《数理精蕴》对《方程论》的吸收与精简

史瑞琪，郭世荣

（内蒙古师范大学 科学技术史研究院，内蒙古 呼和浩特 010022）

《数理精蕴》是以康熙御制的名义，于雍正元年（1723 年）刻成的一部百科全书式的数学官书［1］。全书共53 卷，总结了明末清初传入中国的西方数学主要内容以及当时中国数学研究的主要成果［2］。其中，对于下编卷十“线部八·方程”的内容，钱宝琮［3］、李迪［1］、李兆华［2］等学者普遍认为吸收了梅文鼎（1633—1721）《方程论》的研究成果，方程的分类及解题思路与《方程论》完全一致，是据此书改写而成。但关于《数理精蕴》的编撰者怎样改写《方程论》，“改”的原因是什么等问题未讨论。鉴于此，本文以《数理精蕴》“方程卷”和梅文鼎《方程论》为研究对象，通过对《数理精蕴》“方程卷”内容进行分析，希冀厘清《数理精蕴》汇编《方程论》的编撰方式及改编原因。

《数理精蕴》卷十的“方程”分三部分内容。

第一部分，预备知识。起首一篇概说，论述方程的定义、方程的解法，阐述方程系数存在“正负”的缘由及消元过程中系数符号的变化规律，说明了三次以上方程在计算过程中“首数”的定位法则，规定了方程分为“和数类”“较数类”“和较兼用类”及“和较交变类”四类。以上内容，从方程的分类到方程的解法问题，皆与梅文鼎在《方程论》卷一“正名”中的相关论述相差无几。

关于方程分类问题，梅文鼎在卷一“正名”中有如下记述：

“名不正，则言不顺。诸本方程皆以二色，三色，四色等，分款立法，而不分和较，宜其端绪分纠，而说之滋谬也，故先正其名。”［5］327

“诸本方程”中①指程大位的《算法统宗》、李之藻的《同文算指》、吴敬的《九章算法比类大全》和李长茂的《算海详说》等。，方程的分类按照未知数多少分为“一色、二色、三色”等。色，指未知数，相当于现代数学所说的二元、三元、四元等［4］。梅文鼎认为，“诸本方程”按照未知数个数的多少进行分类的方法是不正确的，不能反映方程的本质，且不符合古人立法的本意。他说道：“旧传方程分二色为一法，三色为一法，四色五色以上为一法，头绪纷然。而和较之分疑未清，法无画一。所立假如仅可施之本例，不可移至他处。然如此，则无用之法。而方程一章为徒设矣，窃以古人立法决不如此。今按方程有和，有较，有兼用和较，有和较交变约法四端。”［5］325意即：前人有关方程的著述中，二元方程为一类，三元方程为一类，四元方程及以上为一类，因不分和较，故解法不能统一。所列解法适用于对应例题，不适用于所有的方程问题，因而不能做到灵活运用，是“无用之法”，古人将方程列于专门的一章，绝非此意。鉴于此，梅文鼎著《方程论》卷六，专门讨论方程的分类、解法和应用［6］。“卷一·正名”，按系数符号的排列情况［7］，将方程分为四类：“正名有四，一和数，二较数，三和较杂，四和较交变。”［5］327即“和数方程”“较数方程”“和较相杂方程”“和较交变方程”，并列举了大量的题例说明以上述方程的求解方法。

