晚清数学教科书《代数备旨》的底本与编译

郭金海

(中国科学院 自然科学史研究所，北京 100190)

1860年第二次鸦片战争结束后，随着晚清政府允许传教士深入中国内地活动，在华教会学校迅速增加[1]。主要由于益智书会的推动和教会学校数学教学的需要，一些来华传教士与国人合作编译了《形学备旨》[2]、《代数备旨》[3，4]、《代形合参》[5]、《八线备旨》[6]等中学程度的几何、代数、解析几何、三角学等数学教科书。《代数备旨》是晚清重要数学教科书之一，由13章本和下卷组成(图1)。13章本由美国北长老会传教士狄考文(Calvin Wilson Mateer，1836—1908)选译，邹立文、生福维笔述，1890或1891年由上海美华书馆出版(1)《代数备旨》13章本初版封面印有“大清光绪十六年岁次庚寅上海美华书馆镌印”，时间是1890年；
该书内有“光绪十七年正月十六日狄考文序”，则是1891年2月24日。[3]；
下卷由狄考文译，范震亚校录，1902年由上海会文编译社出版[4]。系统研究《代数备旨》有助于了解益智书会成立后教会学校数学教科书的编译工作及其影响，可以认识欧美数学教科书对狄考文及其合作者编译《代数备旨》的影响，他们对编译该书所做的努力与在当时中西文明冲突下的编译态度。

图1 《代数备旨》13章本与下卷封面

关于《代数备旨》，曹术存[7]、王全来[8]对13章本的内容、流传和影响做过考察。祝捷对13章本和下卷做过系统的探讨[9]。狄考文编译《代数备旨》时选用了几种底本。对该书底本的确定存在难度，学界长期以来没有任何研究。因而，该书采用了什么底本，至今还是个悬案。对《代数备旨》的编译情况，现有成果虽有涉及([9]，100-103页)，但未通过译本和底本的比较进行深入探讨，仍有宽广的研究空间。鉴于此，本文以《代数备旨》、19世纪欧美相关数学教科书和晚清汉译数学著作为基础，考察《代数备旨》的底本，论述该书的编译情况。希冀本文有助于推进晚清数学教科书的研究。

狄考文是中国近代著名基督教来华传教士。1864年1月初他携妻子抵达山东省登州，9月一起创办了登州蒙养学堂。[10]1873年学校更名为登州男子高等学堂，1877年又更名为登州文会馆。[11]益智书会成立于1877年。狄考文是益智书会最早的委员之一。[12]《代数备旨》13章本的编译工作完成于1882年。同年3月，狄考文向益智书会报告说他的代数学课本即《代数备旨》手稿已完成，只需在出版前做一些修改和调整。([10]，104-105页)该书下卷校录者范震亚在下卷序中说“余于己亥之秋(2)“己亥之秋”，即1899年秋。得其下卷”([4]，1页)，可知下卷编译工作至迟完成于1899年。《代数备旨》13章本正文前有“代数凡例”，下卷各章与13章本统一排序，共11章，内容如表1。

表1 《代数备旨》内容一览表

《代数备旨》除未涉及对数、排列和组合等初等代数学基本知识点外，涵盖了初等代数学大量基础知识和二项式、级数等少量高等数学知识。13章本共设习题1366道，题量甚大，下卷有8章亦设有习题，共149道，供学习者演练和巩固所学知识。

续表1

《代数备旨》13章本出版前，英国基督教新教传教士伟烈亚力(Alexander Wylie，1815—1887)和李善兰合译有《代数学》[13]、英国人傅兰雅(John Fryer，1839—1928)和华蘅芳合译有《代数术》[14]。《代数学》和《代数术》分别在晚清重要官办洋务学堂——京师同文馆、上海广方言馆被用作数学教学用书[15，16]。但这两本书作为数学教学用书都存在缺点。对此，狄考文在《代数备旨》13章本序中有明确的说明：

于咸丰年间，伟烈亚力先生有一译本名《代数学》。近年傅兰雅先生有一译本名《代数术》。此二书虽甚工雅，然而学者仍难就绪。盖人作书，意各不同，有为阐发数理，以备好算家考查而作者，有为务求新异，以显其独得之奇者。观伟公所译之原本，特欲显其艺能小巧，故未能始终详明，令人由浅以及深也。而傅公所译之原本，乃欲备述代数之大旨，以供人之查检，是为已知者之涉猎而作，非为未知者之习学而作也。况此二书，皆无习问，学者无所推演，欲凭此以习代数，不亦难乎？([3]，2-3页)

这就是说：《代数学》是追求新异，显示技巧之作，有些内容并非详细明白，内容编排亦非由浅入深。《代数术》讲述代数学大意，适合已有基础的数学爱好者查阅，并不适合初学者学习。这两部著作都未设“习问”即习题，供学生练习演算能力，这不利于学生学习代数知识。狄考文这些看法是客观的。

关于《代数备旨》的底本，傅兰雅和狄考文做过说明。1894年，傅兰雅于《益智书会书目》中指出：《代数备旨》由“登州文会馆狄考文牧师翻译，使用的底本为Loomis的《代数学》，并据Robinson的《高中代数》加以补充。”[17]其中，“Loomis”和“Robinson”分别是19世纪美国编撰数学教科书名望颇高的科学家罗密士(Elias Loomis，1811—1889)、美国数学家罗宾逊(Horatio Nelson Robinson，1806—1867)。傅兰雅的说明并不全面，其所言《代数学》和《高中代数》亦并非《代数备旨》底本的准确书名。在13章本序中，狄考文对《代数备旨》的底本也有说明：

