根据一道高考试题来浅析二面角求法:高考二面角题型
时间：2018-12-28 03:38:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在立体几何中，二面角的求法多种多样，教师尽可能地把所有的方法教给学生，并多次训练，应该说学生掌握的方法越多，在考试中会更灵活，得分率会比较高。根据多年考试结果的总结，事实上并非如此。是什么原因造成的呢？可能是方法太多而无从下手，该怎么办呢？方法的选择应该有主有次。下面我结合2004年的全国卷一的一道试题为例来分析一下：
如图，已知四棱锥P―ABCD，PB⊥AD，侧面PAD为边长等于2的正三角形，底面ABCD为菱形，侧面PAD与底面ABCD所成的二面角为120°。
（I）求点P到平面ABCD的距离；
（II）求面APB与面CPB所成二面角的大小。
解：（I）如图，作PO⊥平面ABCD，垂足为点O。连结OB、OA、OD、OB与AD交于点E，连结PE。
∵AD⊥PB，∴AD⊥OB，
∵PA=PD，∴OA=OD，
于是OB平分AD，点E为AD的中点，所以PE⊥AD。
由此知∠PEB为面PAD与面ABCD所成二面角的平面角，
∴∠PEB=120°，∠PEO=60°。
由已知可求得PE= ，
∴PO=PE・sin60°= × = ，
即点P到平面ABCD的距离为 。
（II）采用传统的A本和向量思想的B本来分析、解决。
方法一：传统的“作、证、算”。
如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结EG、AG、GF，则AG⊥PB，FG∥BC，FG= BC.
∵AD⊥PB，
∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角。
∵AD⊥面POB，
∴AD⊥EG.
又∵PE=BE，
∴EG⊥PB，且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE・cos60°= 。
∵AE= AD=1，
于是tan∠GAE= = ，
又∠AGF=π－∠GAE，
所以所求二面角的大小为π－arctan 。
本方法的步骤是：
（1）找或作出二面角的平面角。作二面角时，一般有三种方法：定义法、三垂线定理法、垂面法。
（2）证明其符合定义，确定某角为二面角的平面角。
（3）通过计算求出二面角的平面角的大小。常用的求角的方法有直角三角形内三角函数定义、余弦定理等。
以上采用的方法可以看作是定义法，可是在求解二面角时先找二面角∠AGF与∠GAE的关系，看起来容易，做起来难度相对有点大。直观的方法是可以直接用余弦定理求∠AGF，过程如下：
如图，取PB的中点G，PC的中点F，连结AG、GF、AC，则AG⊥PB，FG∥BC，FG= BC=1，连结AF。
∵AD⊥PB，
∴BC⊥PB，FG⊥PB，
∴∠AGF是所求二面角的平面角。
∵PO= ，PE=BE，∠PEB=120°，
∴∠OBP=30°，
∴PB=2，PO=3，
∴PC= ，AG= .
∵AB=2AE，AE⊥BE，
∴∠DAB=60°，
∴AC=2 .
在△PAF中，cos∠APF= = ，
在△PAC中，cos∠APF= = ，
可得AF= ，
∴cos∠AGF= = =- ，
所以所求二面角的大小为π－arccos 。
可以看出整个过程运算量不小，学生容易出错。那么，运用三垂线定理可以证明该问题吗？答案是肯定，如下过程：
如图，过点A向平面PBC、PB分别作垂线，垂足分别为H、G，连接HG、EG，由三垂线定理可知HG⊥PB，所以∠AGH是所求二面角的平面角的补角。
∵AP=AB，AG⊥PB，
∴G为PB中点。
又∵PE= =BE，
∴EG⊥PB且∠PEG=60°.
在Rt△PEG中，EG=PE・cos60°= .
∵AD⊥OB，
∴BC⊥OB.
