基于宽波段光源拼接镜新型共相检测技术研究
时间：2023-06-06 12:05:26 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
李 斌，杨阿坤，邹吉平
（华东交通大学 智能机电装备创新研究院, 江西 南昌330013）
增大望远镜直径是获得更高分辨率的最有效途径，但是由于科学技术、制造成本、运输风险等因素，目前单块光学主镜的最大直径约为8.4 m。为了获取更大口径的望远镜，就需要采用其他方法，拼接镜技术应运而生。但为了保证拼接镜面的成像质量和望远镜的高分辨率，必须通过定量测量平移误差（piston）确定性调整拼接子镜。大口径望远镜拼接技术现已成为发达国家的重点研究课题，而实现拼接镜共相误差的高效率和高精度检测对于提高拼接镜的成像质量，促进拼接技术的发展具有重要的现实意义[1-7]。目前，检测拼接镜平移误差有很多种方法，如 PD法[8]、曲率传感器法[9-10]、夏克-哈特曼宽窄带法[11-14]、金字塔波前探测器法[15]、色散条纹传感器法[16]、色散瑞利干涉法[17]、双波长共相检测[18-20]、基于深度学习[21-22]等方法。但这些方法并不足够完善：如 PD 法耗时长，不适用于子镜过多的拼接镜检测；
曲率传感器的检测量程小（为 ±λ）亦不适用于子镜过多的拼接镜检测；
色散条纹干涉法存在相机靶面大和能量利用低的缺点，四棱锥波前探测器法的锥顶角加工难度大，存在 2π模糊效应；
双波长共相检测法存在能量利用率低、检测系统复杂的缺点；
深度学习耗时长、鲁棒性差等。目前，应用最为广泛的共相检测技术为宽窄带夏克-哈特曼法。宽带夏克-哈特曼方法虽然有较大的检测量程，但在大量程检测时，所利用光能带宽很窄（10 nm 带宽），造成目标流量过低而使检测时间过长；
且宽带夏克-哈特曼法检测精度较低。窄带夏克-哈特曼法检测精度高，但检测量程存在2π 模糊现象，检测量程不能超过所检测准单色光的半个波长，且所利用光能带宽更窄（10 nm 带宽以下），也存在目标流量过低而使检测时间过长问题。并且，宽带检测方法需利用多幅不同平移误差下相干衍射图案（如 Keck 中宽波段光源检测中模板图案为 11 张）为模板，因而匹配时间长，且检测精度相对较低（30 nm 级）。
基于此，本文提出一种新的拼接镜共相检测方法，即粗共相时，以 400～700 nm 带宽白光为光源，基于两半圆孔的非相干衍射图案作为模板；
精共相以白光为光源，以一幅相干衍射图案（白光艾里斑）代替多幅不同平移误差下的相干衍射图案为模板的新型共相检测方法。该方法目标流量大（300 nm 带宽），检测量程和时间均优于宽窄带夏克-哈特曼法，检测精度与宽窄带夏克-哈特曼法相当（10 nm 级），且检测系统可与宽窄带夏克-哈特曼法检测系统共用。
在拼接镜共相误差检测中，通过在拼接子镜间放置圆孔掩膜，并基于圆孔的夫朗和费衍射原理，通过放置圆孔的夫朗和费衍射图案随平移变化来计算两子镜间的平移误差。圆孔检测原理如图1 所示，以圆孔的圆心为坐标原点，圆孔所在平面作为X-Y平面，圆孔的法线方向为Z轴建立坐标系，圆孔半径为r，平面Y=0 将圆孔均分为上下两部分，X轴上半部分圆孔的平移误差为 δ/2；
X轴下半部分平移误差为 -δ/2。由图1可知：上下半圆孔的距离为 δ，则波前的光程差为 2δ。
图1 放置在子镜间的圆孔示意图Fig. 1 Schematic diagram of circular hole placed between sub-mirrors
假设光源为理想单色光，波长为 λ，则像平面的强度为[23-24]：
其中：k=2π/λ ， ρ 为 孔平面极坐标，用 (ρ,θ)表示；
w为像平面极坐标,用(w,ψ) 表示；
(x,y)为孔平面坐标，( ξ,η) 为像平面坐标。孔径平面的复振幅函数为f(ρ,kδ)。