今此书系博采诸名家之著作辑成，并非株守故辙，拘于一成本也。书中次序规模，则以鲁莫氏为宗，而讲解则多以拉本森为宗。其无定方程，则以投地很得为宗。总以取其所长为是。此诸原本皆为西国教读之名书。所用名目、记号，无不详以解之。所言诸理，无不明以证之。其诸算式亦无不先作解以显其所以，后立法以示其当然。盖其一切法术，俱由法问推出。且每立一法，必加习问或兼设题问，令学者习演，以至于纯熟也。([3]，3页)

这段话表明：《代数备旨》并非局限于一部底本，而是以3位西方著名学者“鲁莫氏”、“拉本森”、“投地很得”的名著为底本编译而成，并吸纳了这些名著的优点。但狄考文并未说明究竟采用了这3位学者的何种著作。

笔者通过查阅19世纪欧美相关数学教科书，将其与《代数备旨》相互比较，确认“鲁莫氏”即罗密士，“拉本森”即罗宾逊，“投地很得”是英国数学家、科学史家托德亨特(Isaac Todhunter，1820—1884)。

2.1 罗密士的《代数论》修订版

罗密士的代数学著作主要有两本：一本是《代数论》(ATreatiseonAlgebra)。这本书于1846年初版，是罗密士专为纽约市立大学学生撰写的，适用于有一般学习能力和资质的十五六岁的青年人。在他看来，这本书不仅适合他的学生的需求，也适合美国大学学生的普遍需求。[18]该书出版后被美国许多学院和高中使用[19]，广为流行，至1864年已出26版[20]。后因该书铅版印量超过60 000册，必须报废，罗密士对该书进行了大幅度的修订。其修订版至迟于1869年出版。[21]另一本是《代数学基础》(ElementsofAlgebra:DesignedforBeginners)。这是一本更初等的代数学教科书，用于刚学完算术的学生。[19]该书于1851年初版，颇为流行，至1868年已出23版[22]。

《代数论》初版共分21章[18]，至修订版时扩展为22章[21]。在框架结构上，《代数论》修订版与初版差异很大。修订版不仅修订了部分章名，也调整了部分章序，各章依次为“定义和记号”、“加法”、“减法”、“乘法”、“除法”、“最大公因数—最小公倍数”、“分式”、“一次方程”、“多个未知量的方程”、“问题讨论”、“乘方”、“开方”、“根式”、“二次方程”、“比和比例”、“数列”、“连分数—排列和组合”、“二项式定理”、“级数”、“对数”、“方程一般理论”、“高次数字方程”。[21]《代数备旨》13章本有12章的章名与《代数论》修订版基本一致：13章本前8章章名与《代数论》修订版前8章章名基本一致；
13章本第10—13章章名与《代数论》修订版第11—14章章名基本一致。根据1856年出版的第6版，罗密士《代数学基础》共分14章[19]，至第23版框架未变[22]。《代数备旨》13章本在框架结构上虽然前5章与《代数学基础》前5章基本一致，但自第6章起差异明显。

《代数备旨》13章本第1章“开端”、第4章“乘法”、第5章“除法”、第6章“生倍”、第7章“命分”、第10章“方”、第13章“二次方程”等都有内容编译自《代数论》修订版。例如， 13章本第1章中“几何学”定义便是编译自《代数论》修订版第1章“定义和记号”中的“数学”定义(图2、图3)，由表2可以看出。

图2 《代数备旨》13章本第1章“开端”(局部)

图3 《代数论》修订版第1章“定义和记号”(局部)

表2 《代数备旨》13章本第1章中“几何学”与《代数论》修订版第1章中“数学”定义比较表

比较可见，《代数备旨》13章本第1章中“几何学”的定义相对简略，但定义内容大都可从《代数论》修订本第1章中关于“数学”的定义即第2、3款中找到意义相同的语句。狄考文将“mathematics”翻译为“几何学”，是由他对“几何”一词的认识决定的。他认为“几何”所指范围很广，既包括“形学”即“geometry”，亦包括当时称为“算学”(主要指算术)的各类知识。1884年，他在《形学备旨》序中即说：“几何之名所概过广，不第包形学之理，举凡算学各类悉括于其中”。在该序中，他就指出“几何为论诸算学之总名也”。([2]，1页)

再如，《代数备旨》13章本第4章第46款“合式无关于相乘之序”编译自《代数论》修订版第4章“乘法”第56款部分内容。第46款为：“数几何无论按何序乘之，其合必同。如2×3×4，与2×4×3，与4×3×2，其合俱为24。又如甲×乙×丙，与甲×丙×乙，与乙×丙×甲，此三元无论代何数，其合俱同。”([3]，16页)第56款相关内容是：“When several quantities are to be multiplied together， the result will be the same in whateverorderthe multiplication is performed”；
“For the same reason， 2×3×4 is equal to 2×4×3，or 4×3×2， or 3×4×2， the product in each case being 24. So， also， ifa，b， and c represent any three numbers， we shall haveabcequal tobcaorcab.”([21]，32页)

《代数备旨》13章本编译自《代数论》修订版的内容，不仅有课文，还有习题。例如，《代数备旨》13章本第5章“除法”第55款后“习问”第9题为：“12甲4也6(该项在《代数备旨》13章本中原为“12甲2也6，将甲的指数4误为2)-16甲5也5+20甲6也4-28甲7也3被-4甲4也3除，等于若干。”([3]，24页)除甲表示a，也表示y外，该题与《代数论》修订版第5章“除法”第78款后例题第8题相同。第8题为：“Divide 12a4y6-16a5y5+20a6y4-28a7y3by -4a4y3.”([21]，44页)除符号以甲表示a、乙表示b、丙表示c、天表示x、也表示y、人表示z外，《代数备旨》13章本第10章“方”第144款后“习问”第1—7题，分别与《代数论》修订版第11章“乘方”第185款后例题第3—9题相同。([3]，85页；
[21]，128页)

