浅谈排序不等式的应用|排序不等式应用
时间：2020-02-23 07:27:10 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
设a1≤a2≤…≤an,b1≤b2≤…≤bn为两组实数,c1,c2,…,cn是b1,b2,…,bn的任一排列,则a1bn+a2bn-1+…+anb1(反序和)≤a1c1+a2c2+…+ancn(乱序和)≤a1b1+a2b2+…+anbn(顺序和),当且仅当a1=a2=…=an或b1=b2=…=bn时,反序和等于顺序和．
以上不等式就是选修4-5《不等式选讲》中所介绍的排序不等式(又称排序原理),其应用十分广泛和灵活,掌握它,对证明不等式、求最值、比较大小、解应用题等都是大有裨益的．
应用排序不等式的关键是构造有大小顺序的两个数组的反序和、乱序和、顺序和,这就要根据题目的特点灵活处理.下面分类例析,旨在探索题型规律,揭示解题方法．
1 用于证明不等式
例1 已知a,b,c均为正数,且a≥b≥c．
求证：a5b3c3+b5c3a3+c5a3b3≥1a+1b+1c.
分析 题目已经明确了a,b,c的大小关系,故可以直接构造两个数组,利用排序不等式证明．
证明 因为a≥b≥c>0,所以a5≥b5≥c5,1c≥1b≥1a>0,所以1ac≥1ba,1bc≥1ca,
所以1bc≥1ca≥1ab,
所以1b3c3≥1c3a3≥1a3b3.
由排序不等式：顺序和≥乱序和,得
a5b3c3+b5c3a3+c5a3b3≥b5b3c3+c5c3a3+a5a3b3=b2c3+c2a3+a2b3.①
又因为a2≥b2≥c2,1c3≥1b3≥1a3,
由排序不等式：乱序和≥反序和,得
b2c3+c2a3+a2b3≥a2a3+b2b3+c2c3=1a+1b+1c.②
由①②两式,得
a5b3c3+b5c3a3+c5a3b3≥1a+1b+1c.
评注 应用排序不等式解题,首先要把两个数组的大小关系明确出来,分清楚顺序和、乱序和及反序和.由于乱序和是不确定的,根据需要写出其中的一个即可.
例2 设a1,a2,…,an为1,2,…,n的一个排列,求证：12+23+…+n-1n≤a1a2+a2a3+…+an-1an.
分析 由待证不等式可看出一列数为a1,a2,…,an-1；另一列数为1a2,1a3,…,1an,设出大小关系,用排序不等式证明．
证明 设b1,b2,…,bn-1是a1,a2,…,an-1的一个排列,且b1…>1cn-1．
由排序不等式：乱序和≥反序和,得
a1a2+a2a3+…+an-1an≥b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1.
①
因为b1≥1,b2≥2,…,bn-1≥n-1,
且c1≤2,c2≤3,…,cn-1≤n,
b1c1+b2c2+…+bn-1cn-1≥12+23+…+n-1n.
②
由①②两式,得
a1a2+a2a3+…+an-1an≥12+23+…+n-1n,
即12+23+…+n-1n≤a1a2+a2a3+…+an-1an.
评注 排序不等式实质上包含三个不等式,即顺序和≥乱序和；顺序和≥反序和；乱序和≥反序和,解题时应根据题目中的形式灵活地选择应用．
例3 设x>0,求证：
1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.
分析 本题若用排序不等式证明,就需要确定1,x,x2,…,xn之间的大小关系,即明确x与1的大小关系.而条件中只有x>0,因而需要进行分类讨论．
证明 (1)当x≥1时,1≤x≤x2≤…≤xn,由排序不等式：顺序和≥反序和,得
1•1+x•x+x2•x2+…+xn•xn≥1•xn+x•xn-1+…+xn-1•x+xn•1,
即1+x2+x4+…+x2n≥(n+1)xn.①
又因为x,x2,…,xn,1为序列1,x,x2,…,xn的一个排列,于是再次由排序不等式：乱序和≥反序和,得
1•x+x•x2+…+xn-1•xn+xn•1≥1•xn+x•xn-1+…+xn-1•x+xn•1,
即x+x3+…+x2n-1+xn≥(n+1)xn.②
将①和②相加,得
1+x+x2+…+x2n≥(2n+1)xn.③
(2)当0x2>…>xn,
①、②仍然成立,于是③也成立．
综合(1)、(2)可知,原不等式成立．
评注 对含有参数的数组,若不能确定数组中数的大小关系,就只得进行分类讨论.分类讨论的目的在于明确数组中数的大小顺序,一定要按此来选择分类的标准．
2 用于求最值
例4 已知两组数a1≤a2≤a3≤a4≤a5,b1≤b2≤b3≤b4≤b5,其中a1=2,a2=7,a3=8,a4=9,a5=12,b1=3,b2=4,b3=6,b4=10,b5=11,将bi(i=1,2,3,4,5)重新排列记为c1,c2,c3,c4,c5.计算a1c1+a2c2+…+a5c5的最大值和最小值．
解 根据排序不等式的性质“顺序和最大,反序和最小”可知：
所求最大值为：a1b1+a2b2+a3b3+a4b4+a5b5=2×3+7×4+8×6+9×10+12×11=304.