当光源是中心波长为λ 、带宽为 Δλ的光源时，则该光源的相干长度l=λ2/(2·Δλ)，且不满足λ2/Δλ ≪1时 ，此时 Δk=的值不能忽略，即Δk对公式(1)中的三角函数值有很大影响。
现假设k服从高斯分布，则：
由以上分析可知：宽窄带检测法分别是从公式(1) 中的三角函数和公式(4) 中的系数α1,α2,α3中提取相位信息。
图2（彩图见期刊电子版）为在 400～700 nm波段，不同平移误差下的两半圆孔衍射图案，此时该波段光源的相干长度值为l=0.552/(2×0.3)=0.504 μm。从图中可知：当平移误差在相干长度以内时，即在（-0.252 μm, 0.252 μm）以内时，衍射图案呈现相干性；
当平移误差值在相干长度以外时，即平移＞0.252 μm 或平移＜ -0.252 μm 时，衍射图案呈现非相干性。
图2 在400～700 nm 带宽下，平移误差从1 μm 到-1 μm 变化时的理论圆孔衍射图Fig. 2 Theoretical circular diffraction patterns when piston error is varying from 1 μm to -1 μm at 400-700 nm bandwidth
图3（彩图见期刊电子版）为平移误差在400～700 nm 波段相干长度内的衍射图案，即平移误差从250 nm 变化到-250 nm，21 张两半圆孔衍射图案。从图中可以知：当平移误差在( -l/2,l/2)以内时，衍射图案呈现相干性，且相干图案出现了重复，但白光理想艾里斑没有出现重复。
图3 在400～700 nm 带宽下，平移误差从250 nm 到-250 nm 变化时的理论圆孔衍射图Fig. 3 Theoretical circular diffraction patterns when piston error is varying from 250 nm to -250 nm at 400-700 nm bandwidth
3.1 图像对比算法选取
通过理论仿真分析可知：在 400～700 nm 波段下，当拼接镜平移误差绝对值大于l/2时，衍射图案呈现非相干性；
当平移误差绝对值小于l/2时，衍射图案呈现相干性，虽然相干图案会重复出现，但白光理想艾里斑图案只出现了一次。因此，在平移误差的绝对值大于l/2时，可利用圆孔衍射图案非相干性来解算平移误差，当其绝对值小于l/2时，利用相干圆孔图案只出现一次白光理想艾里斑圆孔的性质来解算子镜平移误差。
由于灰度匹配算法具有较好的精度和鲁棒性，且抗噪性能强，算法简单。因此选用基于灰度匹配算法来计算实时图与模板图案的相干性，通过两图案的互相关系数值的大小判别两图案相似程度，其公式如下：
其中：
Corr2为 互相关系数，N为图案像素点总数，xi为 实时图案在i点 灰度值，x为实时图案灰度平均值，yi为模板图案在i点的灰度值，y为模板图案灰度平均值。
3.2 新型共相算法的仿真分析
由第二章分析可知：当平移误差绝对值大于l/2时，衍射图案呈现非相干性，当平移误差绝对值小于l/2时，衍射图案呈现相干性。在实际平移误差检测时，可利用该性质求解，即选用两半圆孔的非相干衍射图案为模板，利用基于灰度匹配算法计算拼接子镜间两半圆孔衍射图案与模板图案之间的互相关系值；
而当两子镜间的平移误差绝对值大于l/2时，衍射图案与模板图案的互相关系数值接近1，而当两子镜间的平移误差绝对值小于l/2时，子镜间的两半圆孔衍射图案呈现相干性，使得子镜间的两半圆孔衍射图案与模板图案的互相关系数值大幅下降。因此，可设定互相关系数的阈值，该阈值需小于平移误差为l/2时的互相关系数。当计算所得互相关系数小于该阈值时，圆孔衍射图案已经相干，即表明平移误差在一个相干长度以内，而此时只存在唯一的白光理想艾里斑。因此，采用白光理想艾里斑作为模板，以白光相干长度为量程，将检测精度设为步长，并利用互相关算法计算相邻子镜间圆孔衍射图案与模板图案之间的互相关系数。其中互相关系数对应的最大值平移误差为拼接镜平移误差值。