由三垂线定理知，EG⊥BC。
∴EG⊥平面PBC，
∴EG∥AH，
∴A、E、G、H四点共面。
又∵AE∥BC，
∴AE∥平面PBC，
∴AH=EG，
∴四边形AEGH为矩形，
∴AH= ，GH=AE= AD=1。
于是tan∠AGH= = ,
又∠AGF=π-∠AGH。
所以所求二面角的大小为π-arctan 。
可以看出，整个过程运算量小，较易判断。所以运用三垂线定理求二面角问题是我们最常用的方法，大部分求二面角问题都可以应用该方法，但在近几年的高考试题的答案中，作二面角的方法很少用三垂线定理的方法，如2005年定义法，2008年垂面法，事实上应用三垂线定理也可以简单完成，关键是大家认为垂线段的长不好算，不妨试一下等体积求高的方法。如上题求AH时，可以利用V =V ，即 × BC×PB×AH= × BC×BE×PO，AH就能轻松算出，因而一定要熟练地掌握它。
方法二：向量的方法。
如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA。
P（0，0， ），B（0， ，0），PB中点G的坐标为（0， ， ），连结AG。
又知A（1， ，0），C（-2， ，0）。由此得到： =（1，- ，- ），
=（0，- ，- ）， =（-2，0，0），
于是有 ・ =0， ・ =0。
所以 ⊥ ， ⊥ ， 和 的夹角θ等于所求二面角的平面角，
于是cosθ= =- ，
所以所求二面角的大小为π-arccos 。
本方法的步骤是：
（1）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标；
（2）在两个半平面中找出两个与二面角的棱分别垂直的向量，两向量对应的直线不一定相交，以最易判断端点坐标为好，并确定二面角的大小与向量夹角的关系；
（3）计算出向量坐标，利用夹角公式求出二面角的大小。
有的人认为，不管什么样的二面角问题，我都采用万能方法：利用两个半平面的法向量关系判断二面角的大小，如下：
如图建立直角坐标系，其中O为坐标原点，x轴平行于DA，
P（0，0， ），B（0， ，0），连结AG，又知A（1， ，0），C（-2， ，0），由此得到：
=（0， ，- ）， =（-2，0，0）， =（-1， ，0）。
令平面PAB的一个法向量为 =（1,y ,z ），
∵ ・ =0×1+ y - z =0，
・ =-1×1+ y +0×z =0，
得到y =- ，z =-1，
∴ =（1，- ，-1）.
∵平面PBC与x轴平行，
∴平面PBC法向量的横坐标为0，
∴可令平面PBC的一个法向量为 =（0，1，z ）。
由 ・ =0×0+ ×1- z =0可得z = ，
∴ =（0，1， ）.
根据两个向量 ， 的位置关系可以判断 ， 的夹角θ等于所求二面角的平面角，
于是cos= =- ，
所以所求二面角的大小为π-arccos 。
利用法向量来判断可以说确实直观，不用“费脑子”，但是这种方法要遇到两个问题：一是求法向量时，假设时要注意哪些坐标为0，哪些不为0，并且运算易出错；二是法向量求出之后还要判断法向量的夹角与二面角的大小关系，是相等，还是互补。
针对本题来说，当然还可以不用建立空间直角坐标系，直接利用封闭向量来求，如下：
如图，取PB的中点G，连结AG、AC，则 ⊥ ，
∴ ・ =0。
∵ ⊥ ，
∴ ⊥ ，
∴ ・ =0，
∴ ， 的夹角θ等于所求二面角的平面角。
∵| |= ，| |=| |，∠PEB=120°，
∴∠OBP=30°，
∴| |=2| |=3，
∴ | |= ，| |= .
∵| |=2| |，∴ ⊥ ，
∴∠DAB=60°，∴| |=2 .
∵ = + + ，
∴ = + + +2 ・ +2 ・ +2 ・ ，
∴| | =| | +| | +| | +2 ・
=| | +| | +| | -2 ・
=| | +| | +| | -2| |・| |cosθ，
∴12= + +4-2× ×2cosθ.
于是cosθ=- ，
所以所求二面角的大小为π-arccos 。
利用封闭向量来求二面角虽然也是我们常用的方法，但缺陷是题型比较单一，并且要求的线段长较多，不利于运算的准确性。所以，笔者认为，要用向量的方法去求二面角时，最好寻找在两个半平面中与棱垂直的向量，大家可能认为垂足的坐标不好确定，事实并不难，一方面可以用定比分点公式，另一方面可以用共线、垂直来判断，并且向量夹角与二面角的大小关系也好判断。
根据历年高考试题中的二面角问题，我们不难发现，为了满足使用不同版本教材的学生的公平性，问题的设置是有限的，解决的方法看似不同，实质上都类似，只要把握重点方法，在实际应用中定会战无不胜。
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