等差数列Sn公式_巧用等差数列前n项和公式Sn=An2+Bn解题
时间:2019-02-03 03:16:48 来源:雅意学习网 本文已影响 人
摘 要: 本文根据实例说明利用“S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件”这一结论,运用待定系数法,借助函数相关知识可以有效解决等差数列前n项和与第n项等相关问题.
关键词: 等差数列 前n项和公式 解题方法
等差数列{a}的前n项和为S=an+d,若令A=,B=a+则S=An+Bn;反之,数列{a}的前n项和若为S=An+Bn,则由a=S-S?摇?摇?摇n≥2S?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇n=1可得通项a=2An-A+B,进而得a-a=2A(常数),所以{a}是等差数列.
由上可知:S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件.若能运用这一结论,等差数列中一些涉及和与项的问题就能方便地得到解决.
例1.设S,T分别是等差数列{a}与等差数列{b}的前n项和,若对任意的n∈N都有=,则为?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇?摇.
解:∵{a},{b}为等差数列,=,
∴令S=(7n+1)nt,T=(4n+27)nt,
求得a=(14n-6)t,b=(8+23)t,∴=,∴==.
分析:两个等差数列前n项和之比与第n项之比之间存在确定的函数关系.
例2.设S,S分别为等差数列{a}的前n项的和与前2n项和,若=,求.
解:∵{a}为等差数列,∴设S=An+Bn,S=4An+2Bn,
则a=2An-A+B,a=4An-A+B,
∴==,∴A=t-A+B=-t即A=tB=0,
∴==4.
分析:一个等差数列前n项和与前m项和之比和第n项与第m项之比之间存在确定的函数关系.
例3.设S,S分别是等差数列{a}的前n项和与前3n项和,a=1,是与n无关的定值,试求{a}的通项公式.
解:设S=An+Bn,则S=9An+3Bn,a=2An+(B-A),a=A+B=1,
据题意得:===k(常数).
将此式整理为:A(1-8k)n+B(1-2k)=0,
∵与n无关,
∴A(1-8k)=0B(1-2k).
将A+B=1代入可得
A(1-8k)=0(1-A)(1-2k)=0,解得A=0B=1k=或A=1B=0k=.
∴{a}的通项公式为a=1或a=2n-1.
分析:利用“S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件”这一结论解决相关问题时,常常要运用待定系数法.
例4.设S、S分别为等差数列{a}的前m项和与前k项的和,且S=p,S=q,(m,k∈N,m≠k),求:S,a+a.
解:设S=Am+Bm=p,S=Ak+Bk=q,
两式相减整理得:A(m+k)(m-k)+B(m-k)=p-q,
∵m≠k,∴A(m+k)+B=(1)
而S=A(m+k)+B(m+k)=(m+k)(2)
将(1)代入(2)得:S=,
又∵S=(a+a)(m+k),∴a+a==.
分析:本例还可得到下面几个推论:
(1)当p=q时,a+a=0,S=0;
(2)当q=m,p=k时,a+a=-2,S=-(m+k);
(3)当p=q且a>0时,
若m+k为偶数,则当n=时,S取得最大值,
若m+k为奇数,则当n=时,S取得最大值.
这是因为当p=q时,可由例4(1)式得到:B=-A(m+k).
将其代入a=S=A+B,则a=A-A(m+k)=A[1-(m+k)]>0.
∵1-(m+k)<0(m,k∈N),∴A<0,
在S=An+Bn中,n===,
∵n∈N,有以上结论.
从以上几条例题的解法可以看出,合理运用“S=An+Bn是{a}为等差数列的充要条件”这一结论,借助函数相关知识可以为解决相关问题提供一些帮助.
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