弯脖线方程:歪脖老母

时间：2018-12-23 19:53:43　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：文章讲述了获得弯脖线方程的一种方法，并给出方程的一般形式，结合实例，说明其在人民生活中的重要性。　　关键词：弯脖弯脖线弯脖线方程　　　　一、问题的提出
　　
　　弯脖，又称“歪脖”、“拐脖”或“直拐脖”等，在工农业生产及人民生活中有着广泛的应用，见图1（d）。
　　那天，我们去白铁匠康师傅的店铺。只见他眼带老花镜，手持如图1（a）的模板在白铁板（b）上画线，然后沿此线剪成两块，各自卷成筒状，打扣（图1（c）），最后在两个筒的斜口处垂直打扣对接，一个弯脖就做成了（图1（d））。我们被康师傅那娴熟的技艺所折服！不过，最感兴趣的倒是那块模板上的曲线是怎么画出来的？康师傅告诉我们：“模板是师傅传下来的，我也画不出来。”
　　
　　亲爱的同学们，你们对此感兴趣吗？能经过自己的独立思考，运用所学的数学知识解决这个问题吗？下面我们探讨并解决之。
　　
　　二、问题的分析与解决
　　
　　我们把图1（d）中两个圆筒相交、打扣的那条线叫做弯脖线，弯脖线与两柱面共同相交，且垂直于两柱面的圆分别叫做横截圆、纵截圆。弯脖线与横截圆所决定的部分曲面记为M，与纵截圆所决定的部分曲面记为N。再把上述三线、两曲面围成的空间部分画出三视图（图2）。显然，纵截圆与横截圆是两个等圆。
　　在三视图（图2）中，取主视图建立平面直角坐标系，设想曲面M在x轴的正方向展成平面图形，（图3）这时，弯脖线对应展开图的曲线O―B―A；而横截圆周长对应展开图的线段OA，即：线段OA的长等于横截圆周长。
　　
　　又因为纵截圆与横截圆是等圆，所以线段OA的长也等于纵截圆（即圆O ）的周长，并且在两个圆中总有等弧对等角的关系（包括圆心角、圆周角）。换句话说，我们可以用纵截圆O 代替横截圆O，借助平面直角坐标系，分析曲线O―B―A上的坐标规律。
　　设P（x，y）为曲线O―B―A上的一个动点，P在ox轴上的垂足为P，作PP ∥OA，P 在圆O 上，分别连接OP 、O P 、CP，令OP 与x轴的夹角为α，再设圆O 的半径为r，取α为参数，那么
　　x = OP= = 2 rα；y = PP= OPsinα= 2r sin α=r（1－cos2α）。
　　于是，得到曲线O―B―A参数形式的方程为：
　　x=2rαy=r(1-cos2α)?摇?摇（0≤α≤π）
　　这就是半径为r的弯脖展开以后的弯脖线方程，这里简称为参数形式的“弯脖线方程”。如果消去参数α，可得弯脖线方程的一般形式为：
　　
　　三、应用举例
　　
　　例题已知某型号家庭取暖炉的烟囱口半径是50mm，请计算并绘制所需弯脖摸板的曲线，并动手用硬纸（如旧挂历纸等）做一个与实际尺寸相等的弯脖模型。
　　解：应用参数形式的弯脖线方程，给α在0～π之间取了一些值，列表计算如下（长度单位：mm）：
　　
　　取一张长×宽不小于314×200（mm ）的矩形旧挂历纸，将挂历纸横置，像图1（b）那样，在纸上画出与实际尺寸相等的坐标系，将表中每对数值一一标在坐标系中，用光滑的曲线连接各点，剪下来，卷成筒，粘贴，就会得到一个与实际尺寸相等的弯脖模型。
　　需知道，以上数据仅为理论数据，在实际操作中还需要在理论计算数据的基础上加上“打扣用料”的尺寸。如果按照弯脖的筒长140mm、扣长为5mm，那么实际下料图如图4所示。
　　
　　注：１. 实画线为剪裁线；短虚线为理论线。
　　2. 右下脚剪去一个小三角，是为了在安装时弯脖能方便地套装在烟囱内。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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