同时，《代数备旨》下卷第18章“论求略近之根”第18—22道习题，分别编译自《代数论》修订版第21章“方程一般理论”第444款例题第1—5题。其中，前书第18道习题为“今有天3+3天2-4天+1=0，欲令变为他式，而令变式之根比原式之根大于1。问变式如何？”([4]，61—62页)后书例题第1题为“Find the equation whose roots are greater by 1 than those of the equationx3+3x2-4x+1=0.We must here substitutey-1 in place ofx. Ans.y3-7y+7=0.”([21]，317页)狄考文及其合作者编译时，删除了“We must here substitutey-1 in place ofx”和答案。

《代数备旨》有些内容是罗密士《代数学基础》与《代数论》修订版共有的，但有些内容是《代数论》修订本有，而《代数学基础》没有的。例如，《代数备旨》13章本第5章“除法”第56款后“习问”第17题([3]，25页)，与《代数学基础》第5章“除法”第76款例题第20题([22]，86页)、《代数论》修订版第5章“除法”第80款后第20题([21]，47页)，均相同。《代数备旨》13章本第5章“除法”第56款后“习问”第7题为：“天6-也6被天3+2天2也+2天也2+也3除，等于若干。”([3]，25页)除天表示a，也表示b外，该题与《代数论》修订版第5章“除法”第80款后第9题相同，第9题为：“Dividea6-b6bya3+2a2b+2ab2+b3([21]，47页)。而此题是《代数学基础》没有的。

《代数备旨》有的问题是罗密士《代数学基础》与《代数论》修订版共有的，解法三者基本相同，但结果与《代数论》修订版的相同，而与《代数学基础》的不同。《代数备旨》13章本第13章“二次方程”第201款“题问”第1题([3]，25页)，即如此。《代数论》修订版第14章“二次方程”第255款后“问题”第1题与之相同，解法和结果也相同。([21]，179页)《代数学基础》第12章“二次方程”第164款后例题第12题与《代数论》修订版该题相同，解法基本相同，但结果不同。([22]，200页)

由上述可知，罗密士《代数论》修订版是《代数备旨》13章本和下卷的底本之一。《代数备旨》在底本上与《代数学基础》没有关系。狄考文编译《代数备旨》13章本时，模仿了《代数论》修订版的部分框架结构。

2.2 罗宾逊的《新大学代数》

罗宾逊编撰大学和中学数学教科书颇有建树。其编撰有《新大学代数：一部用于大学和中学的包括多种新颖独特方法的理论和实践专著》(NewUniversityAlgebra:ATheoreticalandPracticalTreatise，ContainingManyNewandOriginalMethodsandApplicationsforCollegesandHighSchools)。该书于1962年或稍后初版，是美国大学和中学流行的代数学教科书。笔者所见其最早版本为1863年版[23]。其内容共分9章。第1章由“定义和记号”、“整量”、“分式”3部分组成，没有统一的章名，第2—9章依次为“简单方程”、“乘方与根”、“根式”、“二次方程”、“比例，排列与组合”、“数列”、“方程的性质”、“高次数字方程的解法”。[23]该书1864年[24]、1868年[25]、1872年[26]亦有出版；
1878年更名为《新大学代数：一部专为大学和中学设计的理论和实践专著》(NewUniversityAlgebra:ATheoreticalandPracticalTreatise，DesignedforUseinCollegesandHighSchools，以下简称《新大学代数》)，以新的电版印刷再版[27]。该书从1863年版至1878年版，结构体系没有变化，仅有个别单词、格式有所修改。

同时，罗宾逊编撰有《新初等代数：包括学校和学院的科学入门知识》(NewElementaryAlgebra:ContainingtheRudimentsoftheScienceforSchoolsandAcademies)(简称“《新初等代数》”)，于1859年或稍后初版。笔者所见该书最早版本为1866年版[28]。该书于1875年以新的电版印刷再版，书末增加一个12页供学生准备大学入学考试的材料，其他内容未变[29]。1879年该书也有出版，较1875年版没有变化[30]。在上述两本代数教科书之前，罗宾逊还编撰有《代数学初论：理论与实践》(AnElementaryTreatiseonAlgebra;TheoreticalandPractical)，1846年初版[31]；
《代数学初论：为那门科学设计的入门课程》(AnElementaryTreatiseonAlgebra：DesignedasFirstLessonsinThatScience)，1850年初版[32]，1856年出至第9版[33]。

罗宾逊的这4种代数教科书在一级结构上与《代数备旨》差异都较大。但经比对，《代数备旨》13章本各章与下卷第19—24章都有大量内容编译自《新大学代数》。例如，《代数备旨》13章本第1章“开端”中“几何”的定义，编译自《新大学代数》第1章中“定义和记号”部分“量”的定义。其中，“几何”的定义为：“凡可权、可量、可度、可测者，皆名曰几何，即如分、两、远近、时刻等是也。几何之度法，系取同类之他几何为准个，以显其多寡也。”([3]，1页)“量”的定义是：“Quantityis anything that can be increased， diminished， or measured; as distance， space， weight， motion， time. A quantity is measured by finding how many times it contains a certain other quantity of the same kind， regarded as a standard. The conventional standard thus used is called theunitofmeasure.”([27]，9页)除“量”的定义最后一句外，这两个定义基本相同。而罗宾逊《新初等代数》中“量”的定义为“Quantityis anything that can be measured or compared; as distance， space， motion， time”([29]，7页)，与《代数备旨》13章本中“几何”定义明显不同。

