基于“高观点”视角，促进学生主动建构知识
时间：2022-09-27 21:45:05 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
顾新佳
【摘 要】新课程改革背景下，数学知识的学习不断追求“深入浅出”，呼唤对数学本质的关注，期待知识结构体系的建构，重视数学思维能力的提升。本文结合特级教师周卫东“平行四边形的面积”一课，分析如何站在一个较高的视角统领学习任务，在教学中力求顺应学情、深究本质、建立体系、发散思维，促进学生主动建构知识。
【关键词】高观点 数学知识 主动建构
近日，笔者观摩周卫东老师执教的“平行四边形的面积”一课，对周卫东老师一贯坚守的“高观点”教学主张有了更深的认识。本节课顺应学情、深究本质、站位高远，帮助学生突破知识本质，促进学生主动建构知识。
一、大问题统整，促进学生主动建构知识
“德国著名数学家、数学教育家克莱因倡导‘高观点’，即从高等数学的角度来审视初等数学。“高观点”给初等数学的教学带来了生机与活力。”受上述观点的启发，周卫东老师积极倡导基于“高观点”视角的数学教学。他认为：“所谓‘高’者，即不一般、优于常态也，‘高观点’视角下的数学教学，可以从内容的纵深维度迁移到内容的宽窄维度，推及思想的高低维度等。”“高观点”视角下的数学教学，立于教学的高位，回应数学学科的本质。
教学中，通过大问题统整，可以帮助学生主动建构知识。所谓大问题，就是一种开放性问题或具有多元思考方式的问题，来鼓励学习者积极参与问题解决中，使学生尝试寻找有用的知识、思考合适的方案来解决主要问题。数学学习中的大问题触及数学本质，是课堂教学中的问题之“眼”。
（一）大问题引领，促数学思维萌芽
周卫东老师在执教“平行四边形的面积”一课时，紧紧扣住“平行四边形的面积到底该怎么计算”这个大问题统领教学。
上课伊始，周卫东老师出示学生课前小研究的三种典型算法：
课堂上，当三种算法呈现出来时，学生纷纷举手，准备表达观点。这时，周卫东老师提醒学生说：“如果你想要证明哪一种结果是对的，就要说出你的方法。”看似平常的提醒，却为学生后面沿着大问题的脉络一步一步接近数学知识的本质奠定了基础。
学生经过交流，很快得出了结论。方法①是算周长的，不符合条件。而方法②，是课前预习中学生常出现的错误之一，为什么这种方法不对呢？学生从长方形的面积计算中得到启发，认为平行四边形不是长方形，所以不能用邻边相乘来计算。对于方法③，绝大多数学生认为是对的，这多源于课前预习。基于这样的学习起点，周卫东老师在“平行四边形的面积到底该怎么算”这个大问题的统领下，抛出了“怎么说明这个平行四边形的面积是24平方厘米呢”这个问题。此问题一出，学生的研究视角聚焦到平行四边形面积计算的细节中。而后，学生通过割补、数格子等方法，不但证明了这个平行四边形的面积是24平方厘米，也印证了方法②的错误，并得到初步猜想“平行四边形的面积可以用底×高来算”。
数学教学中，立于高位去设计教学路径，用大问题统领教学，是促进学生数学思维萌芽、主动建构知识的关键步骤。
（二）大问题推进，促数学思维生长
教学时，引领学生走进平行四边形面积计算问题本质后，学生的思路瞬间被打开，观点呼之欲出。学生得到初步猜想“平行四边形的面积可以用底×高来算”后，周卫东老师适时抛出问题“所有平行四边形的面积都可以用底×高来计算吗”。这个问题是引导学生由个体向类别推理的核心问题，课堂上，周卫东老师给学生提供了三个大小、形状各不同的平行四边形，让学生通过割补等方法去印证自己的猜想。
在上述三个平行四边形面积推导的过程中，学生进一步明确了之前的猜想，并且形成了基本的结论。一个又一个大问题推进的过程，就是学生数学思维不断调整、整合、进阶的过程。
（三）大问题归纳，促数学思维扎根
