不定积分在高职教学中的教学浅谈:高职不定积分第一换元积分视频
时间：2019-01-19 03:33:52 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
高等数学是高职院校工科学生必修也是重要的一门基础理论课程，是培养高职学生基本数学素质和进一步学习后续课程并且更好地掌握专业知识的重要的工具课。由于这是一门逻辑性、抽象性很强的学科，再加上高职院校学生的数学基础差别较大，数学的抽象化往往成为他们理解的障碍,于是造成了一些学生在学习数学的过程中感到吃力,觉得高等数学是一门很枯燥不易学会的学科,从而影响了他们对数学的学习兴趣和学习积极性。而据不完全统计，70％的高职学生认为高等数学中“积分及其应用”这部分比较难，原因是由于不定积分的变化复杂，技巧很难掌握。在此，笔者谨作为该门课程的任课教师，对高等数学中常见的不定积分及解题技巧，谈谈自己的体会。
不定积分在高职阶段的解题方法大概可以分为以下几种：直接积分法、第一类换元积分法、第二类换元积分法，分部积分法等。
1、直接积分法
利用不定积分以及原函数的定义：f（x）的所有原函数称为f（x）的不定积分。也就是说，只要能知道哪个函数的导数等于被积函数，不定积分也就求出来了。例如：求∫ dx。
因为知道arctanx的导数等于 ，只要在后面加上任意常数C就可以得到被积函数的全体原函数，所以∫ dx=arctanx+C。这里必须注意一点，用这种方法求积分一定要求出被积函数所有的原函数，而并不是在某一个原函数后直接加上任意一个常数C就代表所有原函数。例如：求∫ dx。考虑到（Inx）"= ，如果简单的认为∫ dx=Inx+C就错了，因为In（-x）"= •（-1）= ，因此In（-x）也是 的一个原函数，而In（-x）是Inx加上任意常数所得不到的，所以∫ dx=Inx+C。有的教材上说检验一个不定积分结果求的是否正确只要对结果求导就行，如果求导以后得到的是被积函数，则正确。其实这种说法并不严格，上述例子就是一个反例。因此，并不能说对结果求导就能验证一定正确，只能够说如果对结果求导得到被积函数并不一定正确，而如果得不到被积函数却一定是错误的。对结果求导这种方法不能来验证正确，只能判断是否错误。
2、第一类换元积分法
第一类换元积分法又称为“凑微分”法。顾名思义，关键在于一个“凑”字，如果能想到如何“凑”，则题目会迎刃而解，若想不到方法，则会无法动手。下面看一个例子：
求∫ dx。
本题如果不用“凑微分”的方法，几乎是无法解出来的，即使是知道用“凑微分”的方法，但不知道该如何去“凑”，仍然无济于事。使用此方法必须对常用的“凑微分”公式非常熟悉。就此题而言，由于被积函数分母中有x2项，而分子中有x项，联想到“凑微分”公式中xdx= d（x2），会出现x2项，所以可以考虑此思路。但此题与一般的“凑微分”又有所不同，由于分子和分母都是多项式，如果要“凑微分”必须分子或者分母整体“凑”，对被积函数的分子参照分母进行“凑微分”：因（x2+x+1）=（2x+1）dx，所以原式可以写成：∫ dx= ∫ dx= ∫ =∫ = In（x2+x+1）+ arctan +C
从上例中可以看出，用“凑微分”法必须要对“凑微分”公式非常熟悉。
3、第二类换元积分法
第二类换元积分法又分为根号换元法和三角换元法两类，对于被积函数中有根号而又无法用“凑微分”法解决的题目，可以考虑用根号换元，例如：若被积函数含有 ，5 等等，这类题目可以令根号下的因式为t，再用其他积分方法来解决。而三角换元则是利用sin2x+cos2x=1或者1+tan2x=sec2x这两个三角恒等式来变化。例如被积函数中含有 , 等的积分都能利用上述两三角恒等式来进行换元。此类题目最后计算结果往往都较为复杂，使用此种换元法要牢记最后结果中要将变量用换回来。
4、分部积分法
分部积分法是根据两个函数乘积的导数的公式推倒而来，公式为：∫udv=uv-∫vdu。用分部积分法解题时，公式中的u和v并不是随意选取的，而要遵照以下两个原则：
（1）v要容易求出；（2）∫vdu要比∫udv更容易求出。而在实际的使用过程中，分部积分法通常都是和换元积分法结合起来使用的。
上面介绍了不定积分的多种求法，只有熟悉了这些基本的求法，才能够比较熟练的求出其他技巧性更强的积分。另外，需要指出的是：由于初等函数在其定义区间内连续，因而其原函数一定存在，但是原函数并不一定就是初等函数，例如 ， ， 等，他们的原函数都不是初等函数，因此不能用上述的几种求积分的方法来求它们的不定积分。
参考文献：
[1]吴纪姚 漆毅 .高等数学（工专）.北京：北京大学出版社，2006年
（作者单位：江西南昌赣江职业技术学院）
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文
