基于范希尔理论的小学图形与几何教学研究,以平行四边形的面积教学为例
时间：2022-12-07 10:15:04 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
张丽霞，李陈哲
（上饶师范学院教育科学学院，江西上饶 334001）
1977年经济合作与发展组织（Organization for Economic Co-operation and Development, OECD）开展的“素养的界定与遴选：理论和概念基础”项目提出核心素养这一理论。在OECD的带动下，各国都开启了核心素养的研究。发展核心素养是落实立德树人的重要举措，也是提升我国教育竞争力的迫切需求。基于此，《教育部关于全面深化课程改革落实立德树人根本任务的意见》提出学生应发展核心素养体系。其中数学学科核心素养主要包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算、数据分析六个方面。这里的直观想象是指能够借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，以及利用几何图形理解和解决数学问题的素养。这与《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标》）提出的小学数学十大核心概念之中的空间观念和几何直观的内涵不谋而合。故本文将平行四边形的面积教学与范希尔理论相结合，开展基于范希尔理论的小学图形与几何教学研究。
范希尔理论是有关几何知识的重要理论，该理论由荷兰学者范希尔夫妇提出。范希尔理论有两个关键内容，其一是范希尔几何思维水平，该水平共有五个层次，分别为视觉层次、分析层次、非形式化演绎层次、形式化演绎层次和严密性层次；
其二是与几何思维水平相对应的几何教学阶段，分别为学前咨询阶段、引导定向阶段、阐明阶段、活动阶段和整合阶段。研究主要着眼于小学数学图形与几何教学的研究，故本文将围绕范希尔的几何教学阶段内容进行探究。
事实上，范希尔几何教学阶段是在范希尔几何思维水平基础上提出的，几何思维水平具有顺序性，因此这五个教学阶段既不能被跳跃，其次序也不能被调整。当然，小学阶段图形与几何知识的教学也要以范希尔理论为基础，小学生的思维水平由视觉层次向严密性层次转化，教学也由最初的师生双向交流阶段逐渐转向整合阶段。接下来，研究将详细阐述范希尔几何教学阶段理论在图形与几何中的具体运用。
“平行四边形的面积”分布于数学人教版教科书五年级上册第六单元《多边形的面积》第1课时，这部分内容是在学生学习矩形面积、正方形面积的基础上进行教学的，后续的内容是三角形面积、梯形面积和组合图形面积的学习。因此可以说平行四边形的面积在几何知识中起到了承上启下的作用。
范希尔理论适用于几何知识的教学，故“平行四边形的面积”的教学也离不开范希尔几何教学的五个阶段，即学前咨询阶段、引导定向阶段、阐明阶段、活动阶段和整合阶段。
（一）深入观察，引导交流
《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出，教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程，应当是教与学过程的统一。学前咨询阶段是范希尔教学理论的第一个阶段，也是在视觉水平的基础上提出的，强调师生的双向交流。这一阶段，学生要对学习对象有初步的认识，具备一定的直观识别能力。因此，观察是学前咨询阶段必不可少的过程，也是几何教学的基本环节。例如，“平行四边形的面积”的学习就需要观察。在“平行四边形的面积”学习中，教师可以组织学生观察教科书情境图中的内容，“这两个花坛哪一个大呢？”引发学生的思考。通过对情境图的观察，有助于学生们重新认识平行四边形的性质，进一步理解其本质特征。同时对于理解几何图形中各要素及各要素之间的关系具有重要意义。因此，观察的环节既可以引导学生提取原有知识，又可以为平行四边形面积的学习奠定基础。
总之，在学前咨询阶段，教师可以根据学生观察的结果了解学生的思维发展水平，学生可以通过观察进行师生间的相互交流，进而为后续的操作、探究环节奠定基础。
（二）动手操作，探究学习