《数理精蕴》中分方程为“和数类”“较数类”“和较兼用类”“和较交变类”，从“方程”的分类体例上看，与《方程论》中分方程为“和数方程”“较数方程”“和较相杂方程”“和较交变方程”的分类体例基本一致，是完全采纳了梅氏的分类方法。此外，梅文鼎在“卷三·致用”中关于“方程”解之唯一性的论述也被《数理精蕴》所吸收，并置于卷首概说之中。梅文鼎说道：“方程立法，正以诸物杂糅，多寡错居，同异参伍，而得其端倪也。又或三色方程而问只二宗，则减尽仍有二色，不能分别。故问三色必有三宗，问四色必有四宗，五色六色以上悉同。何也？方程立法，乘减一次，始能分去一色，若少一行，则少一次乘减，而不能得其一法一实矣。故行中可有空位，而不可有空行。行中有空者，分一行言之也。若总列为图，则位皆无空。凡此皆治方程者所当知。”［5］361意即：方程能够成立，正是因为各物件的多寡不同，同异交错混杂。若三个未知数方程只列两个方程式，互乘对减后仍存在两个未知数，不能消去。几色方程则有几宗，少列一个方程式则方程不可解。此外，方程式可以存在某个未知数系数为零情况，但不可少列一行。梅文鼎把方程的“总列”称为“图”，相当于现代数学中线性方程组的系数矩阵。在“图”中，不可有一行全为零的情况。

梅氏特别强调，此内容为“治方程者”必须掌握的。由此可知，《数理精蕴》在编撰方程理论时，将此问题的讨论归入卷首的预备知识之中也是顺理成章。

第二部分，分类讨论。依次讨论四类方程的求解问题。通过对比，此部分对《方程论》“卷一”“卷三”“卷四”的内容均有不同程度的吸收和借鉴。

《数理精蕴》中“较数类”第二题的题目改编自方程论“卷一”“较数方程例”的第二题，“和较兼用类”第一题的题目改编自《方程论》“卷一”“和较相杂方程例”的第一题。

《方程论》卷三“致用”，讨论方程的简捷算法问题。梅文鼎指出：“凡方程之法，去繁就简者，同者去之，异者存之，归于一法一实而矣。”［6］356即使用一次互乘对消可以消去一个未知数，连续消去后便可将方程转化为kx=b的形式，进而求出方程的解。互乘对消需要进行多少次，依方程的未知数个数而定。一般情况下，二元消一次，三元消三次，四元消六次……然而，在解决某些实际问题时，方程会出现有些项空缺，或同一未知数的系数相同的情况，此时便可采取简捷算法，从而节省计算步骤，即梅文鼎所说“省算”问题。《数理精蕴》“和较兼用类”第三题，“和较交变类”第三题均为“省算”问题。

《方程论》卷四“刊误”，改正当时“诸本方程”的错误。其中的“加减之误”，分为“同加异减之误”和“奇减偶加之误”两类。对于前者，梅文鼎认为方程进行互乘消元时，对于两个方程式中要消去的未知数，系数数值相同，符号也相同，便可互减消元。如果系数数值相同，符号不同，则需要经过变号再进行相减。因此相减的过程只遵循“同减异加”的原则［8］，即消元只可用减法。在《数理精蕴》中所列各题，均按照“同减异加”的原则进行消元，无疑是受到梅文鼎的影响。

对于后者“奇减偶加之误”，梅文鼎辩正了《算法统宗》中四元方程的消元问题，《算法统宗》中以末行方程式为主，“奇减偶加”的作为解四元一次方程组的通法是欠妥的［8］。方程相消时，只与方程式中所消去的未知数的系数有关，与方程式行数的排列无关。梅氏发现了此谬误，指出：“今诸书不察，偶见瓜梨一例，有奇减偶加之形，不得其解，遂执为四色之定法。”［5］372并对此作了修正。《数理精蕴》“和较交变类”第四题即为此题，求解方法则是依梅氏的论述。

然而，对于方程的消法问题，当系数数值相同，符号相反，两式相加也可消元。即方程消元，“同减异加”或“同加异减”均可。梅文鼎虽然看到“诸本方程”中正负使用混乱的状况，对正负的概念做了解释。但对于方程消法问题上，坚持只能用减，不能用加，批评“诸书所载，忽而同减，忽而异减，忽而异加，忽而同加，岂不谬哉”［5］370这种做法是不正确的。乾嘉时期的中算家，焦循、骆腾凤、罗士琳也都批评过梅氏的这种看法［9］。

