二年级数学体现的数学思想_从一道数学联赛题谈数学思想的体现

时间：2019-01-07 03:21:34　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：本文采取数学归纳法、二项式分解法、代换法等方法对一道全国数学联赛试题进行证明，并对各种方法进行了必要的点评。其中使用到了均值不等式、倒序相加、柯西不等式及一些常见结论，希望能对中学数学的学习有一定的帮助。文章最后留有相关练习，供读者类比证明。
　　关键词：数学归纳法二项式定理代换法柯西不等式
　　
　　1988年全国数学联赛题：已知a、b∈R，且+=1。试证：对每一个n∈N，（a+b）-a-b≥2-2。
　　通过分析，我们在借鉴已有证法的基础上有所创新，仅供读者参考。
　　证法一：数学归纳法
　　证明：由已知得a+b=ab，又a+b≥2，∴ab≥2，故a+b=ab≥4。
　　于是a+b≥2=2≥2。下面用数学归纳法证明：
　　（1）当n=1时，左边=（a+b）-a-b=0，右边=2-2=0，结论成立；
　　（2）设当n=k（k≥1，k∈N）时结论成立，即（a+b）-a-b≥2-2成立．
　　则（a+b）-a-b
　　 =（a+b）（a+b）-（a+b）（a+b）+ab（a+b）
　　 =（a+b）［（a+b）-（a+b）］+ab（a+b）
　　 ≥4（2-2）+4・2
　　 =2-4・2+4・2=2-2
　　即命题对于n=k+1也成立，故对于一切n∈N均成立，命题得证。
　　点评：数学归纳法是中学数学证明高次不等式的一种重要的基本方法，本题也适用。在使用时，要注意使用归纳法的条件；同时，注意观察已知条件，进行适当的变形、合理的增减项数是本题的一些特色之处。
　　证法二：二项式分解法
　　证明：欲证（a+b）-a-b≥2-2，只需证×2［（a+b）-a-b］≥2-2.
　　由已知得a+b=ab，又a+b≥2，即≥2（a=b=2）时取等号。
　　原式左边由二项式定理展开
　　=×2（a+b+Cab+…+Cab-a-b）
　　=×2（Cab+…+Cab）
　　=［C（ab+ab）+…+C（ab+ab）］
　　≥［C・2（）+…+C・2（）］
　　当且仅当a=b=2时，等号成立。即
　　左边≥（）（C+…+C）
　　=（）（C+C+…+C+C-2）
　　=2（2-2）
　　=2-2=右边
　　则（a+b）-a-b≥2-2，命题得证。
　　点评：二项式定理是中学数学的基本定理之一，此题合理使用该定理将（a+b）展开可以得到一些想要的结果，再者利用了C=C，C+C+…+C+C=（1+1）=2等结论，隐含的应用了倒序相加法，避免了讨论m的奇偶性，同时对于均值不等式的充分利用，是此题得以证明的重要突破口。
　　证法三：代换法
　　先给出柯西不等式的基本形式：设对于任意的a，b∈R，均有不等式
　　ab≥（ab）成立。
　　证明：（分式代换法）
　　设=，=，其中α，β∈R，则a=1+，b=1+，从而
　　（a+b）-a-b=（ab）-a-b=（a-1）（b-1）-1
　　=［（1+）-1］［（1+）-1］-1
　　=［C（）+C（）+…+C（）］
　　［C（）+C（）+…+C（）］-1
　　（利用柯西不等式）原式左边
　　≥（C+C+…+C）-1
　　=（2-1）-1=2-2=右边
　　命题得证。
　　证明：（直接代换法）
　　由+=1得a+b=ab，（a-1）（b-1）=1而
　　（a+b）-a-b=（ab）-a-b=（a-1）（b-1）-1
　　=［（1+a-1）-1］［（1+b-1）-1］-1
　　=［（1+a-1）-1］［（1+）-1］-1
　　=［C（a-1）+C（a-1）+…+C（a-1）］
　　［C（）+C（）+…+C（）］-1
　　（利用柯西不等式）原式左边
　　≥（C+C+…+C）-1
　　=（2-1）-1
　　=2-2
　　=右边
　　命题得证。
　　点评：代换法也是中学数学常用的方法之一，本题巧妙采取两种代换进行证明。在证明的过程中，有超中学数学知识的地方在于利用了柯西不等式，虽然中学教材没有引入柯西不等式，但它在数学解题，尤其在中学数学竞赛上有着广泛的应用。值得提示的是需要注意柯西不等式取等号的条件。
　　练习：
　　1.已知a，b∈R，且+=1。试证：对每一个n∈N，・≥1。
　　2.求证：2+3能被11整除。
　　3.求证：＞（）（n∈N，n≥3）。
　　
　　参考文献：
　　［1］刘久松.利用分式代换法证明一类不等式.中学数学，1995.10.
　　［2］陈亚萍.柯西不等式的证明与推广应用.黔南民族师范学院学报，1999.6.
　　［3］陈晓岚.构造二项式定理巧证（解）题.中学教学参考，2009.2.
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