所求最小值为：a1b5+a2b4+a3b3+a4b2+a5b1=2×11+7×10+8×6+9×4+12×3=212.
评注 本题考查排序不等式的性质“顺序和最大,反序和最小”的简单直接应用．
例5 设a,b,c为任意正数,求ab+c+bc+a+ca+b的最小值．
分析 题目中没有给出a,b,c的大小顺序,注意到a,b,c在所求式子中的“地位”是对称的,不妨设a≥b≥c>0,再利用排序不等式求出最小值．
解 不妨设a≥b≥c>0,则a+b≥a+c≥b+c>0,1b+c≥1c+a≥1a+b,
由排序不等式：顺序和≥乱序和,得
ab+c+bc+a+ca+b≥bb+c+cc+a+aa+b；
ab+c+bc+a+ca+b≥cb+c+ac+a+ba+b．
以上两式相加,得
2ab+c+bc+a+ca+b≥3,
即ab+c+bc+a+ca+b≥32．
当且仅当a=b=c时,ab+c+bc+a+ca+b取最小值32．
评注 当作出a≥b≥c>0的假设后,所用的两个数组就可以完全确定了,但要注意所求式子中a,b,c的“地位”必须是对等的,即任意交换它们的位置,式子不变,否则不成立．
3 用于比较大小
例6 设M=1010×1111×1212×1313,N=1013×1112×1211×1310,则M与N的大小关系为 ．
分析 要比较的两个式子中含指数形式,故可考虑转化为对数后,应用排序不等式,然后利用对数函数的单调性得出结论．
解 因为1013lg10+12lg11+11lg12+10lg13,
所以lg(1010×1111×1212×1313)>lg(1013×1112×1211×1310),
即1010×1111×1212×1313>1013×1112×1211×1310,亦即M>N．
例7 在锐角△ABC中,aQ B.P=Q
C.Pcos C>0.
由排序不等式：反序和＜乱序和,得
acos A+bcos B+ccos C
=a2+c2-b22c+b2+a2-c22a+b2+c2-a22b；
acos A+bcos B+ccos C
=a2+b2-c22b+b2+c2-a22c+c2+a2-b22a.
以上两式相加,得
2(acos A+bcos B+ccos C)Q.故选A．
4 用于解应用题
例8 某班学生要开联欢会,需要买价格不同的礼品4件,5件和2件,现在选择商店中单价为3元,2元和1元的礼品,则至少要花多少钱？最多要花多少钱？
分析 先对需要买的礼品按件数与对应的不同单价进行大小排序,接下来直接利用排序不等式的性质来确定需要花钱的最小值与最大值问题．
解 对需要买的礼品按件数从小到大排列为：2件,4件,5件；对商店中的礼品按单价从小到大排列为：1元,2元,3元.根据排序不等式的性质“顺序和最大,反序和最小”可知：
至少要花的钱数为：
2×3+4×2+5×1=19(元),
最多要花的钱数为：
2×1+4×2+5×3=25(元)．
评注 在解决一些规划预算问题时,往往只要确定最小值与最大值问题,便于进行合理规划与正确预算,结合排序不等式的性质“顺序和最大,反序和最小”,可方便快捷且巧妙灵活地解决问题．
例9 四个人到同一个地方为自己的手机电池充电,现只有一个充电器,4块电池必须的充电时间分别为15分钟,10分钟,20分钟,8分钟,要使四人获得必需的电量,应如何安排这4个人的顺序,使他们等候的总时间最少？这个最少总时间为多少？
分析 这是一个实际问题,需要将它数学化.设第一个人充电需t1分钟,第二个人充电需t2分钟,第三个人充电需t3分钟,第四个人充电需t4分钟,则四个人总的等候时间为4t1+3t2+2t3+t4,现在要考虑t1,t2,t3,t4满足什么条件时这个和数最小．
解 设第一个人充电需t1分钟,第二个人充电需t2分钟,第三个人充电需t3分钟,第四个人充电需t4分钟,所以等候总时间是4t1+3t2+2t3+t4分钟,
根据排序不等式,当t1
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