优化解题思路提升高考复习效率|
时间：2019-04-24 03:20:10 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：教师在高考数学复习时有意识地选择或设计那些学生力所能及的典型问题进行一题多解、一题多变，会使学生对知识点进行有效联系和深刻理解，对开拓学生智力，培养和训练学生的发散性思维能力大有好处． 使学生的思维有多向选择，从而提高高考复习效率、优化解题思路和形成创新意识．
关键词：高考复习；一题多解；优化思路；提高效率
高考复习课应进行一题多解、多题一解和把问题求解最优化、简易化．追求问题解决的本质化方法，以不变应万变． 以智慧战胜经验，以想法生成方法． 可以使学生跳出题海，提升高考复习效率． 目前，针对高考试卷的新变化，教师在高考数学复习时有意识地选择设计那些学生力所能及的典型问题进行一题多解，这样会使学生对知识点进行有效联系和深刻理解；同时可以开拓学生智力，培养和训练其发散性思维能力． 使学生的思维多向选择，提高学习效率、优化解题思路和形成创新意识，从而逐步发展学生创造性思维；对形成勇于探索等非智力因素也大有裨益． 下面以求函数极值为例加以说明．
例 求函数y=的最大值和最小值．
利用三角函数有界性
解法1：由y=得：sinx+ycosx=2y，所以sin（x+φ）=2y，即sin（x+φ）=≤1，所以y2≤，所以－≤y≤．
利用二次函数最值
解法2：令2－cosx=t，则sin2x=－t2+4t－3（1≤t≤3），所以y2==－1+－= －3－2+≤≤1，从而有y2≤，所以－≤y≤．
评析：利用三角函数有界性和二次函数是求最值常用的途径． 人民教育出版社出版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修4第70页第14题就是利用三角函数有界性来解，可见本例是课本习题的延续与变式． 因此高考复习时要重视课本，要对课本内容进行适当的推广． 历年高考都强调以课本为依据，课本中的结论、定理与性质，都是学习数学非常重要的工具． 近几年的高考题目中，常常对课本定义、定理变换模式加以判断；对课本的例题、习题变换条件加以求解与证明． 因此，高考复习一定要高度重视教材，针对教学大纲所要求的内容和方法，把主要精力放在教材的落实上，复习时一定要回归课本，吃透课本上的例题、习题，才能全面系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变．
利用直线斜率的几何意义（数形结合）
解法3：因y==，
所以y可理解为点A（2，0）与点（cosx，－sinx）两点连线的斜率，而动点（cosx，－sinx）的轨迹是单位圆． 由图形知点P，，P′，－，AP，AP′分别取斜率的最大值和最小值． 故－≤y≤．
利用平面几何知识
解法4：作单位⊙O，取P为圆外一点使OP=2，在⊙O上任取一点A，连结AO，AP，过A作AB⊥OP于B，设∠AOP=x（假设x为正，x为负时也有类似结论）．
在Rt△AOB中，AB=sinx，OB=cosx，则BP=2-cosx． 在Rt△APB中，tan∠P==，由平面几何知识得：当PA是⊙O的切线时∠P最大，即tan∠P最大． 此时∠OAP=90°，则（tan∠P）max＝．
而y==tan∠P，所以y≤，故－≤y≤．
评析：常用的数学方法与思想有：函数与方程思想、化归思想、分类讨论思想、数形结合思想以及配方法、换元法、待定系数法、反证法等等． 而数形结合又是其中比较重要的数学思想和方法．这些基本思想和方法渗透在教材的各个章节之中，在平时的教学中，教师和学生把主要精力集中于数学新课的教学之中，缺乏对基本数学思想和方法的归纳与总结． 因此，教师在复习基础知识的同时，要有意识地讲解与渗透基本数学思想和方法，帮助学生掌握科学的方法，从而达到传授知识、培养能力的目的．
利用复数辐角
解法5：令z=2－cosx+isinx，则y是z的辐角的正切值． 而z是圆（x－2）2+y2=1上的动点，所以z的辐角的正切值的取值范围是－，，即－≤y≤．
利用向量性质
分析：构造向量利用a?b≤a?b．
解法6：由y=得：ycosx＋sinx=2y． 设a=（cosx，sinx），b=（y，1）
由于a?b≤a?b，因此2y≤×，所以4y2≤y2+1，
故－≤y≤．
利用导数
解法7：y′==． 令y′=0，则cosx=． 当cosx≤时，y′0，原函数递增． 所以当cosx=时，y达到极值． 因为cosx=，所以sinx= ±，则ymax=，ymin=－．
故－≤y≤．
评析：利用复数辐角、向量性质和导数来解最值问题可谓独具匠心． 《浙江省新课程数学教学指导意见》中指出：深化能力立意，突出数学内涵． 高考数学试题遵循考试大纲，全面深入考查基础知识、基本技能、基本思想方法，考查内容全面，重点突出． 深化能力立意，注重对数学内涵的理解，多角度、多层次地考查数学理性思维及数学素养和潜能，体现了考基础、考能力、考素质、考潜能的目标追求． 用复数、向量、导数解题就是起到抓纲悟本和突出数学内涵与本质的目的．
利用二次方程根的判别式
解法8：函数两边平方得：y2=． 令y2=t≥0，整理得：（t+1）cos2x－4tcosx+（4t－1）=0． 因为t+1≠0，且关于cosx的二次方程有解，所以Δ=16t2－4（t+1）（4t－1）≥0，解得t≤. 易验证，当0≤t≤时，cosx=∈［-1，1］总有解.
于是0≤y2≤，故－≤y≤．
上述八种解法涉及的知识点有三角函数、直线斜率、向量、导数等，特别是用平面几何知识解题可谓是另辟蹊径． “一题连数点，多解显本质”，这不是我们数学教师和新课程标准所要追求的吗？数学高考复习千头万绪，只要我们能遵循教学规律，注重学生潜能，立足知识基础，突出培养能力，有意识地选择那些学生力所能及的典型问题进行一题多解训练就能提高复习效率，防止好高骛远，建造空中楼阁，押题猜题的侥幸思想． 只有脚踏实地，循序渐进，一步一个脚印，才能稳步迈向高考成功．
