[小心等比数列易错点] 等比数列前n项和易错点
时间：2020-02-23 07:30:17 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
导读：数列是绝对的重点，有时候还会出现在压轴题中，所以对数列的掌握务必要深入。本期所选三篇文章，难度是依次递进的，有容易犯的错误，有通解通法，也有巧妙的方法，供大家查缺补漏。
立体几何出题点比较集中，大家把各类典型题目做透就可以了，本期所选文章总结了常用的解题法。
一、在判断一个数列是否是等比数列时，以特殊代替一般。
例1 已知数列 的通项公式为 ，试问该数列是否是等比数列？
错解：因为 ，所以 ，所以该数列是等比数列。
剖析：即使写出类似的上述比值一百个，一万个，也没有反映出这个数列从第二项起，每一项与它前一项的比等于3这个特点，从而用这几个有限的比值相等就说这个数列是等比数列是不对的。正确解答为：
因为 ，或者当 时， ，所以，该数列是等比数列。
例2 已知数列 中，，若数列 是等比数列，求实数 的值。
错解：由题意知， 成等比数列，所以有
，即 ，解得： 或 。
剖析：一个命题在特殊情况下不成立时，在一般情况下也不成立：但在特殊情况下成立时，在一般情况下不一定成立。上述错解犯了以偏概全的错误。正确解答应为：
由 成等比数列，求得 的值；或者由 成等比数列，求得 的值后，再用定义证明数列 是等比数列(即由特殊值求出结论后，再给出一般性的证明)。
二、在求解数列的首项，末项或者项数的判断中出现错误。
例3 某种细菌在培养过程中，每20分钟分裂一次，（1个分裂成2个），经过3小时，这种细菌有1个可繁殖成多少个？
错解：1个细菌每一次分裂后的细菌数依次构成一个以2为公比，首项为 的等比数列，3小时共分裂9次，从而共有 个。
剖析：上述解答出错主要是在 与 的判断上有误。
若 ，则 ，此时有 ：或者 ， ，此时有：。
三、忽视等比数列中的每一项不能为零而出错。
例4是 成等比数列的（）
充分但不必要条件 必要但不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件
错解：由 得： ，所以 成等比数列；反过来，由 得： 故选 。
剖析：在 中，可以为 ，故不能推出 成等比数列正确答案应为 。
例5 若数列 的前 项和为 ，则数列 是：
等比数列 等差数列 可以是等比数列，也可以是等差数列 可以是等比数列，但不可能是等差数列
错解：由 求得： ，故选 。
剖析：当 时， 是等差数列，但不是等比数列，故正确结果应为 。
四、忽视公比 的几个特殊取值而出错。
等比数列中，对于公比 有三个“盲点”：⑴公比 是一个数列成等比数列的首要条件；⑵公比 是使用等比数列求和公式 的前提条件；⑶公比 是一个较为隐蔽的条件，往往容易忽视。上述例4已经有所体现。下面再看两个例子。
例6 设等比数列 的前 项和为 。若 ，求这个数列的公比 。
错解：因为 ，
所以 ，
整理化简得： ，
即 解得： 或 或
又 ，所以所求的公比的值为： 或
剖析：上述解法忽视了 成立的前提条件 。正确解法应分 与 两种情况讨论。当 时，易知 ：当 时，同上求得： 。从而满足条件的公比值只有一个 。
例7 设 是等比数列 的前 项和，试判断 是否是等比数列?
错解：因为
所以
同理
所以
所以 是等比数列。
剖析：上述解法忽视了公比 时的特殊情况。事实上，当 ， 为偶数时，，从而在当 ， 为偶数时， 不成等比数列。
责任编辑李婷婷
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