如何巧妙的转化代理巧妙转化,,化难为易

时间：2020-03-01 07:28:09　来源：雅意学习网本文已影响人

　　数学问题的求解，离不开逻辑变换的转化。而巧妙的转化就可以给解题开辟途径，以达到化难为易的目的。因此，掌握各类问题的转化变换方法，是提高观察条件、分析题意和提高解题能力的重要手段。
　　例1 等轴双曲线x2-y2=a2(o>0)的右焦点为F，点P为右支的上半支上不包括顶点的任一点，则直线PF的斜率的范围是：
　　A.（-∞,0] ∪[1，+∞） B.（-∞,0)∪[1，+∞）
　　C.（-∞,-1]∪[1，+∞） D.（-∞,-1)∪(1，+∞）
　　分析1 ：观察四个选项，发现它们的特点和区别，主要在于动直线PF的斜率能否等于0、-1、1。因为P点是双曲线的右支的上半支上不包括顶点的任一点，所以PF的斜率可以为-1，不能为0，于是可以排除选项A、D；又因为PP不可能与双曲线的渐近线y’x平行，所以PP的斜率不可能为1，因而选项C也被排除。故应选取B。
　　分析 2 ：把问题图像化，如图1所示，动直线PP的倾斜角的范围为(■,π)，从而可以得到直线动PP的斜率的范围为（-∞,0)∪(1，+∞），故应选取B。
　　小结1：以上例题，在形式结构上分别有其各自不同的特征，通过抓住这些特别显著的特征、标志，使得问题形象直观化，从而打通解题思路。
　　例2 己知m≠n,且m，n分别满足条件：
　　m2sinθ+mcosθ-1=0, n2sinθ+ncosθ-1=0
　　若直线l经过点A(m，m2)和B(n，n2)，则无论θ如何变化直线l恒与一定圆相切。
　　分析：因为直线l与m,n有关，m,n又与θ有关，所以直线l与θ有关。这样就需要转化m，n分别满足条件：
　　m2sinθ+mcosθ-1=0， n2sinθ+ncosθ-1=0
　　由于这两个等式的结构相同，这就可以找到一个相应的辅助方程：
　　t2sinθ+tcoθ-1=0
　　将m,n看作这个关于t的一元二次方程的两个不等的实数根。由根与系数的关系：
　　m+n=-■，mn=-■。
　　
　　由于经过点A(m，m2)和B(n，n2)的直线l的方程为y=(m+n)x-mn，所以直线l的方程可以转化为y=-■x+■,也就是xcosθ+ysinθ=1。
　　根据点到直线的距离公式，容易计算出原点O(0，0)到直线l：xcosθ+ysinθ=1的距离恒为1。
　　故无论θ如何变化直线l恒与一单位圆x2+y2=1相切。
　　小结2：以上两题都是借助辅助式或图形架设已知与未知之间的桥梁，实现由已知向未知的转化，使数量关系等明朗化，从而找到清晰的解题思路，以达到化难为易、化繁为简的目的。
　　例3 若三个方程
　　x2-4kx-4k+3=0，x2+(k-1)x+k2=0， x2+2kx-2k=0至少有一个方程有实数解，试求k的取值范围。
　　分析：三个关于x一元二次方程至少有一个方程有实数解的情况比较复杂，如果一一考虑，计算量大且易出错。若把关于x一元二次方程与二次函数f(x)=x2-4kx-4kx+3， g(x)=x2+(k-1)x+k2， h(x)=x2+2kx-2的图像联系起来，问题就转化为三条抛物线中至少有一条与x轴相交的问题。
　　由于三条抛物线中至少有一条与x轴相交的问题也比较复杂，因此从结论的反面“三条抛物线都不与x轴相交”考虑(图2)，就会比较简捷，从而有
　　△f=(4k)2-4(-4k+3)＜0，△g=(k-1)2-4k2＜0，△h=(2k)2-4(-2k)＜0。
　　易解得-■＜k＜-1。.
　　因此当-■＜k＜-1时，三条抛物线都不与x轴相交，也就是以上三个关于x一元二次方程都没有实数解。所以，三个方程至少有一个方程有实数解时，k∈（-∞,-■] ∪[-1，+∞）。
　　小结3：从以上例题说明，当从正面思考不宜求解时，就从逆序着手，能够比较简捷地找到由已知向未知的转化途径。 ◆(作者单位：江西省峡江县峡江中学 )
　　□责任编辑：包韬略