[横看成岭侧成峰]横看成岭侧成峰侧是什么意思
时间：2019-02-06 03:21:23 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要:数学的学习离不开解题,在解题教学中我们有时往往忽视学生的错误,不注重错误解法的原因挖掘及解题后的反思。其实学生一再出误,关键在于他们只知其然,不知其所以然。 关键词:勾股定理;优化
中图分类号:G633 文献标识码:A文章编号:1003-2851(2010)05-0209-01
数学的学习离不开解题,在解题教学中我们有时往往忽视学生的错误,不注重错误解法的原因挖掘及解题后的反思。其实学生一再出误,关键在于他们只知其然,不知其所以然。在学习中缺少悟的过程,在教学中我们要善于挖掘错误根源,对症下药才能避免根治错误。要想不误,就得先悟,只有悟得透彻,悟得深刻,才能确保无误。本文试通过学生对两题圆的切线问题的求解及解题方法的再改进优化谈谈数学解题应养成的良好品质。
问题1:求过点P(3,4)且与圆x2+y2=25相切的直线方程。
问题2:求过点P(5,4)且与圆x2+y2=25相切的直线方程。
对于问题1学生用两种办法得到结论。
方法1:设过点P的直线方程为y-4=k(x-3),由直线与圆相切得d=r,故■=5,整理得16k2+24k+9=0, ∴(4k+3)2=0得,k=-■切线方程为y-4=-■(x-3)
方法2:设切线方程为y-4=k(x-3)联立方程组y-4=k(x-3)x2+y2=25,消元整理得(1+k2)x2+2k(4-3k)x+9k2-24k-9=0,有相切得△=4k2(4-3k)2-4(1+k2)(9k2-24k-9)=0,化简得(4k+3)2=0故k=-■。
对于问题2,两位学生模仿上题也比较方便地得到以下两种方法。
方法1:设过点P的直线方程为y-4=k(x-5),由直线与圆相切得d=r,故■=5,整理得 25k2-40k+16=25k2+25,∴ k=-■∴切线方程为y-4=-■(x-5)
方法2:设切线方程为y-4=k(x-5) 联立方程组y-4=k(x-5)x2+y2=25,消元整理得(1+k2)x2+2k(4-5k)x+25k2-40k-9=0,有相切得△=4k2(4-5k)2-4(1+k2)(25k2-24k-9)=0,化简得40k+9=0故 k=-■。
在学生完成两个问题后,教师提问这两个问题的求解中有没有漏洞呢?你能否根据条件画出圆的切线呢?通过画图学生发现,问题1中所得到的切线是正确的,而问题2中漏算了斜率不存在时的切线x=5。出错的原因在哪里呢?通过学生自查发现问题关键是草率地设了直线的点斜式。也就是说虽然问题1中这样的直线是求对了,但也存在出错的隐患。如若将P的坐标改为(5,0),那么问题1中的两种方法同样失效。
如何避免求已知圆的切线方程漏解的问题呢?通过学生的共同探讨得出了以下解决方法。
优化方案一先作图 判断点与圆的位置关系:点在圆上,只有一条切线;点在圆外,有两条切线。如果点在圆外,而利用点斜式通过d=r,只得出一个k,,则必有一条与x轴垂直的切线。
优化方案二对于问题1(点在圆上问题) 方法1设圆心为O 则切线与OP垂直,由于kop= ■,所以切线为y=-■(x-4)+4。 方法2设切线上任意一点为A(x,y),利用勾股定理知OA2=AP2+OP2,得x2+y2=(x-3)2+(y-4)2+25,整理得3x+4y-25=0。
对于问题2(点在圆外问题) 方法1设切点A(x,y)由勾股定理知OA2=AP2+OP2,联立方程组25+16=(x-5)2+(y-4)2+x2+y2x2+y2=25 整理得 x2+y2-5x-4y=0 (1)x2+y2=25(2) (1)-(2)解得 5x+4y=25(★)代入消元得41x2-250x+225=0,得x1=5,x2=■,由此得到A(5,0)或A(■,■) 所以切线方程为x=5或 y-4=-■(x-5)
方法2考虑到圆中切点A的特殊性OA⊥AP,因此点A在以OP为直径的圆上,即A满足方程(x-■)2+(y-2)2=■,于是切点A满足方程组2(x-■)2+(y-2)2=■x2+y2=25,整理得以下解得同方法1。
通过以上两个优化方案方法发现,方案一侧重于利用图形对原有方法进行验证补救。方案二则另寻他法尽量回避直线斜率形式的出现。
通过以上的分析探讨,问题1和2应该说已经得到了圆满的解决,但如果我们仅满足于问题的解决,结论的取得,则就失去了一次很好的反思提炼的机会。波利亚曾说过“如果你希望从自己的努力中,取得最大的收获,就要从已经解决了的问题中找出那些对处理将来的问题可能有用的特征。”罗增儒教授在“解题学引论”中也多次强调解题过程的反思,通过分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径;通过有限道题的学习去领会解无限道题的数学机智。反思我们刚才的求解过程,我们经历了怎样的一个思维历程呢? 从最初的经验解法―设直线方程利用直线与圆的位置关系的两种处理方法d=r和方程组解的个数。到由图形发现求解有误,寻找出错的关键点――设直线的点斜式过程中已埋下了出错的隐患。最后得到:调整改进后的优化解法――巧设相关点,利用勾股定理或轨迹求解和经验解法的弥补――利用数形结合,先判断切线条数,再结合代数运算求切线方程。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