大问题属于上位问题，是统整整个知识点乃至知识体系的问题，基于高观点下的数学课堂，在大问题引领、推进之后，要有大问题归纳总结。在本节课中，虽然学生通过不完全归纳，经历了“一个”到“一类”的认知过程，但是，周卫东老师并未就此引出平行四边形面积计算公式，而是给学生布置了关键性任务——（1）观察：转化前后，两个图形有什么联系？（2）推理：平行四边形的面积为什么可以用底×高来计算？
教师在引领学生完成这个学习任务的过程中，引导学生学会推理归纳，进一步厘清平行四边形面积计算的本质问题，即沿着平行四边形的任意一条高剪开，拼成一个长方形，发现拼成的长方形的长等于平行四边形的底、长方形的宽等于平行四边形的高，且面积不变。所以，根据长方形的面积=长×宽，推导出平行四边形的面积=底×高。
通过大问题的归纳总结，可以帮助学生厘清知识本质，养成从高位视角看待所学知识的素养，从而将学生的思维引向深入。
二、结构化关联，促进学生主动建构知识
周卫东老师认为：“高观点视角下的小学数学教学还应该能看到知识内在的结构。学科之所以为学科，不是简单概念与知识要点的堆砌，其中非常重要的原因就在于学科知识之间存在着不可割裂的内在联系。”数学常常被称为“结构的科学”，是一种整体的、系统与意义的结构。知识学习走向结构化，才能更深刻地促进学生对知识的认知与理解。关联主义学习理论認为，学习是对知识网络结构中某种关系和节点的重新建构，是一个知识的连接过程。基于高观点视角的数学教学，更应注重知识间的关联，将学生的思维引向整体化、结构化的高度，促进学生主动建构知识。
（一）关联在思维行进中
数学学习中，学生的思维行进呈现一个螺旋上升、逐步递进的过程。因此，在教学时，教师应当在学生的思维行进过程中，做好生生互动的关联、师生互动的关联、学生与学材互动的关联、学生与空间环境等互动的关联。教师适时地引领和点拨，可以帮助学生扫清思维行进中的障碍，逐步建构知识。周卫东老师在执教“平行四边形的面积”一课时，注重在学生思维行进中做好结构关联。
从图2中可以看出，周卫东老师顺应了学生思维发展的脉络，遵循了学生“学”的逻辑，使各个学习环节环环相扣、相互关联，串起了整个知识学习的体系，使之结构化、系统化。
（二）关联在思维困顿处
学生在思维进阶的节点上可能会出现困顿。教师在教学中，设计学习任务时要预设到学生思维可能出现的困顿之处，通过引导，帮助学生加深对知识的理解，主动建构完整的知识体系。
周卫东老师在执教“平行四边形的面积”一课时，出示了这样一道题：
师：如图3，这个平行四边形的面积怎么算？
生：用4×6来计算，答案是24平方厘米。
师：想一想为什么用“4×6”，而不用“8×6”呢？
生：因为平行四边形的面积公式是底×高，所以要用“4×6”。
师：8厘米也是底啊，为什么不能用“8×6”来计算呢？
生：因为6厘米不是8厘米上的高，计算时要找到对应的高。
师：原来，计算平行四边形面积时，要找到对应的底和高来计算。
计算平行四边形面积时，学生往往只记住“底×高”，而忽视了“对应”这个关键要素，导致计算错误，形成认知错位。周卫东老师在学生学习的困顿之处，通过实际问题，巧妙地将“对应”的底和高相乘的核心知识传递给学生，通过这样的学习，真正将知识关联互通，形成正确的认知结构。
（三）关联在思維进阶时
“高观点”视角下的数学教学，不仅是引导学生将知识罗列堆砌，而且要将学生的思维引向更高的层次，建构新的知识体系。因此，学习任务的编排设计需要关联学生思维进阶的节点，为学生思维的顺利进阶提供必要的支持与帮助。周卫东老师在执教“平行四边形的面积”一课时，立于“高观点”之下，不仅关注学生当下知识的学习，还关注现在与未来知识之间的联系。
在回溯课前出示的方法②时，周卫东老师通过动画演示的方法（如图4），让学生明白为什么不能用邻边相乘的方法来计算平行四边形的面积。
