对一道高考试题解法的探讨 导数试题与解法
时间：2019-02-02 03:16:25 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
2004年高考试题（江苏卷）的第18题原题如下：� 一个质量为M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u（其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值）。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5�m/s�，u的大小为4�m/s�，M=30�kg�，m=10�kg�。�
⑴求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。�
⑵求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。（供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477）�
对于此题的第二小题，参考答案给出了二种解法（因许多杂志均有刊登，此处不再重复）。下面介绍另一种方法，不妨称之为解法三。�
解法三：�
求解此题首先要寻找的是狗跳上或者跳下时，雪橇速度的变化存在着什么规律。假设狗在任意一时刻（此时雪橇和狗的共同速度为v�0）跳下雪橇，有：�
(M+m)v�0=Mv′-m(u-v′)�
解得：v′=v�0+mM+mu=v�0+1(1)�
即狗每次跳下后雪橇速度在原来基础上增加1�m/s�。�
假设狗在任意一时刻以速度v（此时雪橇速度为v�0）跳上雪橇，有：�
mv+Mv�0=(M+m)v′�
解得：v′=MM+mv�0+mM+mv�
=34v�0+54(2)�
(2)式为狗跳上雪橇后雪橇速度与原来雪橇速度的关系，综合(1)(2)两式可得到：�
第一次跳下：v�1=v�0+1（此时v�0=0）�
第一次跳上：v′�1=34(v�0+1)+54�
第二次跳下：v�2=v′�1+1�
第二次跳上：v′�2=34［34(v�0+1)+94］+54�
=34(v�0+1)+94�
第三次跳下：v�3=v′�2+1�
=34［34(v�0+1)+94］+94(3)�
由题意可知，只有在狗某次跳下后的速度大于或等于v时，狗无法追上雪橇，所以我们来分析狗每次跳下后雪橇速度的变化规律。由(3)式可得：�
v�n=34v��n-1�+94 �
即：v�n-9=34(v��n-1�-9)�
可见此函数是以(v�1-9)为首项，公比为34的等比数列，其通项为：�
v�n-9=(v�1-9)(34)��n-1� �
化简：v�n=9+(v�1-9)(34)��n-1�(4)�
其中v�1=1，v�n≤5�
12=(34)��n-1�lg12=(n-1)lg34�
解得：n=3.41�
所以狗在第4次跳下后就无法追上雪橇，即狗最多能跳上雪橇3次。雪橇的最终速度就是狗第4次跳下后的速度。�
所以，取n=4时代入(4)式，可得： �
v�4=9+(1-9)(34)�3=5.625�m/s��
对于参考答案中的解法一，事后有些同学看了答案仍然觉得一头雾水，其实是其解答的过程过于简化了，影响了大多数学生的理解，我们不妨将其解答过程细化如下：�
设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n-1）次跳下雪橇后雪橇的速度为V��n-1�，则狗第（n-1）次跳上雪橇后的速度V′��n-1�满足： �
MV��n-1�+mv=(M+m)V′��n-1��
这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为V�n满足：
MV�n+m(V�n+u)=(M+m)V′��n-1��
两式联立得： �
MV�n+m(V�n+u)=MV��n-1�+mv�
化简得： (M+m)V�n=MV��n-1�+m(v-u)�
V�n=MM+mV��n-1�+mM+m(v-u)�
V�n-x=MM+m(V��n-1�-x)�
其中：x=(v-u)�
此函数是以［v�1-(v-u)］为首项，公比为MM+m的等比数列�
其通项为： �
V�n-(v-u)=［V�1-(v-u)］(MM+m)��n-1��
以下的计算思路同解法三，将V�1代入，通过化简就可以得到结果：�
V�n=(v-u)［1-(MM+m)��n-1�］-muM+m(MM+m)��n-1��
狗追不上雪橇的条件是V�n≥v可化为： (MM+m)��n-1�≤(M+m)uMu-(M+m)v�
由此可见，其解题思路与解法三是完全一样的，但难度却大大提升，很少有学生能在有限的时间内完成求解。所以笔者认为，解法一作为高考题的一个参照标准对广大考生来说是缺乏普遍意义的，而且如此简略的解答也颇令人费解。
�(栏目编辑陈洁)
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