数无形时少直觉,形少数时难入微:数形结合百般好
时间：2019-02-02 03:30:11 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
《考试说明》对各项数学能力提出了可测性的要求，高考试题是各项要求的具体体现，要理解、培养学生的数学能力，透彻地分析一些高考试题是一个不错的途径.数形结合思想是高中数学中最重要的思想方法之一.下面先解读《2011年福建数学考试说明》对于数形结合思想的考查要求.
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面.
数形结合是数学解题中常用的思想方法，运用数形结合思想，使某些抽象的数学问题直观化、形象化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，发现解题思路，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化解题过程.
实现数形结合，通常有以下途径：①实数与数轴上的点的对应关系；②有序数组与坐标平面（空间）上的点的对应关系；③函数与图像的对应关系；④曲线与方程的对应关系；⑤以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如向量、复数、三角函数等；⑥所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义.
运用数形结合研究数学问题，加强了知识的横向联系和综合应用，对于沟通代数与几何的联系，具有指导意义.纵观多年来的高试题，巧妙运用数形结合思想方法解决一些抽象的数学问题，可起事半功倍的效果.数形结合的重点是研究“以形助数”，这在解选题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维视野.
《考试说明》明确提出数形结合思想，包含：（1）“以形助数”（即代数问题几何化）：借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质.（2）“以数辅形”（即几何问题代数化）：借助数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质，立体几何中常见的探究满足条件的线段AB上的点P时可设=λ或AP∶PB=k，等等.（3）数形结合的重点是研究“以形助数”.
对于数形结合思想的考查，考纲精神怎样在具体的高考试题中得以体现呢？我带着这样的疑问通览了近几年各地高考，发现近几年各地高考对数形结合思想的考查堪称完美.在近几年各地高考中涉及的集合与逻辑、函数、方程、不等式、向量、数列、解析几何、立体几何都可举到“以形助数”的例子；而且数形结合的“常用公式”有：两点间的距离公式（“平方和”）、斜率坐标公式（“分式”）、二元变量的等式（函数与方程）、一（二）元一次不等式等；结合的“常用图”有：Venn图、数轴、平面直角坐标系（函数的图像、平面区域、直线与曲线等）、平面向量、三角函数、直线、圆、圆锥曲线、立体图形等.下面分析“以形助数”的几个应用例子.
例1.（2008湖北卷）方程2+x＝3的实数解的个数为.
分析：针对方程的“超越性”，无法直接求解，可考虑方程变形.
将问题转化为2个函数图像的交点的个数，有几种变形方法？方程变形为3-x＝2，令y＝3-x，y＝2，由图像可知有2个交点.
例2.（2009山东卷文14理14，若函数f（x）=a-x-a（a＞0，a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是.
分析：求函数的零点的问题可转化为求方程的根.针对方程的“超越性”，无法直接求解.借助图形作出定性判断是相关问题的唯一思路.
将已知条件转化为“函数y=a与y=x+a的图像有两个交点”，从而可利用“数形结合”通过“观察法”得出结论：其中对函数y=a的图像，以及对a进行分类讨论是求解的关键.
故a＞1
例3.（2008全国卷Ⅰ理9）设奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则不等式＜0的解集为（D）.
A.（-1，0）∪（1，+∞）B.（-∞，1）∪（0，1）C.（-∞，-1）∪（1，+∞）D.（-1，0）∪（0，1）
分析：如图，作出函数的图像，由奇函数f（x）可知=＜0，由图可知原不等式解集为（-1，0）∪（0，1）.
小结：在选择题或填空题中给出一个函数的某些特征或性质时，常利用图像求解之.利用函数图像解决有问题的基本思路：研究函数的基本性质→（借助特征点（线））作出函数的图像→利用函数图像解决有关问题.
例4.（2010年江苏卷）若函数f（x）=x+1，x≥0，1，x＜0，则满足不等式f（1-x）＞f（2x）的x的范围是.
分析：观察图像可知：不等式f（1-x）＞f（2x）?圳2x≥01-x＞2x或2x＜01-x＞0，解得-1＜x＜-1.
例5.（2011年全国卷文12）已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈［-1，1］时，f（x）=x，那么函数y=f（x）的图像与函数y=|lgx|的图像的交点共有（）.
A.10个B.9个C.8个D.1个
分析：本题考查函数的图像和性质，属于难题.本题可用图像法解，易知共10个交点.
例6.已知acosα+bsinα=c，acosβ+bsinβ=c（ab≠0，α-β≠kπ，k∈Z），则cos=（A）.
A. B. C. D.
方法一（特值法）：在平面直角坐标系中，点A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x+y=1的两个交点，如图.若取α=，β=，则有cos=，-a+b=ca+b=c，解得a=0，b=c.
方法二：在平面直角坐标系中，点A（cosα，sinα）B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x+y=1的两个交点，如图.
从而|AB|=（cosα-cosβ）+（sinα-sinβ）=2-2cos（α-β）.
∵单位圆的圆心到直线l的距离d=|OM|=，
由平面几何知识知|OA|=|OM|+（|MA|），
即1-=d=，∴cos=.
方法三：在平面直角坐标系中，点A（cosα，sinα）B（cosβ，sinβ）是直线l：ax+by=c与单位圆x+y=1的两个交点，如图.根据三角函数的定义，可知OA，OB分别是角α，β的终边，α-β=2kπ±∠AOB，k∈Z，所以=kπ±∠AOB=kπ±∠AOM，k∈Z，cos=cos（kπ±∠AOM）=cos∠AOM，cos∠AOM==d=
∴cos=.
