7辅助线的画法_关于辅助线的画法浅探
时间：2019-02-10 03:26:41 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学是研究数量关系与空间形式的科学。在数学教学中,教师一方面揭示概念、定理、公式、法则的实际内容,另一方面发挥着数学的高度抽象的特点,使学生深刻理解抽象内容的实质与形成,给学生在数学的应用能力上打下坚实的基础,并且逐步使他们在分析、概括、抽象等能力上得到充分的培养。逻辑上的严密性是数学的一个突出特点。培养学生的逻辑思维能力和创造性思维能力,其意义不仅在于为他们学好数学打基础,更是为他们能具有处理任何问题、开发新思维这项能力打下基础。逻辑思维能力和创造性思维能力的培养体现在推理证明和添置辅助线的作法上,它能培养与发展学生的观察、想象与表达几何形象的空间想象能力。如何添置辅助线来帮助解决问题是一个难点,下面我就这个问题进行一些探讨。
一、添置辅助线及其作用
学生在思维时要做到概念明确、判断恰当、推理有逻辑性、论证有说服力,这是最起码的要求。因此在教学中,教师必须加强学生逻辑思维能力的培养,使学生发挥想象能力,正确地添置辅助线;学生必须准确牢固地掌握概念及定理的来龙去脉,同时还要理解添置辅助线的作用。
辅助线起着连接推理步骤的桥梁作用,使思维借助直观而增加其形象性。其作用具体可归纳为四个方面:
(一)变位
将已知线段、直线或角改变原来位置,便于找出图形间的内在联系。
例1:求证对角线相等的梯形是等腰梯形。
如图1,我们可作DE∥AC交BC的延长线E。
(二)转换
将已知条件转换为辅助线的性质,从而建立图形间的新联系。
例2:已知AD、BC为平行线,AB为其间的斜线,AC为BC的垂线,引直线BED交AC于E,交AD于D,且ED=2AB,如图2。
求证:∠DBC=∠ABC。
分析:O是ED的中点,连结AO。
∴AO=ED
∴OA=AB
∵∠3=2∠4,∠2=∠3
∴∠2=2∠4
∴∠ABC=3∠DBC。
(三)关联
将分散的条件集中起来,以辅助线为媒介,取得联系,从而发现图形间的内在联系。
例3:已知四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,延长BA、CD与直线EF交成∠1与∠2,如图3。
求证:∠1=∠2。
分析:可连结AC,G为AC的中点,再连结FG、EG,
∴∠2=∠3,∠1=∠4,∠3=∠4
∴∠1=∠2。
(四)构形
通过辅助线将已知图形构成新的图形,从而可以利用新的图的性质进行推证。
例4:已知△ABC的内角平分线AD延长后,交外接圆于E,如图4。
求证:AB∶AD=AE∶AC。
分析:连结CE,
∴∠E=∠B,∠1=∠2
∴△ABC∽△AEC
∴=
∴=
即=。
二、辅助线的作法及其寻求方法
在教学中,教师要使学生对所学知识的应用形成技能和技巧。就是在教师的指导下,学生能运用所学的知识自觉地完成某种活动,这就形成了相应的技能,而技能再经过系统、反复的练习,达到熟练的程度,便形成了技巧。学生只有掌握应用的技能和技巧,才能进一步学得知识。因此,学生还要掌握辅助线的作法类型和辅助线的寻求方法。
(一)辅助线的作法类型
1.连结法(包括先取点再连结)
例如,三角形的中线、中位线,四边形的对角线,圆的半径和弦相交,两圆的公共弦等。
2.延截法
有关中线的问题多用此法。例如,延长一线段与已知直线相交,得到新图形,或者延长并截取一线段等于已知线段等。
3.过线外一点作平行线
如平行移动一线段构成三角形或平行四边形,梯形的对角线或腰,作平行线形成比例线段或相似形等。
4.作垂线
如作三角形的高,由角平分线上的点向边作垂线,或作角平分线的垂线,作梯形的高,圆的弦心距,过半径的外端作切线等。
5.作角的平分线
利用其对称性质。
6.作一个角等于已知角
如已知直线为一边作一角等于已知角,在圆弧上取一点作圆周角或弦切角。
7.作两圆的公切线
(二)辅助线的寻求方法
在掌握辅助线的基本作法后,辅助线的寻求就基本有法可循了。思维方法一般有三种情况:
1.综合法
从已知条件出发,根据给出的图形的基本性质选择辅助线。
例5:已知△ABC的两高是BD、CE,外接圆中心是O,如图5。
求证:AO⊥DE。
分析:过A作⊙O的切线。
∵AF⊥OA,只要DE∥AF即可。
从图上可知B、C、D、E四点共圆。
∴∠2=∠BCD,且∠1=∠BCA
∴∠2=∠1
∴AF∥ED
∴AO⊥ED。
2.分析法
从结论出发寻求证题思路,相应地作出需要的辅助线,如上面的图4的题目。
3.利用图形的变换寻求辅助线
(1)平移
将已知线段平移构成平行四边形。如图1的题目。
(2)对称变换
轴对称(反射),中心对称。角平分线的问题很多时候都会用到反射的知识。
例6:在直线的同旁有两点,如图6,求在直线上一点到这两点的距离最小。就是选出A的对称点A,连结AB就得到与直线相交的点P。
(3)旋转。特别适用于正方形、正三角形一类有关的题目。
例7:已知P为正△ABC外接圆劣弧BC上一点,如图7。
求证:PB+PC=PA。
分析:若△ABP以A为中心旋转60°即可证明。
添置辅助线的问题对于培养学生思维能力,空间想象能力和开发创造性思维能力有着重要的意义和作用,中学数学教学所担负的发展学生逻辑思维能力这个任务是十分重要,而发展学生的创造性思维也很艰难,但我们只要善于探索,不懈努力,就会取得丰硕的果实。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
