住房贷款与分期偿还的数学模型
时间：2021-01-12 00:06:52 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要：随着人们生活水平的不断提高，越来越多的人正在购置房产用于居住或进行置业投资。??工薪阶层的人士可通过低押贷款的方式使买房这个天方夜谭式的梦想变成现实。在市场经济的信息时代，面对不同的决策方案，正确的决策意味着经济资源的最优配置。
关键词：贷款额；利率；贷款期限；还款额；复利
随着国民经济的不断增长，人们的生活水平也在不断的提高，同时，人们对生活质量的要求也越来越高，越来越多的人正在购置房产用于居住或进行置业投资。政府为了鼓励居民购房，居民可以向银行低息贷款。我们知道，如果贷款就需直接面对提供担保、偿还借贷的问题，现实生活中，人们在选择贷款的期数（即时间长短）、月还款额（即月供）时，却往往因为缺乏这方面的知识，而带有一定的盲目性，给自己带来或多或少的经济损失。以下，我们通过举例说明怎样确定最优贷款期数。
一、问题的分析及简化
问题1： 张先生自备款70000￥，其余进行贷款抵押有如四种方案可供选择：
方案1贷款期限: 5年单位时间(月)还款额: 1200￥
单位时间(月)利率: 0.01贷款额:
方案2贷款期限: 0
一次性还款:130000
方案3贷款期限: 25年(月)还款额: (< = > 900$)
单位时间(月)利率: 0.01
贷款额：60000￥
方案4贷款期限: 22年(半月)
还款额: 316$(附:预付三个月)
单位时间（月）利率：？
贷款额：60000￥
问题2： 将欠款额A(t)关于时间t的输入输出模型连续化, 即时间离散变量连续化
问题3： 单位时间利率R 与月利率r=0.01如何转化？
二、模型假设
1. 银行及借贷公司在贷款期限内利率不变;
2. 不考虑物价变化及货币贬值等经济波动的影响;
3. 利率转化函数合理性及实用性已经实践检验;
4. 银行利息按复利计算且单位时间可任意缩短至时间变量连续性变化;
三.模型建立及求解:
1确定变量:银行贷款额:A0
银行欠款额: A (t)
(单位时间)银行利率:R
(单位时间)付款额: a
2问题3的分析:为了简化模型结构,作如下约定:
定义1 单位时间利率关于时间成线性(反比)关系;
定义2 单位时间还款额关于时间成线性（反比）关系；
3问题2的分析:经推导验证,贷款的输入输出模型可用定理1的公式:
定理1:A(t)=A0(1+R)^t-a[(1+R)^t-1]/R;*（可用数学归纳法证明）
4. 问题1的分析：贷款方案的决策：
方案1: 由定理1, A0(1+R)^t =A(t)+a[(1+R)^t-1]/R
A(12*5)=A(60)=0;=> A0=a[1-(1+R)^(-t)]/R;
将R=r=0.01,a=1200; 则A0=53946.04609￥
即如果一次付款应付A=70000+A0=123946.04609$
方案2: t=0,A=130000￥.显然 130000>123946.04609,方案1优于方案2,面对这两种选择,张先生应考虑方案1。
方案 3: t=25*12=300
月利率 r=0.01
A0=60000$
则 A(300)=A0(1+r)^300-a[(1+r)^300-1]/r=0
即:a=[A0(1+r)^300*r]/[(1+r)^300-1]=631.9344854$<900J$
故张先生可以考虑贷款买房。
方案 4: t=22*12*2=528A(0)=60000-316*38*2(预付三个月)
A(1)=a(0)(1+R)A(2)=A(1)*(1+R)
…………………
A(n)=A(6)(1+R)^(n-6)-a[(1+R)^(n-6)-1]/R
=>Solve[A(528)=A(6)(1+R)^522-a[(1+R)^522-1]/R=0,R]
张先生实际所付金额:方案3:A=70000+631.9344854*300=2595803456
方案4:A=70000+316*2*22*12=236848.0000
显然方案3比方案4实付款多,贷款期长,故张先生应考虑去借贷公司贷款.
5． 问题2的求解:
（1）银行欠款离散模型:
欠款额关于离散变量(时间)的贷款模型,可根据假设,将一个月分为m个相等的时间区域则每个时间区域中还款x=a/m ,每个区间的利率为R=r/m,贷款期限为t个月，假设存在t*，使A（t*）=0;
则mt*=㏒[(1+r/m),a/(a-A0r)].………………(2)
（2）银行欠款连续模型:
在银行欠款离散模型中,再让m -> +∞,即得连续银行欠全款模型:
A(mt*)=0则t*=[㏑[a/(a-A0r)]^(-1)
（3）银行离散模型的应4银行离散模型的应用:
单位时间(十天):m=3, 由（2）式，mt*=896.4368217
单位时间(一天):m=30.由（2）式, mt*=8950.960916
提前天数:
△1(t)={300-[896.4368217/3]}*30=35（天）
△2(t)={300-[8950.96016/3]}*30=49(天)
四、模型的评价
模型对银行贷款决策问题给予了定量的分析,利用差分方程的建模方法及离散连续结构分析,对贷款买房问题给予了决策参考.
五、模型的检验
在模型结构的简化中,使利率及还款额与时间成线性变化的理想状态与银行利率受物价水平和经济指数等多方面影响的现实之间存在误差,但作为决策分析,其误差在允许范围之内。
作者单位：山东省淄博职业学院物业管理系
参考文献：
[1]陈玉堂,郭仁忠主编.房地产经纪实务[M].北京：中国建筑工业出版社,2003. 318-325.
[2]柴强主编.房地产经纪相关知识[M].北京：中国建筑工业出版2002.212-226.
[3]熊启才主编.数学建模方法及应用[M].重庆：重庆大学出版社2005. 1-19.
