【蒙特卡洛计算方法及其在定积分求解中的应用】蒙特卡洛方法计算定积分
时间：2019-02-07 03:30:25 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 蒙特卡洛数学计算方法是一种新型的计算方法，本文介绍了蒙特卡洛数学计算方法的历史起源及其原理，并对它在积分求解中的应用进行了分析. 关键词： 蒙特卡洛 随机数 积分求解 计算方法
蒙特卡洛（Monte Carlo）方法是二十世纪四十年代中期提出的，一方面它的提出是科学技术发展和电子计算机发明的必然产物，另一方面它是以概率统计理论为指导的一类新型计算方法，目前它已成为非常重要的数值计算方法.
一、蒙特卡洛计算方法原理
与蒙特卡洛方法相反的一类方法称为确定性计算方法，确定性计算方法是按照规定的算法步骤执行，每次得到的结果一定是相同的［１］.与此不同，蒙特卡洛方法建立在随机理论的基础上，利用概率论中的大数定律稳定性理论进行运算.所以蒙特卡洛方法是一种大数收敛的概率计算方法，它依据概率知识建立模型、借助现代计算机技术来实现算法，大量随机仿真形成真实值的逼近.
二、蒙特卡洛计算方法在定积分中的应用
根据覃永昼在“在数学分析课程的概念教学中渗透数学建模思想”一文中对定积分定义的图解解析［２］，我们可以很清晰地看出定积分的意义就是指被积函数在积分区间的面积代数和.但是由于被积函数的多样性，导致其在积分区间上的取值大小不一，无法按照规则的图形来求解面积.下面我们利用蒙特卡洛计算方法将其转化为规则图形来计算［３］.
假定我们要计算如下定积分：
首先我们进行严格的数学计算，便于后面与蒙特卡洛计算方法所得结果形成对比：已知e的原函数是e，那么定积分值就是：e-e=6.38905609893065.我们可以在Matlab中输入以下代码进行精确计算：exp（2）-exp（0），这个值是此定积分的真实值.
下面进行蒙特卡洛计算上述定积分，其MATLAB代码如下：
N=500；
x=unifrnd（0，2，N，1）；
mean（2*exp（x））
上述三条语句完整实现了蒙特卡洛计算上述定积分步骤.第一条语句是设定了停止条件，共做N次Monte Carlo模拟.第二条语句实现了在积分区间上均匀产生N个随机数.第三条语句实现蒙特卡洛计算方法的面积逼近.对N设置不同的值，观察所得蒙特卡洛计算方法定积分值，如表1所示，我们可以发现：当不断增大N值时，所得结果越来越接近真实值.
四、蒙特卡洛计算方法性质
蒙特卡洛计算方法依据概率统计理论，具有统计特性，主要表现在以下三个方面.
1.蒙特卡洛计算方法具有随机性、不确定性.即每次运行结果都会不一样，因为计算机产生随机数并不是可以重现的.
2.蒙特卡洛计算方法具有统计稳定性。虽然每次运行产生随机数是不一样的，但是随机数的概率分布是一样的，所以蒙特卡洛计算方法可以满足概率统计的稳定性.
3.随着随机数数量增加，蒙特卡洛计算方法所得结果会更加逼近真实值，这就是我们所讲的依概率收敛到真实值意义.
参考文献：
［1］方再根.计算机模拟和蒙特卡洛方法［M］.北京：北京工业学院出版社，1988.
［2］覃永昼，在数学分析课程的概念教学中渗透数学建模思想，考试周刊，2011，（8），55-56.
［3］张弛，试论蒙特卡洛方法在人力资源管理指派问题中的应用，科技信息，专题论述，387.
［4］薛定宇，陈阳泉.高等应用数学问题的MATLAB求解［M］.北京：清华大学出版社，2008.
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