以20 nm 为步长，两圆孔平移误差扫描区间为（-2 μm，2 μm），可得到互相关系数仿真曲线，如图4（彩图见期刊电子版）所示。其中平移误差大于可见光相干长度时的模板图案为非相干圆孔衍射图案。从图4（b）中可知：当平移误差绝对值大于l/2时，互相关系数值都大于0.95，而当平移误差绝对值小于l/2时，互相关系数值大幅下降，且所有的值都小于0. 95，因此设定阈值为0.9 来判定平移误差的绝对值是否小于l/2。
图4 平移误差大于可见光相干长度时的（a）模板图案和（b）互相关系数Corr2 随拼接镜平移误差变化关系图Fig. 4 (a) Template pattern and (b) Corr2 as a function of piston errors when piston error is greater than visible coherence length
选用理想的圆孔艾里斑远场图案为模板图案，以 5 nm 为步长，圆孔平移误差扫描区间为（-250 nm，250 nm），可得到图5（彩图见期刊电子版）。从图5 可知：在平移误差的绝对值小于l/2，以及在平移误差为零时，所对应的互相关系数最大，即在实际检测中，以检测精度为步长，以相干长度为量程，扫描一圈，找到互相关系数最大值点，从而求出平移误差，检测精度为 10 nm。
图5 平移误差在可见光相干长度以内时的（a）模板图案和（b）互相关系数Corr2 随拼接镜平移误差变化关系图Fig. 5 (a) Template pattern and (b) Corr2 as a function of piston errors when piston error is within the coherence length of visible light
从图4 和图5 的仿真分析可知：该共相算法的检测量程为无限大，理论检测精度为10 nm 以上，检测带宽为 300 nm。在实际检测平移误差时，首先需解耦平移误差与倾斜（tip/tilt）误差并实时对倾斜误差调节，而倾斜误差的检测方法与平移误差解耦过程以及控制方法都在文献[13-14]中有详细介绍。采用该新型共相检测方法检测平移误差时，选用400～700 nm 波段光作为光源，选用该波段下的非相干两半圆孔衍射图案为模板，设定0.9 为互相关系数的阈值，并以20 nm 为步长进行扫描，当互相关系数的值小于0.9 时，停止扫描。此时平移误差在相干长度以内，切换扫描模式。以白光理想艾里斑为模板，将白光的相干长度作为量程，检测精度作为步长进行扫描，即求得互相关系数最大值时对应的平移误差。该对应平移误差值，即为实际平移误差。
由于圆孔掩模与两拼接子镜间无法达到中心绝对对准，实际拼接镜工作时，就会产生一定的偏差；
两拼接子镜需预留一定的间隙以防止因温度变化而使拼接子镜间相互挤压；
而且拼接镜工作时探测光强会因相机产生的噪声起伏变化，这些误差都会对最终结果造成影响。因此，对拼接镜进行共相检测时还需要分析间隙误差、偏心误差和相机噪声的影响。
4.1 间隙误差对间隙精度影响分析
当在Y方向圆孔衍射存在0.2r的间隙误差时，此时该圆孔的孔径函数为：
根据傅立叶光学理论，对间隙误差下的孔径函数进行傅立叶变换即可得到该处振幅函数，对振幅函数求平方可求得光强函数I(x,y)：
其中， ℘的表示对函数t(x,y)进行傅立叶变换。
由以上两式可依次求出在不同偏心距下的振幅，以及该偏心距下的光强。现定义：
其中，r为圆孔半径，Δspace与r成正比例关系。
如图6（彩图见期刊电子版）所示，互相关系数Corr2 的值随着R1值的变大而减小。从图6（彩图见期刊电子版）可知：当互相关系数Corr2=0.9，R1分别为0.2、0.3 时，对应的平移误差分别为220 nm 和250 nm，均在相干长度±0.25 μm 内；
而当R1=0.4，互相关系数Corr2=0.9 时，对应的平移误差为400 nm，大于相干长度，此时不能用本文方法检测。因此，使用本文方法检测时，间隙误差R1需小于0.3。