引导定向阶段是范希尔教学理论的第二个阶段，是在分析的水平上提出的，强调给学生指导学习方向，其实际的教学环节是探究新知的过程，应当以学生探究为主。比如，在“平行四边形的面积”教学中，教师要鼓励学生主动探究平行四边形面积的计算方式，这也是猜想的过程。在探究阶段，可以根据情况引导学生进行观察，随后进行小组讨论。平行四边形面积的推导有一个较好的方法—— 割补法。通过割、补的过程，学生们可以发现平行四边形和长方形面积之间的关系。这个过程充分体现了引导定向的意义，既可以锻炼学生的实际操作能力，又可以调动学生数学探究的意识。
阐明阶段是范希尔教学理论的第三个阶段，是在非形式化演绎的基础上提出的，主张学生对几何进行深入的认识，即“用”几何知识的过程[1]。在“平行四边形的面积”教学中，教师要引导学生探索平行四边形面积定理的产生过程，事实上，这也是验证猜想的过程。我们知道，在学习“平行四边形的面积”之前，学生已经学习并掌握了长方形面积的计算方法，在此基础上探究平行四边形的面积计算方式。首先，教师可以引导学生观察方格纸上平行四边形的“底”“高”，并数出方格纸上平行四边形的面积；
再引导学生数出与平行四边形同样长度的“底”和“高”的长方形的面积；
最后引导学生探究平行四边形和长方形面积之间的关系。通过演绎推理可以发现，平行四边形的面积等于转化后的长方形的面积，进而可以计算平行四边形的面积。这样的探究过程既有助于学生掌握数学知识，又能让学生学会思考，获得分析问题的能力。
活动阶段也称自由定向阶段，是范希尔教学理论的第四个阶段，在形式化演绎的基础上提出，是学生思维水平逐渐完善的过程。学生在探索平行四边形的面积定理后，会进行适当的练习，这个过程会将知识应用于具体问题中来，不仅能进一步巩固所学知识，还可以在练习的过程中不断吸收所学知识，完善其思维水平，使其达到熟练化的程度。
（三）整合内化，收获体验
整合阶段是范希尔教学理论的最高阶段，是在严密性水平的基础上提出的，提倡将新知识与旧知识整合，进而达到内化的过程[2]。小学课堂中“课堂小结”的环节是最明显的表现，这个环节是对所学内容的回顾和思考，是将图形与几何知识进行模块化归类的过程。较为有效的验证形式是以图示法呈现，比如网络关系图、思维导图等。图示法可以清晰地展示出“平行四边形的面积”的知识点，也可以将相关的知识点建立系统的知识网络体系，因此范希尔教学理论的整合阶段不仅有助于知识的内化，更有利于学生形成逻辑严密的思维体系。
综上可知，图形与几何内容的学习是一个连续性的活动，教学过程中不仅要关注新授课程的讲授，更要关注图形与几何知识的内在逻辑结构，范希尔教学理论实际上就是观察、操作、猜想、验证以及整合的完备过程。这样的教学环节既体现了学生的主体地位，又有利于学生思维能力的发展。
范希尔教学理论共有五个阶段，分别是以对应的思维水平的发展为基础。一般来说，小学生的思维只能达到前面三个水平，但这并不意味着教学的过程包含这三个阶段，而是应强调以哪个阶段为主。现依据范希尔理论在“平行四边形的面积”教学中的具体运用，说一说范希尔教学理论带给小学图形与几何教学的启示。
第一，借助直观，感悟图形特征。小学阶段，尤其是低年级学生，他们的思维以具体形象思维为主，因此在图形与几何的教学中势必要以观察作为基本环节。实际上，完整的教学会有观察、猜测、探索等环节的存在，其中观察的环节可以看作是知识学习的准备阶段，其作用是为探究过程奠定基础，同时也可以让学生更好地体会图形知识的生成过程。
第二，依托推理，建构知识系统。《义务教育数学课程标准（2011年版）》总目标要求“通过义务教育阶段的数学学习，学生可以体会数学知识之间的联系”。这一目标表明数学知识是相互联系的，具有一定的知识体系。根据新知识与原有认知结构之间的关系，我们可以将知识的学习分为上位学习、下位学习和并列组合学习。无论哪种学习类型，都体现了知识间相互联系的过程。因此，在数学教学中，务必要重视知识之间的联系，帮助学生领悟知识间的逻辑关系，建立严密的知识体系。
第三，内化知识，发展思维水平。任何领域的知识都是渊博的，我们要合理运用所学知识，若知识不能得以合理运用，我们则称这类知识为惰性知识。如何避免惰性知识的产生呢？这就涉及如何运用知识。首先，我们要将静态的知识转化为能力，努力内化所学知识。知识的内化过程就要调动学生思维，充分吸收所学知识，将知识与实际问题相结合。其次，做系统化的练习。思维是可以不断开发的，教师可以借助例题，培养学生的思维能力。如证明题和应用题可以培养学生的逻辑思维能力，一题多解可以培养学生的发散思维能力等。因此，学生的思维是逐渐形成的，要使学生思维水平得以提升，必须要日积月累，在操作中发展学生的思维。
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