数形结合思想在高中数学中的应用 趣味数学100题目和解答
时间：2019-02-04 03:17:30 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： 数形结合思想是培养和发展学生的空间观念和数感，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进、和谐发展的主要形式，可大大提高学生理解问题、分析和解决问题的能力，提高学生数学思维能力的深度和广度，从而提高复习效率.
关键词： 数形结合 抽象思维 形象思维 有机结合
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化解决数学问题的思想.它包含“以形助数”和“以数助形”两方面，其应用大致可分为两种情形：一是借助形的生动和直观性阐明数与数之间的联系，即以形作为手段，以数作为目的；二是借助数的精确性和规范严密性阐明形的某些属性，即以数作为手段，以形作为目的.数形结合思想是培养和发展学生的空间观念和数感，进行形象思维与抽象思维的交叉运用，使多种思维互相促进、和谐发展的主要形式.重视应用数形结合思想进行教学，有助于培养学生灵活运用知识的能力，现行中小学数学教材十分重视数形结合思想的应用.在高考复习中，如果教师适当地渗透数形结合的思想，就可极大地提高学生理解问题、分析和解决问题的能力，提高学生数学思维能力的深度和广度，从而提高复习效率.
一、集合问题中的数形结合思想
例1．有48名学生，每人至少参加一个活动小组，参加数理化小组的人数分别为28，25，15，同时参加数理小组的8人，同时参加数化小组的6人，同时参加理化小组的7人，问同时参加数理化小组的有多少人？
分析：我们可用圆A、B、C分别表示参加数理化小组的人数（如图），则三圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数．用n表示集合的元素，则有：
n（A）+n（B）+n（C）-n（A∩B）-n（A∩C）-n（B∩C）+n（A∩B∩C）=48
即：28+25+15-8-6-7+n（A∩B∩C）=48
∴n（A∩B∩C）=1，即同时参加数理化小组的有1人．
二、函数问题中的数形结合思想
例2．如果方程x+2ax+k=0的两个实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，试求a与k应满足的关系式．
分析：我们可联想对应的二次函数y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草图．这两个函数图像都是开口向上的，形状相同且有公共对称轴的抛物线（如图）．要使方程x+2ax+k=0的两实根在方程x+2ax+a-4=0的两实根之间，则对应的函数图像y与x轴的交点应在函数图像y与x轴的交点之内，它等价于抛物线y的顶点纵坐标不大于零，且大于抛物线y的顶点纵坐标．由配方法可知y与y的顶点分别为：P（-a，-a+k），P（-a，-a+a-4），故-a+a-4＜-a+k≤0.故可求出a与k应满足的关系式为：a-4＜k＜a．
三、方程问题中的数形结合思想
例3．已知x是方程x+lgx=3的根，x是方程x+10=3的根，那么x+x的值为（ ）
A.6 B.3 C.2 D.1
解:∵lgx=3-x，10=3-x，令y=lgx，y=3-x，y=10，
在同一坐标系中作出它们的简图.
∵x是方程x+lgx=3的解，x是方程x+10=3的解，
∴x，x分别对应图中A，B两点的横坐标.
∵函数y=lgx与y=10的图像关于y=x对称，
∴线段AB的中点C在直线上y=x.
∴由y=x，y=3-x解得x=，
∴x+x=3，故选B.
四、数形结合思想研究三角问题
例4.求函数y=的值域.
解：y=的形式类似于斜率公式y=
y=表示过两点P（2，-2），P（cosx，sinx）的直线斜率.
由于点P在单位圆x+y=1上，如图，显然，k≤y≤k.
设过P的圆的切线方程为y+2=k（x-2），
则有=1，解得k=
即k=，k=,
∴≤y≤，
∴函数值域为［，］.
五、利用数形结合思想研究最值问题
例5.求函数y=的最大值．
解：由定义知1-x≥0且2＋x≠0，∴-1≤x≤1，故可设x=cosθ，θ∈［0，π］，则有y==可看做是动点M（cosθ，sinθ）（θ∈［0，π］）与定点A（-2，0）连线的斜率，而动点M的轨迹方程x=cosθy=sinθ，θ∈［0，π］，即x＋y=1（y∈［0，1］）是半圆．
设切线为AT，T为切点，|OT|=1，|OA|=2．
∴k=，∴0≤k≤．
即函数的值域为［0，］，故最大值为．
例6.求函数u=+的最值.
分析：由于等号右端根号内t同为t的一次式，故作简单换元=m，无法转化出一元二次函数求最值；倘若对式子平方处理，则会把问题复杂化，该题用常规解法显得比较困难，考虑到式中有两个根号，故可采用两步换元.
解：设x=，y=，则u=x+y
且x+2y=16（0≤x≤4，0≤y≤2）
所给函数化为以u为参数的直线族y=-x+u，它与椭圆x+2y=16在第一象限的部分（包括端点）有公共点，（如图），u=2.
相切于第一象限时，u取最大值.
y=-x+ux+2y=16?圯3x-4ux+2u-16=0
解△=0得u=±2，取u=2
∴u=2
六、利用数形结合思想研究不等式问题
例7.解不等式＞x
常规解法：原不等式等价于（Ｉ）x≥0x+2≥0x+2＞x或（II）x＜0x+2≥0
解（Ｉ）得0≤x＜2；解（II）得-2≤x＜0.
综上可知，原不等式的解集为{x|-2≤x＜0或0≤x＜2}={x|-2≤x＜2}.
数形结合解法：令y=，y=x，则不等式＞x的解就是使y=的图像在y=x的上方的那段对应的横坐标.
如下图，不等式的解集为{x|x≤x＜x}，而x可由=x解得x=2，x=-2，故不等式的解集为{x|-2≤x＜2}.
总之，数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题能迎刃而解，且解法简捷.数形结合思想“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质.它是数学的规律性与灵活性的有机结合.
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