图6 R1 分别为0.2、0.3、0.4 时，互相关系数Corr2 值与平移误差关系图Fig. 6 Corr2 as a function of piston errors when R1 is 0.2,0.3 and 0.4
4.2 圆孔偏心误差对检测精度的影响分析
当圆孔衍射在Y方向存在0.2r偏心误差时，此时该圆孔的孔径函数为：
则圆孔下的振幅函数U(x,y)为：
其中：
同理可得：
则当存在偏心误差时，光强计算公式同式(7)。现定义：
其中， Δeccentric与r成正比例关系
如图7（彩图见期刊电子版）所示，随着R2值的变大，互相关系数Corr2 最小值整体递增。从图7 可知：在互相关系数Corr2=0.9，R2分别为0.3、0.4 时，平移误差都在相干长度±0.25 μm 内；
而当R2=0.5 时，互相关系数Corr2 值均大于0.9，此时，无法获得圆孔衍射的相干图案，因此偏心误差值R2需小于0.4。
图7 R2 分别为0.3、0.4、0.5 时，互相关系数Corr2 值与平移误差关系图Fig. 7 Corr2 as a function of piston errors when R2 is 0.3,0.4 and 0.5
4.3 相机噪声对检测精度的影响分析
现定义SNR 为：
其中：Imax为 信号光强峰值，Iave为噪声均值，δ为标准差。
如图8（彩图见期刊电子版）所示，随着SNR的变差，互相关系数Corr2 整体递减。从图8 可知：在互相关系数Corr2=0.9，SNR 分别为90、60时，平移误差分别为 210 nm 和 220 nm，都在相干长度±0.25 μm 内。而当R2=45 时，平移误差为270 nm, 在相干长度±0.25 μm以外。因此噪声误差值 SNR 需大于60。
图8 SNR 分别为45、60、90 时，互相关系数Corr2 值与平移误差关系图Fig. 8 Corr2 as a function of piston errors when SNR is 45, 60 and 90
4.4 同时存在多种误差检测精度的影响分析
在实际检测平移误差时，偏心误差、间隙误差和相机噪声等误差往往是同时存在的，因此，需分析存在多种误差时对检测精度的影响。如图9 所示：在R2=0.3，SNR=90 时，互相关系数Corr2随着R1的增大而减小。由图9 可知：在R1=0.2,R2=0.3，SNR=90 时，互相关系数Corr2 为0.9 时，平移误差为230 nm 和-220 nm，都在相干长度±0.25 μm 内。而当R1=0.3，R2=0.3，SNR=90 时，平移误差为-290 nm 和300 nm, 在相干长度±0.25 μm以外。因此，R1≤0.2，R2≤0.3，SNR≥90。
图9 R1=0.2， R2=0.3， SNR=90 和 R1=0.3， R2=0.3， SNR=90 时，互相关系数Corr2 值与平移误差关系图Fig. 9 Corr2 as a function of piston errors when R1=0.2,R2=0.3, SNR=90 and R1=0.3, R2=0.3, SNR=90
本文针对所提的新型共相算法，理论分析了该新型共相检测的方法的合理性。通过仿真验证该新型共相算法性能，仿真中，实现了从微米级到10 nm 级误差范围内的平移误差检测，同时利用理论和仿真分析了该新型共相算法中间隙误差、偏心误差以及噪声误差对检测精度和结果的影响，得到了该新型共相算法中的间隙误差R1值小于0.2、偏心误差R2值小于0.3 以及噪声误差SNR值大于90 时不会出现误检测。理论和仿真分析结果表明：该新型共相检测方法适合于拼接镜间共相的调节，且量程大、精度高、能量利用率高。
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