【微磁学中的交换作用】固体在溶液中的交换作用
时间：2019-02-08 03:20:43 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 本文通过对微磁学交换作用与量子力学中交换作用的对比分析，着重阐述了微磁学中经典的交换作用，同时论述了它在解决一些实际问题的贡献与自身的限制。 关键词： 微磁学 交换作用 经典交换作用
1.引言
在真实的磁化过程中，交换作用能、磁各向异性能和静磁能中任何一项都不能忽略。如果这些能量项作为微扰加入海森堡哈密顿量中，然后用量子力学的方法求解，那就是最为理想的了。但是，实际上即使不附加其他能量项，也必须做粗略的近似才能求解。所以，微磁学应运而生，它没有顾及量子力学，忽略了物质的原子本性，而采用介质的经典物理方法处理问题，这种经典理论是与M（T）的量子理论（忽略了静磁作用）并行发展起来的，它起源于1935年Landau和Lishitz关于两个反方向磁畴间畴壁结构的论文及1940―1941年W.F.Jr.Brwon的几篇论文。Brwon将此经典理论命名为“微磁学”，此理论忽略了原子理论的微观性质，用宏观的观点讨论问题并认为材料是连续的。因而，采用了经典矢量来代替自旋，并且在“连续介质”的极限下，为了使其能与麦克斯韦方程组一起使用，采用了一项经典的能量项来代替量子力学中的交换作用能。本文主要考虑交换作用能经典的代替项，并通过分析，讨论它的适用性与局限性。
2.何为“交换作用”
在顺磁体中，其原子磁矩只与外磁场相互这样。而在铁磁体中情况却不相同，其原子的自旋之间存在着相互作用，每个自旋都力图使其他自旋沿着它的方向取向，自旋间的相互作用来源于自旋的量子力学性质，交换作用没有经典的对应物，是量子力学中电子波函数的重叠引起的。这些自旋之间存在着一种力，这种力试图使所有的自旋平行排列，这就是所谓的交换作用，可以用自旋和自旋之间的交换作用能表示，交换作用能正比于•
ε=-′J
其中，求和符号旁边的分号表示求和时排除i=j，因为能与自旋发生作用，除此之外，此式遍及材料中所有的原子自旋。系数J称为交换积分。系数的正负是这样定义的，如果J为正，则自旋平行取向，如果J为负，则自旋反平行取向，分别意味着铁磁性耦合与反铁磁耦合。
对于交换积分J，目前尚不能根据基本原理计算出，只能假设给出哈密顿量，而J作为一个参量，其数值由理论与某些实验（通常是居里温度）值的比较来确定。
3.“经典”的交换作用
“交换作用”是一种非常“短程”的作用力，它只能在邻，也可能在次近邻自旋之间产生作用，而对较远的自旋没有作用，将自旋算符近似地用经典矢量表示，则交换作用能有〈1〉式给出，如果只能是最邻近自旋之间的J不等于零，则：
ε=-′J•=-JScosφ
其中，φ为自旋和之间的夹角。
可以预期，相邻自旋之间的夹角“总”是很小的，因为交换作用是极短程的作用力，不允许产生大的夹角。当φ很小时。可以假设每个平面上有几个自旋，这些平面相互平行，此时则有：
ε=JSφ
在计算中将所有自旋相互平行的状态作为参考状态，减去参考状态的能量即得到上述表示式。这意味着重新定义了交换作用能的零点。但是，不必担心，只要互相一致，重新定义是合理的。
如图1所示，设为平行于局域自旋方程的单位矢量，在小角度的场合，|φ|≈|-|。需指出，这一定义也意味着平行于磁化强度矢量的局部方向。不仅定义在格点上，而且是一个连续变量，其泰勒级数展开的一级近似为：
|-|=|（•）|
其中，是从格点i到格点j的位置矢径
将〈4〉式代入〈3〉式，则得：
ε=JS•［（•）］
上式中的第二个求和遍及格点i到所有邻近的位置矢径，例如对晶格常数为a的简单立方晶格，需要六个位置矢径S=a（±1，±1，±）求和。对于三种立方晶格很容易求和，计算表明三种立方晶格的表达式相同，只是系数因子不同。
将对i的求和变换为对整个铁磁体求积分，则立方晶体交换作用能的表达式为：
ε=?蘩wd?�，w=1/2C［（m）+（m）+（m）］
其中C=c
上式中，a为晶胞棱边的长度，c为常数，其数值对于简单立方，体心立方，面心立方分别为1，2和4。
4.交换作用与“经典”的交换作用
前面已经提到，交换作用没有经典的对应物，是量子力学中电子波函数的重叠引起的。实际的交换能量论即〈1〉式来源于库仑作用，因为它应用了反映pauli不相容原理的行列式。根据pauli不相容原理，两个相同自旋的电子不能处于同一个位置，因此，它们的重叠就比经典电子的重叠小（详情参见文献1），因为交换能量项的主要特征是其积分中包含了对自旋波函数的求和，因自旋波函数是彼此正交的，如果自旋不平行取向，则积分为零。所以，这一项能量实际上表征了两个自旋爬行取向，以及反爬行取向的两个姿态的能量“岔值”，其作用在于力图使自旋彼此平行取向（或者反平行取向，这取决于交换积分的正负）。