第三部分，“附法”。列举了方程解“叠借互徵”问题和“和数比例”问题，以明“方程可御错糅正负”之理。意义则与《方程论》“卷五”相同。《方程论》卷五“方程御杂法”①杂法：指中国古代的粟米、差分、均输、盈不足等数学方法。，列举了大量方程解杂法的例子，用以说明“杂法不能御方程，而方程能御杂法”，“方程为数学之极”。

《方程论》中，除讨论方程的基本问题外，还涉及对方程特殊问题及应用问题的讨论。例如《方程论》卷二“极数”，按照问题的性质和解题方法把方程分成三类：“带分”②带分：方程中未知数系数出现分数，称为带分。，“叠脚”③叠脚：方程中每个方程式有两个以上并列的常数项，称为叠脚。，“重审”④重审：一个问题需要解两个以上的方程才能得到答案。。《方程论》卷六“测量”，讨论利用方程求解天文测量中出现的计算问题。但《数理精蕴》未收入以上内容。

除《方程论》外，也有其他的书目及内容作为参考或取材来源。例如“和数类”第一题源自《算法统宗》［10］的“二色方程”，仅改动了数字。“较数类”第一题源自《算法统宗》“难题卷”第15 题。“和较交变类”第四题题目也源自《算法统宗》。“附法”第一题为《数理精蕴》下编卷九“叠借互徵”中最后一题：“此法数层加减几用比例颇觉繁琐，而用方程算之微觉简明，但系叠借本法故两收之。收入叠借者所以存其理，而收入方程者所以取其简。”［11］395

综上所述，就所涉及到的方程理论而言，《方程论》是《数理精蕴》的取材基础，是内容的主要来源。

2.1 内容的取舍

《数理精蕴》所选取《方程论》中的内容，主要为卷一“正名”，卷三“致用”的内容，卷四“刊误”和卷五“杂法”也仅涉及个别内容，卷二“极数”和卷六“测量”均未收入。就内容而言，仅包括了学习方程理论时，需掌握的预备知识及如何求解方程，未涉及方程应用问题及处理某些特殊问题的讨论。同时，《数理精蕴》共列19 道例题，源自或改编《方程论》的题目极少。通过对题目整体审查、比对及分析，发现其具有统一特点，即所有方程系数均为整数，不存在小数或者分数的情况，且方程式首项系数均为正数，相比于《方程论》的题目更便于计算。如《方程论》“和数方程例”为：

假如有山田三亩，场地六亩，共折输粮实田四亩七分，又有山田五亩，场地三亩，共折实田五亩五分，问田地每亩折实科则各如干？［5］328

设x为山田每亩折实，y为场地每亩折实，依据题所列方程为

方程的常数项为小数形式。

而《数理精蕴》“和数类”第一题为：

“设如马四匹牛六头价四十八，马三匹牛五头共价三十八两，问马牛各价几何？”［11］397设马为x，牛为y，依题所列方程为

方程中的各项系数均为整数。

再如“较数类”第二题则改编了《方程论》的“较数方程”第二题，使得方程的常数项变为整数。

据前人研究可知，《数理精蕴》在方程求解方法与方程分类问题上吸收了《方程论》的理论成果。然而，就整体内容而言，仅包含了求解方程的主要内容，对于方程的应用及某些特殊问题均不涉及。例题的拟定，也不拘泥于《方程论》，通过改编或参考其他书目，力求方程计算方便，过程简洁，便于学习和理解。

2.2 体例的变化

《方程论》中各题的体例，主要分为三部分：题目，答案，解答过程。内容的起首方式也不尽相同，命题有“问”“今有”或“假如”三种起首方式，解答过程有“法”或“如图”等起首方式。《数理精蕴》中各题的体例仅包括题目与解答过程两部分，省略了答案。统一了起首方式：以“设如”起首命题，以“法”起首解答过程。相比《方程论》，整体内容的呈现方式更具规范化和模式化。下面引述《数理精蕴》“较数类”第一题，《方程论》“较数方程”第一题，作简要说明。