小结：数形结合的相关知识有：三角函数的定义、三角函数线、三角函数的图像、（cosθ，sinθ）是圆x+y=1上的点等.
例7.（2010福建省质检文21）已知函数f（x）=xe.
（Ⅰ）求f（x）的单调区间与极值；
（Ⅱ）是否存在实数a使得对于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有＞成立？若存在，求a的范围；若不存在，说明理由.
解法一：（见质检卷参考答案）
解法二：（Ⅰ）略；（Ⅱ）如图，设P（x，y），P（x，y）则k=，k=由图可知，要使对于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有k＜k成立，只需满足k（x）=f′（x）在（a，+∞）上单调递增，故有k′（x）=e（x+2）≥0对x＞a恒成立，解不等式得x≥-2，要使k′（x）=e（x+2）≥0对x＞a恒成立，只需满足（a，+∞）?哿［-2，+∞），解不等式得x≥-2，所以a≥-2.
解法三：（Ⅰ）略；
（Ⅱ）如图，设P（x，y），P（x，y）则k=，k=，由图可知，要使对于任意的x，x∈（a，+∞），且x＜x，恒有k＜k成立，只需函数y=f（x）的图像在P，P处的切线斜率k，k满足k＜k即k（x）＜k（x），故k（x）=f′（x）在（a，+∞）上单调递增，故有k′（x）=e（x+2）≥0对x＞a恒成立，解不等式得x≥-2，要使k′（x）=e（x+2）≥0对x＞a恒成立，只需满足（a，+∞）?哿［-2，+∞），所以a≥-2.
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 例8.（2010湖北文卷21）设函数f（x）=x-x+bx+c，其中a＞0.曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1.
（Ⅰ）确定b，c的值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（x，f（x））及（x，f（x））处的切线都过点（0，2）.证明：当x≠x时，f′（x）≠f′（x）；
（Ⅲ）若过点（0，2）可作曲线y=f（x）的三条不同切线，求a的取值范围.
解：（Ⅰ）由f（x）=x-x+bx+c得：f（0）=c，f′（x）=x-ax+b，f′（0）=b.
又由曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程为y=1，得f（0）=1，f′（0）=0.
故b=0，c=1.
（Ⅱ）f（x）=x-x+1，f′（x）=x-ax.
由于点（t，f（t））处的切线方程为y-f（t）=f′（t）（x-t），
而点（0，2）在切线上，所以2-f（t）=f′（t）（-t），化简得t-t+1=0，
即关于t的方程为t-t+1=0.
下面用反证法证明.
假设f′（x）=f′（x），由于曲线y=f（x）在点（x，f（x））及（x，f（x））处的切线都过点（0，2），则下列等式成立.
x-x+1=0（1）x-xx+1=0（2）x-ax=x-ax（3）
由（3）得x+x=a.
由（1）-（2）得x+xx+x=a（4）
又x+xx+x=（x+x）-xx=a-x（a-x）=x-ax+a=（x-）+a≥a.
故由（4）得x=，此时x=与x≠x，矛盾.
∴假设不成立即f′（x）≠f′（x）成立.
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，过点（0，2）可作y=f（x）的三条切线，等价于方程2-f（t）=f′（t）（0-t）有三个相异的实根，即等价于方程t-t+1=0有三个相异的实根.
设g（t）=t-t+1.g′（t）=2t-at=2t（t-），由于a＞0，故有
作出函数y=g（t）的图像，如图.
由图可知，要使g（t）=0有三个相异的实根，
当且仅当1-＜0，a＞2.
∴a的取值范围是（2，+∞）.
小结：利用函数图像解决有问题的基本思路：研究函数的基本性质→（借助特征点（线））作出函数的图像→利用函数图像解决有关问题.
例9.（“伯乐马”数学思想方法（二））已知函数f（x）=x+ax+2bx+c，函数f（x）在（0，1）内取得极大值，函数f（x）在（1，2）内取得极小值.
（Ⅰ）求a+b的取值范围；（Ⅱ）求u=的取值范围；（Ⅲ）求a-2a+b的取值范围.
解：f′（x）=x+ax+2b，∵函数f（x）在（0，1）取得极大值，在（1，2）取得极小值.
∴f′（x）=x+ax+2b=0有两根，一根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，2）内
∴有f′（0）＞0f′（1）＜0f′（2）＞0，即b＞0a+2b+1＜0a+b+2＞0
作出可行域，如图所示，
D（-2，0），B（-1，0），A（-3，1）
（Ⅰ）令a+b=t，则由图可知
a+b的取值范围为（-2，-1）
（Ⅱ）u=可以看作是点（a，b）和点C（1，2）
所在的直线的斜率，则u=∈（k，k），
k=，k=1∴u=的取值范围为（，1）.
（Ⅲ）a-2a+b=（a-1）+b-1.
可以看作是点（a，b）和点M（1，0）间的距离，|MB|＜＜|MA|
|MA|=，|MB|=2，∴a-2a+b的取值范围为（3，16）.
以上几个例子都是充分利用几何图形的性质直观、简捷地解决数学问题，让我们感受数形结合思想求解数学问题的“数学美”，再次体会著名数学家华罗庚的诗句：“数形本是两依倚，焉能分作两边飞.数缺形时少直观，形少数时难入微.”
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