[用单位圆定义任意角三角函数的深层次领悟]三角函数公式
时间：2019-05-03 03:27:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
以直角三角形为载体的锐角三角函数是解三角形的工具，而任意角的三角函数是研究现实中的周期现象而发展起来的，两者之间的研究对象不同，表现的性质不同，但结合直角三角形中锐角三角函数有助于任意角三角函数的研究.
一、“单位圆定义法”有利于 直观领悟角与实数之间的对应关系
三角函数是建立在两个变量之间对应关系的基础上的.为了直观理解这种对应关系，我结合自制教具，如图1，用木头制作的圆盘，用一条彩带从圆上定点O开始缠绕于圆盘上，若将圆盘的半径看作一个单位长度，根据弧长公式：弧OP的长?謀=r·｜?琢｜=｜?琢｜，这样，角（弧度数）与弧长之间就建立了对应关系，两者之间单位一致；同时，若将缠绕于圆盘上的弧OP以O为起点拉直，对应数轴上的有向线段OQ，则弧长与数轴上的点建立了对应关系，而缠绕方向可以顺时针或逆时针方向，所以角（弧度数）与实数之间可以建立一对一关系.
二“单位圆定义法”有利于后续内容学习
“单位圆定义法”直接反映了三角函数定义中的数形关系，为后续研究三角函数线、三角函数的图像和性质、两角和与差的三角函数公式、和（差）化积公式等奠定了直观基础.
1. 有利于诱导公式的学习
“单位圆定义法”以单位圆为载体，点P（x,y）即P（cos?琢,sin?琢），根据单位圆上点旋转的周期性、点的对称性，能方便地得出：
⑴点P（cos?琢,sin?琢）的位置相同：
sin(?琢+k·2?仔)=sin?琢，cos（?琢+k·2?仔）=cos?琢，tan(?琢+k·2?仔)=tan?琢，(k∈z)；
⑵点P（cos?琢,sin?琢）关于原点对称：
sin(?仔+?琢)=-sin?琢,cos(?仔+?琢)=-cos?琢,tan(?仔+?琢)=tan?琢；
⑶点P（cos?琢,sin?琢）关于x轴对称：
sin(-?琢)=-sin?琢,cos(-?琢)=cos?琢,tan(-?琢)=-tan?琢；
⑷点P（cos?琢,sin?琢）关于y轴对称：
sin(?仔-?琢)=sin?琢，cos(?仔-?琢)=-cos?琢,tan(?仔-?琢)=-tan?琢；
⑸点P（cos?琢,sin?琢）关于直线y=x对称：
sin(■-?琢)=cos?琢, cos(■-?琢)=sin?琢；
⑹点P（cos?琢,sin?琢）关于直线y=-x对称：
sin(■-?琢)=-cos?琢,cos(■-?琢)=-sin?琢.
2. 有利于三角函数线的学习
三角函数线是三角函数的几何表示，它直观地刻画了三角函数概念.
如图2，单位圆中，根据三角函数定义：｜OM｜=｜x｜=｜cos?琢｜，而有向线段OM的方向与x轴的正方向一致，与cos?琢的符号一致，于是，有向线段OM可以表示角?琢的余弦值，叫做角?琢的余弦线；同理，MP,AT分别是角?琢的正弦线、正切线.
3. 有利于两角和与差的三角函数的学习
两角和与差公式实际上是“圆的旋转对称性”的解析表示，也是圆的反射对称性的解析表述.
如图3，在平面直角坐标系xOy中，角?琢的终边与单位圆交于?琢(cos?琢,sin?琢)点，角?茁的终边与单位圆交于点B（cos?茁,sin?茁），设向量■与■的夹角为?兹，易知 ｜?兹｜=｜?琢-?茁±k·2?仔｜（k∈z），则cos?兹=cos(?琢-?茁±k·2?仔)=cos(?琢-?茁).
∴■·■=■｜·■｜cos?兹=cos?兹=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁.
∴cos(?琢-?茁)=cos?琢cos?茁+sin?琢sin?茁.
“单位圆定义法”与“终边定义法”本质上是一致的.“单位圆定义法”是任意角?琢的终边与单位圆的交点P(x,y)，以单位长为半径；“终边定义法”是任意角?琢的终边上任意一点P(x,y)，相当于以r=■为半径.因此，它们两者之间是一致的.但是单位圆定义法有利于完善学生的认知结构，更简单、清楚地突出三角函数的周期性且有利于三角函数的后续学习.
责任编辑 罗 峰