《数理精蕴》“较数类”第一题：

“设如砚七方比笔价多四百八十文，又砚三方比笔九枝价少一百八十文，问笔研价各若干？

法以砚七为正，笔三为负，价多四百八十文为正列于上，又以砚三为正，笔九为负，价少一百八十文为负列于下，乃以下砚三遍乘上砚七，笔三，价多四百八十文得砚二十一为正，笔九为负，价多一千四百文为正。又以上砚七遍乘下砚三，笔九少一百八十文，得砚二十一为正，笔六十三为负，价少一千二百六十文为负。两下相较，则砚各二十一，彼此减尽；
笔九枝与六十三枝两层皆负，故相减余五十四枝；
价多一千四百四十文与少一千二百六十文，一正一负故相加得二千七百文乃笔五十四枝之共价。以减余笔五十四除之得五十文，即笔每枝之价。以三因之，得一百五十文为笔三支之共价，与砚多四百八十文相加得六百三十文，为砚七方之共价。以砚七除之，得九十文即砚每一方之价也。”［11］405

《方程论》“较数方程例”第一题：

“假如以研七枚，换笔三矢，研多价四百八十文。若以笔九矢，换研三枚笔，多价一百八十文。问笔研价各如干。

答曰，笔每矢价五十文，研每枚价九十文。

法各列位，先以左行研负三遍乘右行得数，次以右行研正七遍乘左行得数，于是以上研各负二十一，同名相减尽。次以中笔两正，同名相减，余五十四为法。再以下价，左正右负，异名相并，得二千七百为实。……以右研七除之亦得研价九十。

若先求研价者，以研列中为除法，以笔列上为乘法。如后图……以左负笔九除之得五十为笔价，或以右研七价六百三十，与价四百八十同减余一百五十，以笔三除之亦得笔价五十。”［5］330

比勘表明，《数理精蕴》在具体表述上稍有改动，语言更为精炼。更显著的差异是，《数理精蕴》只论述了一种消元方法，即“使首数齐同”，采用顺序消元，先消去首数，后用代入法得出答案。如上题，先消去x（砚），使得方程变为ky=b的形式，求得y（笔）价再代入方程求出x（砚）价。《方程论》则给出两种消元方法：先消去x（砚），方程变为ky=b的形式，或先消去y（笔），方程变为kx=b的形式。即先求y（笔）或先求x（研）价两种情况。

就整体表述而言，《数理精蕴》更注重对计算过程及算法的描述，对运算依据或某些已知概念不做过多赘述，语言表述更为简略。《方程论》则与之相反，因注重对求解方程方法及理论的阐述，从而详尽列举了求解方程的不同消元方法，以明其理，对论述中所出现的名词概念、计算依据均进行了说明。例如：“次以中笔两正，同名相减，余五十四为法。再以下价，左正右负，异名相并，得二千七百为实。以法除实得五十文为笔价。”［5］330此段术文，不仅说明了消元过程及各个步骤的理论依据，甚至还详细的指出计算kx=b时，“法（k）”“实（b）”均为何数。

2.3 名称的变更

虽然《数理精蕴》与《方程论》的分类方式基本一致，但对于第三类方程，《方程论》称为“和较相杂方程”，《数理精蕴》则称为“和较兼用类”。

《方程论》“卷一·正名”中，梅文鼎说道：“杂者半有正负，半无正负。如一行云某物、某物各如干，共价如干；
而其一行则又云以某物如干，较某物如干，差价如干，或价相当，適足者是也。”［5］327意即：和较相杂方程，方程组中有的方程式系数符号均为正（和数方程），有的方程式系数符号有正有负（较数方程），即方程为和数方程和较数方程的综合。

