[部分分式法在大学数学中的应用]幼儿大班数学分式法

时间：2019-02-02 03:27:18　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：本文主要介绍部分分式法在大学数学中的应用。　　关键词：部分分式法大学数学应用　　　　一、部分分式法简介　　经过有理式的恒等变形，任何有理式总能化为某个既约分式.如果这个既约分式是只含有一个自变数的真分式，还可进一步化为若干个既约真分式之和.这几个分式便称为原来那个既约分式的部分分式.那么在把这个有理分式化为若干个既约真分式之和的过程中使用的方法叫做部分分式法.
　　如果是一个复杂的有理式直接来做微积分等运算，则是很复杂的事情甚至是解不出来的.而当我们把复杂的有理式经过恒等变换化为部分分式之后，再针对若干个简单的分式做运算则简单而又便捷.部分分式法在大学的许多课程都能够用到，本文结合例题来介绍它的应用.
　　二、部分分式法的应用
　　1.积分
　　不论是不定积分还是定积分，在计算有理函数的积分时，都要用到部分分式法.因为在定积分计算中的应用和不定积分类似，所以这里我们通过一个不定积分的例子来看一看它具体是怎样应用的.
　　例1.求?蘩dx
　　分析：这个积分要想使用换元积分法或分部积分法直接求解是非常困难的.只能通过使用部分分式法把被积函数简化，然后积分.
　　解：令=+++，则两边同乘以被积函数的分母得
　　1=a（x+2）（x-1）+bx（x+2）（x-1）+cx（x-1）+dx（x+2）
　　即1=（b+c+d）x+（a+b-c+2d）x+（a-2b）x-2a
　　那么b+c+d=0a+b-c+2d=0a-2b=0-2a=1，解得a=-，b=-，c=-，d=.
　　故=-・-・-・+・
　　从而有?蘩dx=?蘩［-・-・-・+・］dx
　　=-?蘩xdx-?蘩dx-?蘩dx+?蘩dx=--++C
　　2.积分变换
　　在积分变换中，常常会遇到求解有理函数的积分（逆）变换的问题.这里以拉普拉斯逆变换为例进行介绍，同样也来看一个具体的例子.
　　例2.求L［］
　　分析：如果没有部分分式法的话，就可以采用留数法来计算.但是对于没有学习过复变函数的学生来说，这个方法难于理解，并且留数法本身涉及的公式也比较繁琐.因此，这里采用部分分式法更为合适.
　　解：利用部分分式法对函数简化（分解的步骤同例1）,得到
　　=-・-・-・+・
　　从而有
　　L［］=L［-・-・-・+・］
　　=-L［］-L［］-L［］+L［］
　　=-t--e+e
　　3.级数
　　级数主要有泰勒级数和马克老林级数.求有理函数的级数时若不使用部分分式法，则要使用导数求解各个幂的系数.而且还是针对一个有理分式求导，复杂程度可以想象得到.那么利用部分分式法是不是会简单很多呢？答案是肯定的.下面看一个例子.
　　例3.求函数的马克劳林级数
　　解：令=++，两边同乘以被积函数的分母,得
　　1=（a+b+c）x+（-5a-4b-3c）x+（6a+3b+2c）
　　那么a+b+c=0-5a-4b-3c=06a+3b+2c=1，解得a=，b=-1，c=.
　　从而有=・-+・
　　=-・+・-・=-x+（）-（-）
　　=［-+-（-）］x
　　
　　参考文献：
　　［1］华东师范大学数学系.数学分析［M］.北京：高等教育出版社，2004.
　　［2］陈文鑫等.线性代数与积分变换［M］.杭州：浙江大学出版社，2004.
　　［3］杨天明.高等数学［M］.南京：南京大学出版社，2009.
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