两类扰动的1形式二次可逆中心阿贝尔积分的零点个数
时间：2023-05-31 22:00:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
洪丽君,刘金灵,洪晓春
(1.中山大学数学学院,广东 广州 510275;2.中南财经政法大学统计与数学学院,湖北武汉 430073;3.云南财经大学统计与数学学院,云南 昆明 650221)
考虑扰动亏格1形式的二次可逆系统
其中ε(0<ε≪1)是一个实数,,p(x,y),q(x,y)都是关于x,y的多项式,并且
当ε=0时,系统(1.1)是一个二次可逆系统,而且是一个可积系统,它有一个中心.函数H(x,y)是其带有积分因子M(x,y)的一个首次积分,也就是说,可以定义一个连续的周期环域
它们是定义在最大开区间∆=(h1,h2)上的.本文要解决的问题是:对于任意小数ε,系统(1.1)可以从周期环域{Γh}中分支出多少个极限环？人们知道,在周期轨道的任何紧致区域中,系统(1.1)的极限环个数不超过以下阿贝尔积分I(h)的孤立零点个数 (见文献 [1-6]).
对于亏格 1形式的二次可逆系统,文献 [7]显示其可分为 22种基本类型,具体分为(r1)-(r22).当n较小时,对于零点个数的上界问题,文献[8]研究了系统(r1),系统(r2)是一个哈密顿系统;文献[9]研究了系统(r3)-(r6);文献[10-14]研究了系统(r9)-(r13)及(r16)-(r22).
本文再次研究系统(r19)和(r20),获得了一些新的结果(见表1).
表1 新结果与原结果的对比
系统(r19)和(r20)的形式如下:
由(1.3)式-(1.4)式,可得它们的首次积分为
(r19)是一个可积非哈密顿二次系统,其几乎所有的轨道都是四次曲线,它有一个中心(1,0),一条积分曲线x=0,一族周期轨道(见图1).
图1 系统(r19)的周期轨道
(r20)也是一个可积非哈密顿二次系统,其几乎所有的轨道都是二次曲线,它有一个中心(1,0),一条积分曲线x=0,一族周期轨道(见图2).
图2 系统(r20)的周期轨道
对于系统(r19),文献[10]给出了包含下面定理的结论.
定理 1.1[10]对于任意的n次多项式p(x,y)和q(x,y),阿贝尔积分I(h)的孤立零点个数的上界线性依赖于n.具体情况是:当n≥4时,上界为6n−12;当n=3,2时,上界为 10;当n=1时,上界为2;当n=0时,上界为0.
对于系统(r20),文献[11]给出了包含下面定理的结论.
定理 1.2[11]对于任意的n次多项式p(x,y)和q(x,y),阿贝尔积分I(h)的孤立零点个数的上界线性依赖于n.具体情况是:当n≥3时,上界为6n−9;当n=1,2时,上界为 7;当n=0时,上界为0.
本文的主要结果包含下面的定理.
定理 1.3对于n次任意的多项式p(x,y)和q(x,y)(n=1,2,3),阿贝尔积分I(h)的孤立零点个数的上界如下:对于系统(r19),当n=3,2时,上界为5;当n=1时,上界为1.对于系统(r20),当n=3时,上界为5;当n=2,1时,上界为4.
新结果与原结果的对比情况见表1.
本文后面部分的结构如下:第二部分,努力寻找阿贝尔积分I(h)的简单表示方法,获得了它的一种简单表示.第三部分,对于系统(r19),研究其阿贝尔积分I(h)与J1(h)之间的关系;对于系统(r20),研究其阿贝尔积分I(h)与之间的关系.获得了两个Riccati方程.第四部分,使用Riccati方程方法证明了定理1.3.第五部分,给出一个简短的结论.
文献[10-11]仅考虑了函数α(h),β(h),B(h)和D(h)关于h的次数.现在,研究这些函数关于h的次数,还考虑其奇偶性,而且考虑h的取值范围,从而得到更好的结果.在本节中,使用Riccati方程方法证明定理1.3.
对于后面的内容,用♯I(h)表示阿贝尔积分I(h)在区间∆中的零点个数,需要用到下面的引理.
在本文中,对于次数为n(1≤n≤3)的任意多项式扰动下的亏格1形式二次可逆系统(r19)和(r20),使用Riccati方程方法,研究其阿贝尔积分孤立零点个数的上界,得到如下结果:对于系统 (r19),当n=3,2时,上界为5,当n=1时,上界为1;对于系统(r20),当n=3时,上界为5,当n=2,1时,上界为4.这些结果均优于原结果.
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