《代数备旨》13章本第1章“开端”介绍的11条“自理”即公理，与《新大学代数》第1章中“定义和记号”部分的“公理”基本相同，且排列顺序相同。([3]，4-5页；
[27]，15-16页)而罗宾逊《代数学初论：理论与实践》引言“定义和公理”中有8条“公理”，虽然各条在《代数备旨》13章本第1章“自理”中都有相同的自理，但不足11条，与《代数备旨》的“自理”不能一一对应([31]，11页)。罗宾逊《代数学初论：为那门科学设计的入门课程》第1章前有“公理”，共9条，各条在《代数备旨》13章本第1章“自理”中也都有相同的自理，但亦不足11条，与《代数备旨》的“自理”不能一一对应([33]，16页)。([5]，4-5页)

《代数备旨》13章本第1章“开端”第31款“演代数式”的12道习题，完全编译自《新大学代数》第1章中“定义和记号”部分第40款的前12道习题，且排列顺序相同。([3]，5页；
[27]，16页)仅是《代数备旨》13章本第2、8题对《新大学代数》第2、8题略有改编，并增加了第2、3、8题的答案。《代数备旨》13章本第1章“开端”第32款后“习问”的20道题，均编译自《新大学代数》第1章中“定义和记号”部分第41款的习题。具体而言，《代数备旨》13章本第32款后第1—16题、第17题、第18—20题，分别编译自《新大学代数》第1章第41款的第1—16题、第18题、第21—23题。编译时，用甲、乙、丙、丁、己、庚，分别表示《新大学代数》习题中的a，b，c，m，n，d。如《代数备旨》13章本第4题为“今求甲丁+丙2-丁庚4之同数若干”，编译自《新大学代数》第1章第41款第4题“am+c2-md4”。([3]，6页；
[27]，17-18页)

又如，《代数备旨》13章本第2章“加法”第33—36款及36款后的“法术”的内容编译自《新大学代数》第1章中“整量”部分“加法”第44—49款内容。除符号以甲表示a外，第36款的4个“法问”的问题，与《新大学代数》第1章中“整量”部分“加法”第48款的4个例子相同，且排序相同。([3]，7-8页；
[27]，20页)《代数备旨》13章本第36款前两个“法问”在罗密士《代数论》修订版第2章“加法”第40款有大致相同的内容，但后两个法问在《代数论》修订版中没有相应的内容([21]，21页)。因此，《代数备旨》13章本第2章的这些内容编译自《新大学代数》，而不是《代数论》修订版。

除符号以甲表示a、乙表示b、丙表示c、丁表示d、天表示x、也表示y，未直接提供答案外，《代数备旨》13章本第2章“加法”第39款后“习问”第1题、第4题、第8题、第9题，分别与《新大学代数》第1章中“整量”部分“加法”第51款后的练习例题第6题、第4题、第8题、第10题相同。([3]，11页；
[27]，24页)

《代数备旨》13章本第3章“减法”的内容大都编译自《新大学代数》第1章中“整量”部分“减法”的相关内容，前书第3章的习题都编译自后书第1章中“整量”部分“减法”的例题和习题。除符号以甲表示a、乙表示b、丙表示c、丁表示d、天表示x、也表示y、壬表示p、未表示q、午表示r、戊表示s、子表示m、人表示z，大部分习题未直接提供答案外，《代数备旨》13章本第3章“减法”第41款后“习问”的22道题，在《新大学代数》第1章中“整量”部分“减法”第56款后的练习例题中都有相同的例题。([3]，12-15页；
[27]，25-30页；
[5])

《代数备旨》13章本第4章“乘法”部分内容编译自《新大学代数》第1章中“整量”部分的“乘法”和“公式与一般法则”的相关内容。除符号如上述汉字表示相应英文字母，并以癸表示h，丑表示n，大部分习题未直接提供答案外，《代数备旨》13章本第4章第47款后“习问”的22道题，与《新大学代数》第1章中“整量”部分“乘法”第68款后的22道练习例题分别相同。([3]，17-21页；
[27]，33-37页)

《代数备旨》13章本第5章“除法”部分内容编译自《新大学代数》第1章中“整量”部分的“除法”、“整除”、“倒数、0次幂与负指数”、“am±bm类型的量的整除性”、“因式分解”的相关内容。除符号如上述汉字表示相应英文字母，并以寅表示指数c，以卯表示指数d，习题未直接提供答案外，《代数备旨》13章本第5章第54款后“习问”的14道题，分别与《新大学代数》第1章中“整量”部分“除法”第78款后练习例题前14题相同。([3]，22-29页；
[27]，39-51页)

《代数备旨》13章本第6章“生倍”内容大都编译自《新大学代数》第1章中“整量”部分“最大公因数”、“最小公倍数”。除符号如上述汉字表示相应英文字母，未直接提供答案外，《代数备旨》13章本第6章“生倍”第69款后“习问”的14道题，与《新大学代数》第1章中“整量”部分“最大公因数”第105款后的14道练习例题对应相同。([3]，30-36页；
[27]，52-63页)

