浅谈数学题解法的“趣味”:数学题韩信点兵的解法
时间：2019-01-28 03:27:50 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
数学学习是学习数学知识、数学技能、数学思想、数学方法、数学应用、数学精神等内容。我国对于数学基础知识和基本技能的“双基教学”做得很好;思维训练比较注重演绎能力的培养,归纳类比的思维训练有待加强。比如在数学问题的常规解答之外寻求其“趣味”解法,使数学学习变得“好玩”,不仅能使学生弄清数学知识之间的来龙去脉,学会做数学,而且能提高学生对学习数学的兴趣,培养学生的数学能力,发展学生的智力,有助于学生从中得到乐趣和益处。谁都知道“不怕不识货就怕货比货”的道理,对一题多解或多题归一的比较,可开拓视野,可择善从优。下面以几个例子阐述数学题解法的“趣味”。
一、简洁自然、朴实无华
例1.(2004年烟台市中考题)如图1,“回”字形的道路宽为1米,整个“回”字形的长为8米,宽7米,一个人从入口点A沿道路中央走到终点B,他共走了多少?
解法1:用分段的方法计算繁烦,把此问题中1米宽的“回”字形道路拉直了,则容易得到答案是:7×8÷1=56(米)。
解法2:把一块长为1米宽为1米的方形砖作为基本量,在宽为1米“回”字形的道路铺的砖总量是7×8=56(块),那么人走了整个“回”字形的路程为56米。
评析数学(一般指几何)直观和归纳演绎推理是学习数学、研究数学的核心要素。数学直观是对数学对象之间关系的一种直观判断,数学的理解需要直观的观察和视觉的感知,在具体的物理背景、常识背景或模拟背景下直观感知、操作确认,直截了当地观察和想象可使解答简洁自然、朴实无华。
二、另辟蹊径、精巧构思
例2.求1+3+5+…+(n-1)+(n+1)和。
[评析]这是一道数形结合的试题,要求学生从图2所呈现的特例中归纳出一般情境数量上的变化规律,重点不在计算,而在怎样计算的思维方法上,考察学生不能凭直观去计算,而要在头脑中探究所构造的点阵图的规律,使用包含与排除的思想:一行有n个点,一列也有n个点,但行与列交汇处重复计算了一个点,故为n+n-1=2n-1。基于图2展现出1+3+5+…+(n-1)+(n+1)和的规律,图2给出了一个简洁的构造性的阐述,即用数形结合的方式解释
1+3+5+…+(2n-1)=n
的形成,这种方法浅显直观,有利于培养学生用数学眼光考察问题。
三、换个角度、游刃有余
例3.
评析 数学计算的要求分三层次,第一层次要求做到计算的准确性;第二层次要求达到计算的合理和快捷;第三层次要求追求计算的灵活和巧妙。对例3处理的三层次情况如下:
第一层次:机械化计算,不管多么繁重、毫无头序的数据都能用机械化的计算方式处理。
第二层次:倒序排列,逐步降幂,如文[2-3]的处理:
相对而言机械化计算如山的沉稳,而巧妙简便的计算则如水的灵动。比较例3所述三个层次的处理:第一层次的处理是对算式进行直接的纯粹的计算会产生较大的运算量,但任何四则运算题都可以这样计算;第二层次的处理是采用先倒序排列后计算使幂的指数逐步降低,这样的处理也较繁琐;第三层次的处理是看透了例3的各项都是2的幂这个数学本质,即多项式各项是基于二进制数的基本结构,那么换个角度用二进制数满二进一的算则就可使计算简化。例3第三层次的处理依据二进制数算理使得运算过程路径短、步骤少、时间省。
四、逐步变式、螺旋上升
例4.计算1+2+3+…+99+100和问题的逐步变式。
小高斯巧用速算方法计算1+2+3+…+99+100出的和已成为经典,在这个经典之上逐级抽象下面的问题:
(1)一条线段上n个点可组成多少条线段?
(2)单独一个点与一条线段上n个点可组成多少个三角形?
(3)n个人中每两个人握手一次,握手的总次数是多少?
(4)设计一个机械化的算法求n个数排列成升(降)序比较的总次数(不考虑交换的情况)?
评析一个问题通过一般化、特殊化、类似化、条件重组、结论拓展等得到一个数学题的变式。例4由计算1+2+3+…+99+100的和到变式(1)、(2)、(3)和(4),学生经历了由简单到复杂、由单一到综合的具体背景的不断变化、逐步深入的过程来掌握相应的数学知识解决类似的数学问题,这个启发式的“逐级抽象”,教育可使学生“食髓知味”,学生体验到数学活动犹如登山爬峰欣赏风景般“趣味无穷”。教师利用问题变式指导学生自主学习、合作学习和探究学习,双边活动经过教师启发学生反思,使学生逐步形成自主变式的习惯。史宁中教授指出:“过程的教育不是指在授课时要讲解,或者让学生经历知识产生的过程,甚至不是指知识的呈现方法,而是让学生经历探究的过程、思考的过程、抽象的过程、预测的过程、推理的过程、反思的过程等,认识知识产生是必要的,但不能把知识的产生过程都重复一遍。重要的是加深对问题本身的理解,抓住问题的本质,启发新的思考。”
总之,数学题的“趣味”解答有待于人们去挖掘,如《庖丁解牛》中的庖丁依顺着牛体本来的结构,用刀刃刺入有空隙的骨节运转刀刃,牛的骨肉就可以分离。世上事物纷繁复杂信息各种各样,要注重事物内部的本质结构,抓住主要矛盾,掌握了它的客观规律,就能得心应手,运用自如,迎刃而解。在注重大千世界的共性通法使问题处理得融会贯通、出神入化;又灵活应用技巧使问题解答“独辟蹊径、别树一帜”。
参考文献
[1]李士.熟能生巧吗.数学教育学报,1996,5(3):46-50.
[2]傅世球,李叶灿.初中数学竞赛题的解题策略与审美欣赏.中学数学杂志,2005(06):23-26.
[3]李胜宏,马茂年.初中数学竞赛培优教程(基础知识).杭州:浙江大学出版社,2004:18.
[4]史宁中.《数学课程标准》的若干思考.数学通报,2007,(5):1-5.
作者单位:广东教育学院数学系
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