题之一.不定积分不仅是整个积分学和积分变换的基础，同时也是求解微分方程、积分方程等不可缺少的知识工具.尽管不定积分这部分内容的概念、定理并不很多，但是学生在学习的过程中理解的难度大，而积分的方法和过程较求导数具有更大的灵活性与技巧性.正确求解不定积分的前提是对微分公式与方法相当熟练.初学时难以深入理解和灵活运用，有时面对问题，完全不知如何下手.基于此，本文通过对各种题型、各种解题方法的分析讨论，总结了不定积分解题的方法与技巧.
　　一、利用不定积分概念性质和基本积分公式求不定积分
　　这种方法的关键是深刻理解不定积分的概念、基本性质，熟练掌握、牢记不定积分的基本积分公式，当然包括对微分公式的熟练应用.
　　例1.（1）已知f′（x）=1（x≠±1）求f（x）；（2）求不定积分?蘩dx.
　　解：（1）因为f′（x）=，所以f（x）=?蘩f′（x）dx=?蘩dx=arcsinx+c.
　　（2）原式=?蘩［2（）-（）］dx=2（）-（）+c=（）-（）+c.
　　二、利用换元积分法求不定积分
　　换元积分法是求不定积分最主要的方法之一，有两类，第一类换元积分法通常称“凑”微分法，实质上是复合函数求导运算的逆运算，通过“凑”微分，使新的积分形式是基本积分公式或扩充的积分公式所具有的形式，从而求得所求积分.“凑”微分是建立在对微分运算和基本积分公式的熟练程度上，只有通过大量的实践训练，才能熟练地掌握和应用它的技巧.第二类换元积分法是直接寻找代换x=φ（t），φ（t）单调可导，使代换后的新积分容易求出，一般来说寻找代换x=φ（t）不是一件容易的事，这就注定不定积分的计算一般都很困难，只有通过大量练习才能熟练掌握.
　　例2.求不定积分：（1）?蘩dx；（2）?蘩dx.
　　解：（1）法一：原式=?蘩dx=?蘩secxdx=?蘩dtanx=ln|tanx|+c
　　法二：原式=?蘩dx=?蘩csc2xd2x=ln|csc2x-cot2x|+c=ln|tanx|+c
　　（2）法一：原式=?蘩d（1-x）=?蘩d（1-x）
　　=?蘩［-（1-x）+2（1-x）-（1-x）］d（1-x）=（1-x）+（1-x）-（1-x）+c
　　法二：利用三角代换：令x=sint，0＜t＜,dx=costdt,则：
　　原式=?蘩costdt=?蘩sintdt=-?蘩（1-cost）dcost=-?蘩（1-2cost+cost）dcost
　　=-［cost-cost+cost］+c=-（1-x）+（1-x）-（1-x）+c
　　例3.求不定积分：（1）?蘩；（2）?蘩dx.
　　解：（1）作代换：令=t，则x=t,dx=6tdt.所以：
　　原式=?蘩dt=6?蘩（1-）dt=6（t-arctant）+c=6（-arctan）+c
　　（2）作三角代换：令x=±sect，0＜t＜,当x＞1时，取正；当x＜-1时，取负，则dx=±secttantdt，所以：
　　原式=?蘩（±secttant）dt=?蘩dt=t+c=arccos+c
　　三、利用倒代换求不定积分
　　倒代换是换元积分法的一种，利用倒代换，常可消去被积函数的分母中的变量因子，或者化解被积函数，使不定积分容易求出.
　　例4.求不定积分?蘩dx
　　解：作倒代换：x=,dx=-dt
　　原式=-?蘩dt=-ln（1+t）+c=-ln+c
　　例5.例3（2）另解：作倒代换：x=，0＜|t|＜1,dx=-dt,则：
　　原式=?蘩（-）dt=-?蘩dt当x＞1-?蘩dt=arccost+c=arccos+c
　　同样当x＜-1时，原式=arccos（）+c，∴?蘩dx=arccos+c.
　　四、利用分部积分法求不定积分
　　分部积分法的公式是：?蘩uv′dx=uv-?蘩u′vdx，应用它解题时，正确选择u、v是关键，如积分?蘩xcosxdx中，若选择u=cosx,v′=x，则很难利用上述公式求出不定积分.具体解题时，有时还要通过多次使用分部积分公式才能求得最后结果.
　　例6.求不定积分：?蘩esinxdx.
　　解：原式=?蘩e（1-cos2x）dx=e-?蘩ecos2xdx
　　而?蘩ecos2xdx=ecos2x+2?蘩esin2xdx=ecos2x+2esin2x-4?蘩ecos2xdx
　　所以：?蘩ecos2xdx=+c，
　　所以：原式=（-cos2x-sin2x）e+c.
　　五、有理函数的积分法
　　用待定系数法化被积函数为部分方式之和，再对每个部分分式逐项积分.
　　例7.求不定积分：?蘩.
　　解：原式=?蘩［--］dx=ln|x|-ln|x+1|-arctanx-?蘩=ln|x|-ln|x+1|-arctanx-ln（x+1）+c
　　六、无理式的积分法
　　被积函数含有无理根式的积分，虽然比较麻烦点，但总体思想是作根式代换，使积分化为有理函数的积分，常用的代换有u=,u=N等.
　　例8.求不定积分：?蘩dx.
　　解：原式=?蘩dx=-?蘩xdx+?蘩（x+1）dx
　　上式第一个积分?蘩xdx，令x+1=u，有?蘩xdx=2?蘩（u-u）du=u-u+c=（x+1）-（x+1）+c
　　上式第二个积分：?蘩（x+1）dx=x+x+c，所以：
　　原式=［-（x+1）+x］+［x+（x+1）］+c
　　不定积分的解题方法很多，除上面介绍的方法外，还有对三角函数有理式的万能代换法，建立递推公式，等等。通过上面的例子我们看到，不定积分的各种解题方法不是孤立的，很多题目都可能是几种方法联合使用求解，只有多练习，才能熟能生巧，才会得心应手.
　　
　　参考文献：
　　［1］刘玉琏等.数学分析讲义［M］.高等教育出版社，2003.
　　［2］复旦大学数学系编.数学分析［M］.高等教育出版社，2002.
　　［3］同济大学数学教研室.高等数学［M］.高等教育出版社，2008.
　　
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