话说“小题大做”_小题大做
时间：2018-12-23 19:51:18 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：数学解题教学中经常注意“小题大做”，有利于培养学生的意志品质和思维品质，有效地提高解题能力，是一种有效的教学手段，值得引起重视。 关键词：向量 数量积 思维品质 能力
数学解题中的“小题大做”不是贬义词，而是应该提倡的教学方法。它可以培养学生积极探索、不断进取的意志品质，使学生的思维品质和解题能力得到较快的提高，而且还可以有效地培养学习数学的兴趣。本文以一道普通的向量题为例加以说明。
题目：已知平面上三点A、B、C满足 =3， =4， =5，则 ・ + ・ + ・ =?摇?摇 ?摇?摇?摇。
根据向量的数量积的定义及坐标运算法则，最容易想到下面的两种解题方法。
解法一：（利用数量积的定义）由于3、4、5是一组勾股数，所以可知∠ABC=90°，并构造一个直角三角形ABC如图1，则 ・ =0，∴只需求 ・ + ・ 的值，而 ・ + ・ =cos(π-∠BCA)+cos(π-∠CAB)=4×5×- +5×3×- =-25。
解法二：（数量积用坐标计算）由已知条件可知∠ABC=90°，∴可以BA所在的直线为x轴，以BC所在的直线为y轴建立平面直角坐标系(如图2)，则A、B、C三点的坐标分别为：B（0，0）、A（3，0）、C（0，4）， =(0，4)， =（3，-4）， =（-3，0），∴原式=-16-9=-25。
一个题目给出两种解法是否大功告成了呢？不是这样，而应该一鼓足气，乘胜追击。应该想一想：还有没有更好的方法？
向量的数量积有一个很好的运算规律：乘法对加法的分配律，所以其中把 ・ =0去掉后，剩下的两项有公因子可提出，公因子提出后，解法更简单，于是得到解法三。
解法三：∵∠ABC=90°，∴ ・ =0，
原式= ・ + ・ =+ = ・ =-=-25。
进一步思考：若∠ABC≠90°能否做？∵ ・ ≠0，∴第一项不能去掉，后两项提取公因子后合并成一项，但最终仍有两项，这是一个矛盾。如何克服这一矛盾，成了解题的关键。如果联想到等差数列中的倒序相加，这是一个配对思想，产生一系列相等的和，问题就解决了，于是又产生了一个新的解法四。
解法四：（整体配对法）受解法三的启发，由广义对称思想出发，可得到如下更一般的解法。
继续思考：既然90°去掉以后，照样能求出它的值，说明 ⊥ 的条件是多余的，题目的条件可以弱化，三向量只要构成封闭的三角形，三向量的模长已知，则题目中的目标式子的值都可以求出，那么是否还有更简便的方法呢？联想到式子：ab+bc+ca= (a+b+c) -(a +b +c )，可以得到下面更一般的方法。
这一解法比前面的四种解法都要本质，都要漂亮。
由解法五又可以联想到问题还可以进一步拓展：不仅是三个向量，只要是能构成封闭的多边形的各向量都有类似的关系。如A、B、C、D是平面上四点，向量的模分别为： =3， =4， =6， =7，求： ・ + ・ + ・ + ・ 的值。如果没有前面的小题大做，学生就会感到这是一道难题，但有了前面五种解法垫底，由解法五可知，所要求的值为- （3 +4 +6 +7 ）=-55，显得非常简单了。
这么一道普通的小小题目，经过小题大做，不断探索，层层深挖，居然找到了这么巧妙的解题方法，而且还可以把题目的条件削弱，问题进一步引伸拓展，好像从一个普通的小门进去，里面深藏着一个五彩缤纷的浩大的数学殿堂，让人赏心悦目，无限兴奋。古人云：“熟能生巧。”在日常教学过程中，只有熟练掌握基础知识、基本方法的基础上，不断用笨的方法小题大做，才能使解题能力得到升华，找到巧的解法。只有平日的“大做”，才能达到考试时的“巧做”。
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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