《代数备旨》13章本第7章“命分”内容大都编译自《新大学代数》第1章中“分式”部分的内容。除符号如上述汉字表示相应英文字母，未直接提供答案外，《代数备旨》13章本第7章第87款后“习问”前14题，与《新大学代数》第1章中“分式”部分“约分”第124款后的14道练习例题对应相同。([3]，37-48页；
[27]，64-82页)

再如，《代数备旨》13章本第8章“一次方程”、第9章“偏程”内容大都编译自《新大学代数》第2章“简单方程”。《代数备旨》13章本第10章“方”和第11章“方根”内容部分编译自《新大学代数》第3章“乘方与根”。《代数备旨》13章本第12章“根几何”内容大都编译自《新大学代数》第4章“根式”。《代数备旨》13章本第13章“二次方程”内容大都编译自《新大学代数》第5章“二次方程”。《代数备旨》13章本第8—13章习题主要编译自《新大学代数》相应章的练习例题。([3]，49-155页；
[27]，83-264页)

《代数备旨》下卷第19—24章主要编译自《新大学代数》第7章“数列”。《代数备旨》下卷第19章“论自方程之式”编译自《新大学代数》第7章“数列”的“恒等方程”。《代数备旨》下卷第20章“论分数拆股之法”主要编译自《新大学代数》第7章“数列”的“有理分式拆分”的内容，其中前书第20章习题第3—7题，分别编译自后书第7章中的“有理分式拆分”的练习例题第2、1、3、4、5题。《代数备旨》下卷第21章“论二项例之类”部分内容编译自《新大学代数》第7章“数列”的“二项式定理”、“二项式公式的应用”和“代换法”的内容，其中前书第21章习题第1—3题，分别编译自后书第7章中的“二项式公式的应用”第377款前3道例题。《代数备旨》下卷第22章“论无穷方根开为级数之法”编译自《新大学代数》第7章“数列”的“不尽根的级数展开”和“分式的级数展开”，前书第22章第52款后习题第1题，编译自后书第7章中“不尽根的级数展开”第380款的第1道例题。([4]，63-84页；
[27]，301-324页)

《代数备旨》下卷第23章“论泛系数之法”编译自《新大学代数》第7章“数列”的“不定系数法”，前书第23章的6道习题，全部编译自后书第7章中“不定系数法”的练习例题。《代数备旨》下卷第24章“论回级数求总之法”编译自《新大学代数》第7章“数列”的“循环级数”，前书第24章习题后第2和3题、第5题、第6题、第7题、第8题、第9题，分别编译自后书第7章中“循环级数”第391款后练习例题第1和2题，第5题、第4题、第6题、第7题、第8题。([4]，85-92页；
[27]，325-328、332-335页)

2.3 托德亨特的《大学和学校用代数学：配有大量例题》

托德亨特早年就读于伦敦大学学院(University College， London)夜校，成为德·摩根(Augustus De Morgan，1806—1871)的学生。1842年和1843年相继在伦敦大学获得学士和硕士学位。在德·摩根的建议下，他于1844年进入剑桥大学圣约翰学院(John’s College)任教。托德亨特一生编撰多部数学教科书，是英国著名数学教科书编撰者。[34，35]其《大学和学校用代数学：配有大量例题》(AlgebrafortheUseofCollegesandSchools:WithNumerousExamples)[36]是《代数备旨》下卷底本之一。

《大学和学校用代数学：配有大量例题》于1860年前出版，1866年第4版问世[36]，1875年出至第7版[37]，在英国具有一定的影响。《代数备旨》下卷第14章“论无定方程”的习题第2—7题编译自托德亨特该书第46章“一次不定方程”末的例题。([4]，14页；
[37]，393页)《代数备旨》下卷第14章末第13题，与托德亨特该书第46章“一次不定方程”第34道例题相似。第13题为“今有人买生畜一百只，共用银一百两。只知绵羊每只三两半，山羊每只一零三分之一两，猪每口五钱。问三畜各若干？”([4]，15页)第34道例题为“A farmer buys oxen， sheep， and ducks. The whole number bought is 100， and the whole sum paid=￡100. Supposing the oxen to cost ￡5， the sheep ￡1， and the ducks 1 s. per head; find what number he bought of each. Of how many solutions does the problem admit？”([37]，395页)这两题都是3种牲畜，牲畜数量和钱数均为100，仅是牲畜种类、单价、货币单位不同，应该是前题编译自后题。《代数备旨》下卷第16章“论四次方程之解法”第18道习题编译自托德亨特该书第54章“不同种类的方程”第759款第3个方程。([4]，44页；
[37]，483页)

2.4 傅兰雅和华蘅芳合译的《代数术》

傅兰雅和华蘅芳合译的《代数术》也是《代数备旨》下卷底本之一。《代数备旨》下卷第14—18章课文，分别有内容改编自《代数术》第21卷、第11卷、第12和13卷、第15卷、第16卷，如表3。该表左栏内容改编自同行右栏内容。

表3 《代数备旨》下卷改编自《代数术》内容一览表

续表3

《代数备旨》下卷第14—18章共41款，有28款改编自《代数术》，占这5章款数的68.3%。其中，不少内容与《代数术》对应内容高度相似。这从表4所列《代数备旨》下卷第15章第8款与《代数术》第11卷第113款各一段文字，可见一斑。

表4 《代数备旨》下卷第15章第8款与《代数术》第11卷第113款部分内容比较表

比较可见，这两段文字的表述十分相似，甚至《代数备旨》下卷“人初观天3=未之式，必以为其天只有一个同数”与《代数术》“人初观天三=未之式，必以为其天只有一个同数”等文字基本相同。主要不同之处只是在表示数目时，《代数备旨》使用阿拉伯数码，《代数术》则使用汉字；
《代数备旨》以天3=丙3表示《代数术》的未=丙三。

