[微积分在初等数学中的应用]微积分与初等数学的区别
时间：2019-01-09 03:28:27 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
导数是微积分的一部分，是微积分中的一个重要概念，是以极限为基础的.在初等数学中给出了极限、导数的概念和一些相关的结论，但并没有用系统的理论知识推导及证明.但导数在初等数学中确实处于特殊的地位，也可以说是一种解决某些问题的重要工具.本文就是利用导数的基本知识来解决初等数学中的几个问题.在教学中，有机结合教材，适当讲授一些用导数解决一些数学题，不仅能够巩固和加深学生对导数概念的理解，而且对培养学生开阔思路，提高解题能力也是有益的.
一、判断函数的单调性
函数的单调性是函数最基本的性质之一，是我们研究函数所要掌握的最基本的知识.它在中学数学中的用处是非常广泛的，用导数知识来判断函数的单调性既快捷又容易掌握.
例1：讨论y=f（x）=x-3x-9x+41的单调性（x∈R）.
解：（1）y′=3x-6x-9=3（x-2x-3）=3（x-3）（x+1）
（2）令f′（x）=3（x-3）（x+1）>0?圯x>3或x3或xx.
证明：令f（x）=arctanx-x
∵f′（x）=-1=f（0）=0
∴当x0?圯arctanx>x
二、证明不等式
例3：求证：e＞1+x（x>0）
分析：本题通过导数与函数单调性的关系，自然地将导数与不等式结合在一起，灵活考查了学生全面分析解决问题的能力.先构造函数f（x）=e-1-x，再对f（x）进行求导，得到f"（x）.然后观察得到当x＞0时，f′（x）＞0，即f（x）在x＞0时是增函数.最后可得当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即e＞1+x.
解：令f（x）=e-1-x，则
f′（x）=e-1＞0
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数.
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，
即e＞1+x（x>0）.
三、函数的极值（极大值、极小值）
1.定义：y=f（x）在x处取极值，且可导，则f′（x）=0，x叫做极值点.
2.求极值（利用一阶导数列表求极值）
（1）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x，x（驻点）
（2）找出f′（x）不存在的点x
（3）列表：
如果f′（x）的符号如上表所示：
所以当x=x时，y=f（x）
当x=x时，y=f（x）
当x=x时，y=f（x）
3.求极值（利用二阶导数求极值）
（1）求f′（x），使f′（x）＝0，得解x
（2）求f″（x）
（3）将x代入f″（x）中，求f″（x）的值，若f″（x）>0，则在x取极小值;若f″（x）0，所以当x=3时，y极小=-16;
当x=-1时，f″（-1）=-12 本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
