二阶原点矩的方差【标准正态总体的k阶原点矩与方差的计算】
时间：2019-02-09 03:14:11 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 随机变量X的k阶原点矩E（X）和方差D（X）都是概率统计中随机变量的非常重要的数字特征，E（X）是X的取值以概率为权的加权平均，D（X）描述的是X相对于E（X）的偏离程度的指标，而标准正态分布是随机变量最常见的分布之一，因此关于标准正态总体的E（X）和D（X）的计算很有参考价值。
关键词： 标准正态总体 k阶原点矩 方差 Γ函数
问题：设总体X服从N（0，1），计算E（X）和D（X），k为正整数.
一、E（X）的计算
X:N（0，1），则X的密度函数f（x）=e.
E（X）=xf（x）dx=xedx.
显然，当k为奇数时，上式中的被积函数为奇函数，故上式中的定积分为零.因此，当k为奇数时，E（X）=0.
当k为偶数时，上式中的被积函数为偶函数.因此
E（X）=2xedx=xedx.
上式可以利用Γ函数来计算，下面先介绍一下关于Γ函数的知识.
定义：Γ（s）=exdx（s＞0）.
因此Γ（1）=edx=edx=-ed（-x）=-［e］=1.
性质1：递推公式Γ（s+1）=sΓ（s）（证明略）
由递推公式，得Γ（2）=Γ（1）=1!
Γ（3）=2Γ（2）=2!
Γ（4）=3Γ（3）=3!
……
一般的，对任何正整数n，有Γ（n+1）=n!.
性质2：余元公式Γ（s）Γ（1-s）=（0＜s＜1）（证明略）
当s=时，由余元公式可得Γ=.
性质3：eudu=Γ
证明：在Γ（s）=exdx中，利用第二类换元积分法，令x=u，则dx=d（u）=2udu；由x=u得u=因此当x=0时，u=0;当x→+∞时，u→+∞.
于是Γ（s）=e（u）2udu=2eudu.
再令2s-1=t或s=，得Γ=2eudu.
即eudu=Γ.证毕.
现在计算k为偶数时的E（X）.
首先E（X）=xedx.
利用第二类换元积分法，令x=u，得E（X）=uedu.
由性质3，得E（X）=Γ.
由递推公式，得E（X）=Γ=1.
再来E（X）=xedx
令x=u，得E（X）=uedx
由性质3，得E（X）=Γ
由递推公式，得E（X）=Γ=Γ=3
再看一个E（X）=xedx
令x=u，得E（X）=uedx
由性质3，得E（X）=Γ
由递推公式，得E（X）=Γ=Γ=Γ=15.
我们发现，E（X）=1=1!!=（2-1）!!，
E（X）=3=1×3=3!!=（4-1）!!，
E（X）=15=1×3×5=5!!=（6-1）!!.
因此作猜想:当k为偶数时，E（X）=（k-1）!!.
现在用数学归纳法来证明此猜想.
证明:假设当k为偶数时，E（X）=（k-1）!!，
E（X）=xedx.
令x=u，得E（X）=uedu，
由性质3，得E（X）=Γ.
E（X）=xedx，
令x=u，得E（X）=uedu，
由性质3，得E（X）=Γ，
由递推公式，
得E（X）=（k+1）Γ=（k+1）E（X）=（k+1）（k-1）!!=（k+1）!!.证毕.
结论：若X服从N（0，1），则E（X）=0当k为奇数（k-1）!! 当k为偶数.
二、D（X）的计算
根据方差的计算公式D（X）=E（X）-（E（X））和上面的结论得：
D（X）=E（X）-（E（X））=（2k-1）!! k为奇数（2k-1）!!-（（k-1）!!） k为偶数.
结论：若X服从N（0，1），则D（X）=（2k-1）!! k为奇数（2k-1）!!-（（k-1）!!） k为偶数.
参考文献：
［1］同济大学数学教研室主编.高等数学（第四版上册）.高等教育出版社.
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