《代数术》的底本是英国数学家华里司(William Wallace，1768—1843)为《大英百科全书》(The Encyclopaedia Britannica or Dictionary of Arts， Sciences， and General Literature)第7版撰写的条目“Algebra”。[38，39]狄考文编译《代数备旨》下卷时，并未直接取材于《代数术》的底本。由如下一例，可以看出。在《代数术》的底本中，表4所列《代数术》第11卷第113款的原文如下：

这段原文说明了正方程即纯方程，和杂方程的定义，但表4所列《代数术》译文和《代数备旨》下卷均未说明。这段原文没有与《代数备旨》下卷中“其例与二次式分类之法相同”的同义语句，而《代数术》有基本相同的文字“其例与二次式分类之法同”。

实验采用一个压电悬臂梁作为压电能量转换装置,其压电片材质为压电陶瓷片,型号为PZT-5A,尺寸为60 mm×31 mm,基板尺寸为80 mm×33 mm×0.6 mm。采用RIGOL DG1022U信号发生器生成激励信号,经LA-800线性功率放大器放大后驱动VT-500电磁激振器,作为压电片的振动源。本文所提电路采用分立元件予以实现,其主要元器件型号及参数如表1所示。

《代数备旨》下卷第14章也有习题取材于《代数术》。该章第8道习题取材于《代数术》第21卷第193款第3题，题为：“有欠人小洋钱一仟二百元，只有大小二种金钱能抵此债。其大金钱每元可抵小洋钱二十七元，小金钱每元可抵小洋钱二十一元。今欲用两种金钱还此欠项，问有几样配搭之法。”([4]，14-15页；
[14])该章第25—27道习题，分别取材于《代数术》第21卷第200款第1—3题。([4]，17页；
[14])

狄考文及其合作者编译《代数备旨》时，主要参考《代数论》修订版的框架结构，综合了《代数论》修订版、《新大学代数》、《代数术》、《大学和学校用代数学：配有大量例题》等底本的内容，按照由浅入深的顺序对所选取的内容做了统筹编排。《代数备旨》13章本“代数凡例”对这一编排方式做了说明，并对学习者提出要求：“此书乃由浅及深，原有一定之序，故凡欲学之者，亦当按部就班，断不可躐等而进。设若学数款而又舍数款，则必不能得其明也。”([3]，5页)

除此之外，“代数凡例”还规定一些其他要求，针对的对象不光是学习者，还有教师。如其中提出：“此书文虽浅显，而理实深奥，非如闲书，一览之余，即能揭其底蕴也。故学之者须专心致志，步步温习，方能得此书之精微矣”；
“欲习此书者，必先熟于数学，如加、减、乘、除、诸等、命分、小数，等等。否则其理难穷，其事难终也”；
“凡为师者，宜使诸生将书中之法术，一一解明证出，观其是否明白，且书中之习问，又宜使其一一算清。至于当背者，惟有法术而已，余者不必背也”。([3]，5页)这些要求对于学习者和教师都是有益的指导。

设习题是《代数备旨》的一个特点。这一特点是伟烈亚力和李善兰所译《代数学》、傅兰雅和华蘅芳所译《代数术》不具备的，对学习者演练和巩固所学知识是重要的。《代数备旨》13章本和下卷均附习题答案，即“总答”。“总答”列于书末，与现今一般数学练习册编排方式相同。狄考文及其合作者这样编排，目的是为了先让学生“先依书中之理，自出心裁而算之，后不过将答捡出对证之而已。”([3]，6页)但《代数备旨》13章本有的章所设习题过多，如第8章220道，第13章233道，第12章245道，而这些章的法问相对较少，致使课文和习题失衡。晚清学者彭致君在其《改正代数备旨补草》中曾指出：《代数备旨》“法问少而习题多，纵学者天资最高，亦有不能遍解之势，是教者劳而学者不易。”[40]

《代数论》修订版、《新大学代数》、《大学和学校用代数学：配有大量例题》、《代数术》都是用公理化方法建立起逻辑演绎体系的数学教科书。《代数备旨》以这些教科书为底本，也不例外。《代数备旨》13章本第1章“开端”，共32款，介绍全书基本定义、术语、符号、公理等。前6款分别介绍“几何”、“几何学”、“代数学”、“代数几何”、“已知之几何”、“未知之几何”等定义。第7和8款分别介绍术语“元字”、“同数”；
第10至21款介绍加、减、乘、除、方数、根号等符号。第22至29款分别介绍“系数”、“项”、“代数式”、“正项”和“负项”、“相似之项”和“不相似之项”、“次数”、“同次式”、“倒数”的定义；
第30款“自理”介绍公理，如“等几何各加等几何，其总即等”、“等几何各减等几何，其余即等”等。第32款介绍“式之同数”定义。([3]，1-6页)

《代数备旨》13章本接下来的每章，一般先以“款”的方式，给出相关定义、方法、定理等，并经常穿插“法问”及“解”，或例子予以说明，或给出“法术”，即法则。其中“款”的编号全书通排，依次排序。供学习者练习的“习问”一般都放于“法术”之后，但有时也放于介绍定义、术语、方法等的“款”后。每章的“款”并非在该章开篇全部列出。([3]，7-80页)《代数备旨》13章本与下卷的章的内容安排有所不同。下卷各章都以“款”的方式，给出相关定义、方法、定理等，在部分章的一些款下设“法问”和问题解法，各章均无“法术”。([4]，1-34页)

