微元法怎么用 “微元法”在流体模型中的应用例析
时间：2019-01-30 03:38:47 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在中学物理中，往往遇到一些用常规方法难以解决的问题，如研究对象难以确定或研究对象不是理想模型(如质点、点电荷等)，再如问题中所涉及到的物理量是非线性变化量，无法用初等数学进行计算等情况。这时可以采取“微元法”，即将所研究的对象或者所涉及的物理过程，分割成许多微小的单元，从而将非理想物理模型变成理想物理模型；将曲面变成平面；将曲线变成直线；将非线性变量变成线性变量，甚至常量。然后选择微小的单元，利用常规的方法进行分析和讨论，能够简捷而迅速地得出结果。流体模型(如水流、气流、粒子流等)具有连续性作用的特点，若从整体着手，便会有“山重水复疑无路”的痛苦，若运用“微元法”从微元下手，就会有“柳暗花明又一村”的惊喜。
下面例举几例以供体会。
例题1 高压采煤水枪出口的横截面积为S，水的射速为v，射到煤层上后水的速度变为零，若水的密度为ρ，求水对煤的冲力。
解析 采用微元法分析，取冲到墙上的一小段水柱为研究对象，设这一小段水的质量为Δm，则有：
Δm=ρvΔtS。
应用动量定理，取水平向左为正方向，则有：
FΔt=P′-P=Δmv=ρvΔtSv。
所以F=ρv2S。
由牛顿第三定律得，水对煤层的冲力：
F′=-F=-ρv2S,
其中负号表示方向水平向右。
例题2 自动称米机已被许多粮店广泛使用。但买者认为：因为米流落到容器中有向下的冲力，所以实际的米量不足，自己不划算；而卖者则认为：当预定米的质量数满足时，此刻尚有一些米仍在空中，这些米是多出来的，自己才真的划算。因而双方争执不休，究竟哪方说得对还是都不对呢?
解析 设米流的流量为dkg／s，它是恒定的，自动装置能即刻在出口处切断米流，米流在出口处速度很小可视为零。若切断米流后，盛米容器中静止的那部分米的质量为m1kg，空中还在下落米的质量为m2kg，则设落到已静止的米堆(m1)上的一小层米的质量为Δm。在Δt时间内Δm=dΔt。以Δm为研究对象，设其落到米堆上之前的速度为v，经Δt时间静止，其受力情况如图示。
由动量定理得：(F―Δmg)Δt=Δmv。
即F=dv+dΔtg。
设米从出口处落到米表面所用的时间为t，由于m2=dt，v=gt(阻力不计)可得：
dv=m2g，即F=m2g+Δmg。
根据牛顿第三定律知F=-F′，称米机的读数应为：
M=N／g=(m1g+F′)／g
=m1+m2+Δm。
可见，称米机的读数包含了静止在袋中的米堆m1，也包含了尚在空中的下落的米流m2，还包含了刚落到米堆上的一小部分米层Δm，即自动称米机是准确的，不存在谁不划算的问题，双方说的都不对。
例题3 来自质子源的质子(初速度为零)，经一加速电压为800kV的直线加速器加速，形成电流为1mA的细柱形质子流。已知质子电荷量e=1．6×10-19C，这束质子流每秒打到靶上的质子数为多少?假定分布在质子源到靶之间的加速电场是均匀的，在质子束中与质子源相距L和4L两处，各取一段极短的相等长度的质子流，其中的质子数分别为n1和n2则n1：n2为多少?
解析 (1)由电流的定义式I=Q／t得，每秒打到靶上的电荷量：
Q=It=1×10-3C。
因此这束质子流每秒打到靶上的质子数为：
n=Q／e=1×10-3／1．6×10-19�
=6．25×1015。
(2)设质子源到靶子之间均匀的加速电场场强为E，则在相距L和4L两处，与质子源的电势差分别为：U1=EL，U2=4EL。
设质子通过这两处的速度分别为v1和v2，由电场力做功与电荷动能变化关系，可得：
qU1=1／2mv21，
qU2=1／2mv22。
故v2=2v1。
在这两处各取极短的相等的一段长度，可认为其间速度大小不变，因此有：v1t1=v2t2。且在相同时间内通过任意一个截面的电荷量是相同的，即电流强度相等。因此在这两处极短长度的质子流中含有的质子数，与其电荷量成正比，与通过这两处的时间成正比，所以有：
n1：n2=Q1：Q2=t1：t2=v2：v1=2。
“微元法”是研究物理问题时所采用的一种特殊的分析方法，通过以上几例可以看出，它是把研究对象分割为无限多个无限小的部分，或把物理过程分解成无限多个无限小的部分，然后抽取其中的一部分加以研究，通过对所抽取的这一部分的研究，就可以认知整体或全过程的性质和规律，它实质就是“从复合到单一，再从单一到复合”的综合分析思维方法。
（栏目编辑 罗琬华）