从动态演示的过程可以看出，把平行四边形拉直后，形成的长方形的面积比原来的图形面积多了一块。学生在动画演示的过程中，进一步明确了，当平行四边形的底和周长不变时，随着高的增大，面积越来越大，一直到转化为一个长方形时，面积最大。这样的思维进阶过程，通过动态演示，自然而然地印刻在学生的脑海中，学生形成了对平行四边形面积计算的完整清晰的认知结构。
课行至此，思维进阶并未停止，在高观点视角下，周卫东老师进一步引领学生思考，如果将平行四边形的邻边的角度标出，随着角的倾斜变化，高也在不断变化，从而将初中时将要学习的平行四边形的计算公式向学生渗透，即平行四边形的面积等于两组邻边的积乘以夹角的正弦值。
学习至此，用周卫东老师的话来说：“此时，在学生的认知结构中，若隐若现留下的，是知识的全貌，是结构的雏形，更是朝向未来知识世界的美好。”什么是好的数学课堂？好的数学课堂就是将学生的思维引向深远，让学生带着疑问走进课堂、带着收获和新的疑问走出课堂，形成数学学习螺旋上升的学习场。高观点视角下的数学教学，通过关联性的学习任务，将学生的思维引向更扎实、更高阶的境界，从而让学生主动建构知识体系、完善认知结构，培养数学核心素养，提升数学学习力。
三、思想性包摄，促进学生主动建构知识
周卫东老师在《试谈高观点视角下的小学数学教学》一文中指出：“高观点视角下的小学数学教学应该能看到知识深层的思想方法。学科思想是学科知识中的‘隐性内容’，是学科专家提出的对学科发展和学科学习最具影响力的那些观念和见解，是知识‘背后’的知识，是学科的精髓与灵魂。”周卫东老师在执教“平行四边形的面积”一课时，将数学思想的渗透学习贯穿全课。
（一）由“个”到“类”，渗透归纳思想
上课伊始，周卫东老师说过这样一句话：“周老师更加关注你们说明时使用的数学方法。”在引导学生探究平行四边形的面积公式时，他先引导学生用“割补法”“数格子法”等方法去印证“一个”平行四边形的面积可以用“底×高”来计算，进而引导学生进一步印证“任意”平行四边形的面积都可以用“底×高”来计算。在由“个”到“类”的印证过程中，向学生渗透了不完全归纳的思想。
（二）由“新”到“旧”，渗透转化思想
周卫东老师在带领学生复习了之前学习过的平面图形的面积计算方法，尤其是长方形的面积计算方法后，展示学生课前小研究中呈现的三种典型算法。学生在讨论为什么方法③是对的时，想到了通过割补法，将平行四边形转化为长方形。将“新知”转化为“旧知”，从而顺利推导出平行四边形面积的计算公式。且在转化过程中，立意于高观点，周卫东老师并未将学生的起点定位于实际操作，而是引导学生通过用“手”比画、用“脑”想象，既渗透了转化的思想，又提升了学生的空间想象能力。
（三）由“同”到“异”，渗透对应思想
在学生探索出平行四边形的面积可以用“底×高”来计算后，周卫东老师通过一道题，引发学生思考：为什么都是平行四边形的底？为什么不能和给定的高相乘？从而引导学生思考“同”是底，却“异”在高的不同上，因此，得出结论：计算平行四边形面积时，必须用对应的底乘对应的高。在这样辨析的过程中，渗透了对应的数学思想。周卫东老师在《高观点、低结构、中温度——一种新的教学视角》一文中指出：“从数学教学角度看，一堂课新往往就新在思维过程上，高往往就高在思想性上，好往往就好在学生参与活动的深度和广度上。有思想深度的课，给学生留下长久的心灵激荡和对知识的深度理解，以后即使具体的知识忘了，但数学地思考问题的思想方法却将长久存在。”
在数学教学中，基于高观点的视角，可以将学生的思维引向更扎实、更高阶的境界，从而让学生主动建构知识体系、完善认知结构，培养数学核心素养，提升数学学习力。
注：本文系江苏省教育科学“十三五”规划青年专项课题“指向主动建构的小学数学学习历程案开发的研究”（课题批准号：C-c/2020/02/31）研究成果。
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