《代数备旨》13章本和下卷内容都层次分明，条理清晰。在这点上，伟烈亚力和李善兰合译的《代数学》较之逊色。《代数学》共13卷，各卷仅有卷名，未设卷内标题，也未设“款”、“法问”等项。[13]其各卷内容层次感和条理性不强。同时，《代数学》未设习题，也是其作为数学教科书逊色于《代数备旨》之处。

《代数备旨》13章本采用“浅文理”的表述形式。“浅文理”是一种介于文言和白话之间折中的语言形式[41]。1877年益智书会成立不久，狄考文在《教务杂志》发表《中国教科书》一文，指出用于中国人的教科书应该尽可能通俗易懂，强调中国大部分学生是平庸的，教科书采用“文理”的表述形式不利于中国学生学习，采用这种形式最大的缺点是学生在能够阅读教科书之前必须成为学者”。[42]因此，狄考文主张采用“浅文理”的表述形式编译教科书。《代数备旨》13章本的表述形式大体介于文言和白话之间，虽然表述中仍留有文言的味道，但文字趋于白话，浅显易懂。这从《代数备旨》13章本第1章“开端”之“代数学”定义可窥一斑：

代数学居几何学中之一，乃以字代数，凡几何必以数明之，方可入于算学之界(3)“凡几何必以数明之，方可入于算学之界”在原文中字号较小，为对前文的注释。这沿袭了中国古书的注释格式。，以号显其变通之法，其所以代之以字者，因欲广其算术，而显之以号者，乃欲简其算式焉。([3]，1页)

作为该书笔述者，邹立文和生福维的工作是笔译书稿，邹立文将该书译稿作了修改、审定。笔译书稿必然要定文法，修改、审定译稿也可能修改文法。因此，这两者是该书“浅文理”表述方式的落实者。

狄考文及其合作者编译《代数备旨》时，如同他与合作者稍早编译的《形学备旨》，也采用了西方国家已通用的阿拉伯数码和西方数学符号。但对于已知量，西方一般以英语字母表示，而《代数备旨》以汉语天干、地支等字表示；
对于未知量，西方一般以x，y，z等英文字母表示，而《代数备旨》顺应中国传统数学传统，以“天”、“地”、“人”、“物”等字表示。只不过为了书写“地”、“物”时省笔，分别略去偏旁“土”、“牛”，但读时仍提倡读“地”、“物”。这些以汉字表示的做法是《代数备旨》的缺点。这一缺点致使该书内的数学知识在表示形式上不能完全与国际接轨。同时，狄考文及其合作者使用汉字表示已知量和未知量时，并未将汉字与英文字母建立严格的对应关系。例如，他们在《代数备旨》13章本中，有时以丁表示m，有时以子表示m，在《代数备旨》下卷则以丑表示m。([3]，6-15页；
[4]，80页；
[27]，17-18、25-30、320页)为了“顺中国写字之法”和“省纸张”，《代数备旨》全书除文字外，算式也以竖行书写，并未采用西方已通行的横行写法([3]，5-6页)。

狄考文及其合作者为了使中国人使用《代数备旨》时感受到这就是为他们所写的书，易于接受该书，对书中内容，特别是问题、习题的中国化即中国“本土化”做出了努力。以《代数备旨》13章本第8章“一次方程”为例，该章大部分内容取材于罗宾逊《新大学代数》第2章“简单方程”。罗宾逊该书第2章先介绍了“方程”的定义：“AnEquationis an expression of equality between two quantities. Thus，x+y=ais an equation， signifying that the sum ofxandyis equal toa.”([27]，83页)《代数备旨》13章本第8章相应的内容为：“相等之两几何，以等号连之，为方程。如天+也=甲 是也。”同时，该章做出注释：“代数之有方程，犹天元、四元之有如积也。”([3]，49页)这就将方程与中算之天元术、四元术联系起来了。罗宾逊该书第2章第193款例题第4题为：“Two teachers， A and B， have the same monthly wages. A is employed 9 months in the year， and his annual expenses are $450; B is employed 6 months in the year， and his annual expenses are $300. Now A lays up in two years as much as B does in 3 years. Required the monthly wages of each.”([27]，143页)《代数备旨》13章本第8章相应的内容为第133款后第3道习题：“今有赵孙二位先生，每月束脩相同。赵每年教读九月，用去洋银四百五十元。孙每年教读六月，用去洋银三百元。如是赵二年之余资，适等于孙三年所余。问每年各该束脩若干？”([3]，80页)这是将A和B改为了两位中国教师——“赵孙二位先生”，将“wages”改为中国古代特指教师报酬的名词“束脩”，将美元名称改为中国使用的货币单位洋银。再如，《代数备旨》13章本第13章“二次方程”第217款“题问”第26题：“今一农人卖麦与包米，即域米也，各得钱三十八千四百文。若包米多十六斗，而每斗价少四百文。问各斗数若干？”([3]，147页)其中，“包米”为中国方言，指玉米。《代数备旨》中类似的内容还有不少。这些内容明显具有中国“本土化”的特征，中国人对此是易于接受的。