在此后举例论述中，对于“和较相杂方程例”，梅氏又言：“方程之用，以御隐杂，妙在杂与变。知其杂，则杂而不乱矣。知其变则变而不失常矣。”［5］335相杂，乃交相混杂之意。如前文所言，梅文鼎的分类法是依托解方程过程中的符号变化规律，他认为方程的妙在于“杂”和“变”。杂，是方程类型的混杂；
变，是方程系数符号的变化。

《数理精蕴》中，对“和较兼用类”的描述为：“和较兼用者，和仍不用正负之号，而较则用之。”［11］396兼用，乃并用，共用之意。即此类方程中，同样包含和数类和较数类两类方程，和数方程不用正负号，而较者则用之。

“相杂”或“兼用”，虽用词不同，但二者均是对方程类型的描述，表达的实质是一致的。若论二者有何不同，笔者认为，“相杂”仅表明了此类方程中存在和数方程与较数方程两种形式的方程，“兼用”则在“相杂”的基础上，进一步指明了“和数方程”和“较数方程”系数符号特征。此外，在《方程论》“发凡”中，梅文鼎曾论述：“今按方程有和，有较，有兼用和较，有和较交变约法四端。”［5］32《5数理精蕴》中对方程类型的定名，可能来源于此。

值得一提的是，梅文鼎按系数的正负和消元过程中系数符号变化的分类法自谓已得古方程真谛，实则是缺乏依据的。梅氏的分类法不仅有重复分类的问题，而且对于一般方程不能立刻判断属于哪一类。“和数方程”“较数方程”“和较相杂方程”，或可从方程的形式，进行直观判断。而“和较交变方程”，非解之不能得。以今之见，不若“诸本方程”中分类法简明，正确［12］。

2.4 表示法的转变

关于方程的表示法，以前文提到的“较数类”方程为例说明。《方程论》为竖式（图1）［13］，《数理精蕴》则为横式（图2）［11］405。

由图1-2 可见，二者所呈现的内容是一致的，都是对消元过程的表示。相同的是，都没有表示未知数的符号，未知数均以物的名称表示。在具体求解时，也均采用互乘对减法进行消元。但是在表现形式上却有较大差异：《方程论》中对于进行互乘对减运算时，互乘后的得数，直接用小号字体在对应项下方写出。其中，在互乘的两项以及对减的两项间分别还附加了连线，对减后的得数则写于连线之上。而《数理精蕴》改“竖式”为“横式”，采用分离系数法，互乘及对减后的各得数依次置于对应项下方。虽然去除了对应项之间的连线，却增加一条横线，使得横线上方表示“互乘”后的结果，横线下方表示“对减”后的结果（图2）。

图1 《方程论》中的方程表示法Fig.1 Equation representation of Fang Cheng Lun

图2 《数理精蕴》中的方程表示法Fig.2 Equation representation of Shuli Jingyun

横线上方第一行与第二行表示初设方程

第三行与第四行表示互乘“首数”后产生的“新方程”

横线下方表示经过互乘对消，方程转化为“kx=b”的结果

以分离系数法表达“方程”，其形式完全对应于现代数学中线性方程组的增广矩阵［14］，相比《方程论》中的表示法，更为直观清晰。而《数理精蕴》中方程表示法的转变，可能是受“借根方比例”的影响［1］。

通过对比和分析《数理精蕴》与《方程论》的相应内容，发现《数理精蕴》对《方程论》内容的吸收主要集中于“卷一”，即方程的分类及求解问题。而关于方程求解方法的讨论，又涉及了“卷三”“卷四”“卷五”中的部分内容，对于“卷二”“卷六”的应用问题及特殊方程的处理问题均未收入。从《方程论》“反复推论以明其理”的编撰，到《数理精蕴》“取其精华”的改编，既反映了二者成书理念的差异，也表现出《数理精蕴》的编者对当时中西知识的理解与会通。