但是，在“经典”的交换作用中，恰恰忽略了交换作用最为重要的一点，即电子的自旋波函数，而是以经典的矢量来代替自旋。而这一变化，促使了经典的能量论代替了量子力学的交换作用能，这一变化，使得交换能量的计算显得更加简捷方便，也便于解决目前考虑到量子力学性质时难以解决的问题，比如，对三种立方晶格即（简单立方，体心立方，面心立方）交换作用能的积分，以及对两个反方向磁畴间畴壁结构的求解问题等。
可是，既然经典交换作用已经忽略了物质的原子本性，不以经典矢量来代替自旋。那么，我们在利用经典交换作用解决问题时，就必须忽略它带来的局限性和一些限制。
5.经典交换作用的应用和限制
在上一节中已经提到，经典交换能量式为：
ε=JS•［（•）］
其对三种立方晶格交换作用能的表达式为：
ε=?蘩wd?�，w=1/2C［（m）+（m）+（m）］
其中C=c
a为晶胞棱边的长度，c为常数，而对六角密堆晶体，譬如能对Si的体积同样给出〈6〉式，只是系数C不同，其值为：
C=
其中a为最邻近原子间的距离。
对于低对称性的晶体，〈6〉式需做某种修改。不多对于大多数有实际意义的情况，可以认为这一表达式仍然是交换作用的很好近似，比如连续介质的假设是物理真实的很好近似一样。将常数C看作是材料的一个物理参数，其数值可以通过理论计算结果及测量数据的拟合而求得。当然，如果已知交换积分J，那么从理论表达式〈7〉和〈8〉也可求出常数C。
不过，J与温度有关。靠近居里温度T的J值不再适用于微磁学计算，因为微磁学往往适用于室温附近。通常用铁磁共振实验可以较准确地测出交换常数C，对于铁和镍，其数量级C≈2×10erg/cm。
对于解决晶体中磁化强度矢量的方向随空间位置变化的问题〈6〉式给出的交换作用能量是非常有用的工具。假设磁化强度矢量的数值在晶体内处处相同，且等于M（T），再均匀磁化，即晶体各点的磁化强度矢量均平行取向时，磁化强度的微商为零。交换作用能随磁化强度矢量的空间变化率的增大而增加，正如所预期的，交换作用能力图避免磁化强度矢量随位置的急剧变化。
但是，交换作用能的使用是有其限制的，我们绝不能在超出其有效的近似范围去应用它。它主要有以下限制。
5.1与材料是连续的基本假设有关
如果所涉及的任何特征长度都远大于晶胞的尺寸，则材料是连续的，这个假设是合理的。但是，事先并不能完全保证这一点，不过，必须牢记，如果某个微磁学计算中涉及以长度为量纲的参数，只有在这些参数的数值远大于晶格常数是结果才是可信的。
本文为全文原貌 未安装PDF浏览器用户请先下载安装 原版全文 5.2温度不能太高
将格点上的自旋变为连续变量时，的数值在整个晶体内便自动的变为一个常数。同时实验证实，磁畴中的数值是材料常数M（T），只与温度有关，格点上具有固定自旋的图像对于实际材料并不是一种很好的近似（参见文献1）。下式给出的实验事实
||=M（T）
只有在较大的体积中求平均时才正确，而当涨落足以使从一点到另一点有差别时，在每个点上（9）式就不满足了。因为缺乏更好的模型，微磁学理论仍假设〈6〉式到处成立。因此，这个理论不能应用于居里点附近，因为居里点附近很小的“局部”场都会改变的数值。
同时对此理论来做必要的修改前，不能应用于高温。如果假设尚不清楚，不过已有一些推行此理论的尝试，其中取得重大步骤的是Minnaja（参见文献2），他证明在存在热涨落的情况下，应该用下列交换作用能密度的表达式代替〈6〉式。
w=［（m）+（m）+（m）］
其中，M为矢量的数值，是位置的函数。但是，这一理论仍存在问题，没有用确定值的另一关系式代替（9）式，因而这部分工作尚未完成。另外在“成核问题”（Nucleation）的研究中（9）式是可以忽略的。
5.3这些近似只适用于相邻自旋间“小夹角的情况”
不过，由于交换作用力是极短程的作用力，一般地讲：相邻自旋间的夹角预期是很小的。但是，这一普遍的规则并不排除一些非寻常情况下的例外，譬如在材料拐角处，由于其他能量项的制约磁化强度必须翻转方向，如果以为〈6〉式是严格正确的，那么，形式上自旋夹角的不连续跃变会使交换作用能变为无穷大。因此，不能认为〈6〉式是严格成立的，因为它毕竟是〈2〉式的近似表达式。而自旋跃变时，〈2〉式并不趋于无穷大。〈3〉式总是有限的，而取近似的结果导致无穷大。这意味着这种近似方法不适用此特殊情况，应该采用别的方法进行研究。
6．结语
虽然经典的交换作用的使用存在诸多限制，在应对一些特殊情况时，问题也的确存在。但不可否认的是，对于大多数的问题，目前来说，别无选择，只能采用〈6〉式。对于特殊的问题，我们就需采用一些特殊的技术。因而，在没有找到更好的办法之前，经典的交换作用不失为一种很好的方法。
参考文献：
［1］A.Aharoni.铁磁学性理论导论［M］.兰州：兰州大学出版社.
［2］Minnaja.N（1970）.Micromagaetics at high temperature.phy.s.Rev.B.1，1151-9.
［3］钟文定.铁磁学（中）［M］.北京：科学出版社，1998.
［4］姜寿亭，李卫.凝聚态磁性物理［M］.北京：科学出版社，2005.
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