狄考文及其合作者编译《代数备旨》13章本时，从罗宾逊《新大学代数》取材较多，但对后书内容并非整章节地照译，而是有选择地编译。例如，《代数备旨》13章本第1—7章有大量内容取材于《新大学代数》第1章，但后书第1章“数学”、“重号(Double Sign)”、“分数指数”、“代换(Substitution)”等不少内容未被狄考文选择。([3]，1-48页；
[27]，9-82页)狄考文及其合作者编译《代数备旨》下卷时，对《代数术》和《新大学代数》的内容多有照搬之处，但也有一些改编。例如，《代数备旨》下卷第17章第34款编译自《代数术》第15卷第147、148款，狄考文编译时增加了底本没有的两个复根，删除了底本第148款对命题证明的内容([4]，49-50页；
[14])，以使课文相对简单。

狄考文及其合作者编译《代数备旨》时，主要沿用了《代数学》、《代数术》中的名词术语，但也创制了“公生”、“公倍”、“命分”、“偏程”、“根几何”、“幻几何”等名词。其中，“公生”对应的英文是“common divisor”，即公因数；
“公倍”对应的英文是“common multiple”，即公倍数；
“命分”对应的英文是“fraction”，即分式、分数；
“偏程”对应的英文是“inequality”，即不等式；
“根几何”对应的英文是“radical quantity”，即根式；
“幻几何”对应的英文是“imaginary quantity”，即虚量。这些名词在晚清的新名词之战中大都未能胜出。20世纪初清朝学部编订名词馆统一数学名词时，仅保留了“命分”[43]。其他名词，除“公倍”被改为“公倍数”外，均被淘汰。

《代数备旨》是由美国北长老会传教士狄考文及其合作者编译的一部晚清重要数学教科书。该书并非单一底本直译之作。其底本既有美国和英国用于大学和中学的原版数学教科书，亦有汉译英国数学著作。其13章本以美国罗宾逊《新大学代数》和美国罗密士《代数论》修订版为底本，模仿了《代数论》修订版的部分框架结构；
各章均有内容编译自《新大学代数》，第1章、第4—7章、第10章、第13章等有内容编译自《代数论》修订版。《新大学代数》是《代数备旨》13章本习题的主要来源。《代数备旨》下卷以《新大学代数》、傅兰雅和华蘅芳合译《代数术》、英国托德亨特《大学和学校用代数学：配有大量例题》、《代数论》修订版为底本；
第14—18章内容大都编译自《代数术》，第14章部分习题编译自《大学和学校用代数学：配有大量例题》和《代数术》，第18章部分习题编译自《代数论》修订版。《代数备旨》下卷第19—24章的课文与习题主要编译自《新大学代数》。《代数备旨》下卷逾三分之一的习题编译自《新大学代数》。《代数备旨》仿照底本，用公理化方法建立了逻辑演绎体系。这些揭示出欧美数学教科书对狄考文及其合作者编译《代数备旨》的深刻影响。

狄考文及其合作者编译《代数备旨》时，注重西方已形成的教科书编写规范，在书中撰有与前言性质相当的“代数凡例”，由浅入深，循序渐进地安排内容。在数学知识表示形式上，采用了西方国家通用的阿拉伯数码和西方数学符号，文字采用“浅文理”的表述形式。书中还设有习题和答案，供学习者演练、巩固所学知识和检查正误。狄考文及其合作者编译《代数备旨》时，采用了适应和选择编译策略。他们将底本中带有西方特质的内容，特别是问题、习题做了中国化的处理。他们对底本内容做了有选择的编译，也增加了一些底本未有的内容。这些反映出狄考文及其合作者为编译出先进、适合于中国人且容易被中国人接受的数学教科书而付出的努力。但该书存在以汉字表示已知量和未知量时，未将汉字与英文字母建立严格对应关系的不足。同时，以汉字表示已知量和未知量，算式以竖行书写，未能在数学知识表示形式上完全与国际接轨。这折射出狄考文及其合作者面对中西文明的冲突也持有保守的一面。

《代数备旨》13章本出版后广为流传，影响广泛。它再版和重印近20次[44]，被教会学校与清朝官办、私立新式学校、学堂广泛用作教科书。其中，教会学校包括榕城格致书院、杭州育英义塾、登州文会馆等，新式学校、学堂包括南阳公学师范、杭州求是书院、长沙时务学堂、贵阳经世学堂、扬州仪董学堂、瑞安普通学堂、绍兴中西学堂等([8]，103-104页)[45，46]。《代数备旨》13章本出版后，还有一些注释性或补充性著作问世。如《代数备旨习草》、《代数备旨补式》、《代数备旨补草》、徐锡麟《代数备旨全草》、袁纲维《代数备旨题问细草》，以及彭致君《改正代数备旨补草》等。([44]，206-207页；
[40])因而，《代数备旨》13章本对晚清中学数学教育发展、初等代数学传播和普及起到重要作用，也为甲午战争后中国中学数学教科书的发展做了一定的铺垫。这从侧面反映了晚清教会学校数学教科书编译工作的重要影响。

《代数备旨》下卷1902年出版后，仅于1905年再版[44]，流行程度远逊于13章本。这与《代数备旨》下卷内容设计相对13章本简略，版式和印刷不如上卷精美有关。但更重要的原因是该书下卷出版后约2年，即1904年晚清政府颁行“癸卯学制”，全国各地学校多采用新式中学数学教科书。这些教科书主要译自日本数学教科书，适应当时中国学习日本的潮流，在内容设计上大都较《代数备旨》先进，在排版方式和数学知识表达形式上普遍与国际接轨，也优于《代数备旨》。在这种情况下，《代数备旨》开始走向被新式代数教科书取代而淡出历史舞台的结局。

致 谢两位审稿专家提出了中肯的修改意见。这对笔者进一步厘清《代数备旨》的底本起到重要作用。邹大海研究员提出了重要改进意见。特此致谢!

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