关于“方程”的求解及应用问题的讨论，早在《九章算术》就设有专章，如卷八专论“方程”［15］。刘徽在《九章算术注》中，不仅讨论了方程的某些性质，而且改进了方程解法，提出了方程求解的“新术”。明朝大量算书的失传使得当时的学者们对于“方程”的实质已不大清楚。仅流传的著作，如程大位的《算法统宗》，吴敬的《九章算法比类大全》等书中虽涉及方程问题，但梅文鼎认为“诸本方程”存在“残缺谬误”，并认为当时在中国的传教士也“不能正其沿误”。他认为：方程不仅“渊源远矣”，而且是最重要的数学理论之一，“方程于算术犹如勾股于量法，皆其最精之事”。因此，为了发掘古代方程理论的精髓，纠正当时方程著述中存在的谬误，梅文鼎撰写了《方程论》［4］。书中列举了大量的例题，在每题之后不仅有“法”，还有“论”。关于“论”，梅氏说道：“算学书有例无论则不知作法根源，……每卷之首皆有总论以为提纲，然后举例以实其说。而例中或有疑似之端，仍各有说，以反覆申明之。令览者彻底澄清无丝毫之凝滞。”［5］325梅氏本人对此书也比较满意，自认为是对发掘古代方程理论方面的重要成果［16］。通过自己的“反复推论”，一方面使读者明白方程问题，另一方面也使“方程”的精髓得以明示。

然而，《数理精蕴》对于《方程论》的改编，则与《数理精蕴》全书的体例有关。总览全书，就内容而言，是对当时中西数学先进理论成果的收编与规整，表现出更为鲜明的理论特征。就语言表述而言，相较于中国传统数学著作对计算方法与过程描述的抽象性，更具简明化、通俗化的特点。

在《数理精蕴》的提要中，有如下论述：

“本下编四十卷，曰分条致用。……皆通贯中西之异同，而辨订古今之长短。如旧传方程分二色为一法，三色为一法，四色五色以上为一法，头绪纷然。立假如仅可施之本例，不可移至他处。……今则约之，为和数、较数、和较兼用、和较交变四例。……以异名相并，同名相减，实足。正旧传之讹误。”［17］

以上内容，吸收了梅文鼎认为“诸本方程”存在“讹误”的论述，借以表明了此书“通贯中西之异同”。体现出对于《数理精蕴》的编撰者而言，虽然《方程论》内容丰富，包括了理论到应用的讨论，但核心内容或“精华”内容则是对方程分类及其求解方法的讨论。鉴于此，一方面为了展现理论化的特点，另一方面为了“辨订古今之长短”，《数理精蕴》对《方程论》采取了“取其精华”的改编方式。首先，对内容进行删减，仅选取《方程论》“精华”内容，省略了对特殊问题及应用问题的讨论。其次，精简语言表述，对于相应的理论依据不再赘述，对方程的求解过程也不再“举一反三”，反复推论。最后，受西方著作的影响，对方程的表示法由“竖式”改为“横式”，更为直观形象。

如上所述，《方程论》是《数理精蕴》“方程”内容的主要取材来源。因《数理精蕴》整体成书体例和编撰理念的影响，将《方程论》六卷内容删减取舍，同时，在语言表述、方程名称、题目设定、方程表示及术文起首方式等方面作了改动，使《数理精蕴》所呈现的“方程”内容，更具基础性和理论性。《数理精蕴》对《方程论》的吸收及精简，一方面，展现了《数理精蕴》在编撰过程对梅文鼎算学成果的继承与发挥。如日本学者桥本敬造所言“《数理精蕴》能够如实的反应梅氏的工作，通过它使梅文鼎的数学渗透给了后代数学家”［18］。另一方面，也体现了当时学者对中西数学知识的理解与感悟，“会通中西”的思想也深蕴其中。

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