二次函数解析式【二次函数解析式妙解五法】

时间：2019-01-11 03:18:57　来源：雅意学习网本文已影响人

　　摘要：二次函数是人教版初中九年级上册内容，求其解析式是每年中考的考点之一，要求学生要学会分析、掌握不同情况下求其解析式的方法，考查了学生的分析能力、逻辑思维和综合运用能力。
　　关键词：二次函数解析式求解方法
　　
　　二次函数是人教版初中九年级上册内容，它的解析式也是每年中考的考点之一，要求学生要学会分析、掌握不同情况下求其解析式的方法，还考查了学生的分析能力、逻辑思维和综合运用能力.二次函数的解析式有y=ax、y=ax+k、y=a（x-h）、y=a（x-h）+k、y=ax+bx+c、y=a（x-x）（x-x），其中a≠0.下面我就如何求二次函数解析式谈一些看法.
　　一、从二次函数的解析式之间的关系入手
　　y=ax、y=ax+k、y=a（x-h）、y=a（x-h）+k（a≠0）这四种形式称为二次函数的顶点式，y=ax+bx+c（a≠0）是二次函数的一般式，y=a（x-x）（x-x）（a≠0）是二次函数的两根式.要想求得二次函数的解析式先要了解它们之间关系，如图：
　　y=ax y=ax+k y=a（x-h）y=a（x-h）+k
　　这是顶点式相互之间的关系，它们之间通过平移可以相互得到新的解析式.
　　例1：把二次函数y=2x的图像先向上平移两个单位，再向左平移三个单位，求新的函数关系式.
　　分析：y=2xy=2x+2y=2（x+3）+2
　　解：二次函数y=2x的图像向上平移两个单位，再向左平移三个单位后的函数解析式为y=2（x+3）+2.
　　二、从顶点入手
　　每种解析式都有其不同的顶点，根据这点，我们可以设合适的解析式，再找到图像上的点代入其中，求得其解析式。若题目中给出二次函数的顶点是（0，0），则可设其解析式为y=ax，再在二次函数上找一个点代入式中解出系数a即可.若题目中提到二次函数的顶点为（0，k），则可设其解析式为y=ax+k，再把函数上的两个不同的点同时代入式中，组成二元一次方程式组，解得a，k即可.若给出二次函数的顶点是（h，0），则可设其解析式为y=a（x-h），再把函数上的一个点代入式中，求得a即可.若给出二次函数的顶点（h，k），则可设其解析式为y=a（x-h）+k，再找到函数上的一个点代入解析式中，求得a即可.
　　例2：二次函数过点（2，5）且顶点坐标为（1，4），求此二次函数的解析式.
　　分析：二次函数顶点为（1，4），可设顶点式y=a（x-1）+4，求得a即可.
　　解：设此二次函数解析式为y=a（x-1）+4，则有：
　　5=a（2-1）+4，解得a=1.
　　∴此二次函数解析式为y=（x-1）+4.
　　三、从对称轴入手
　　求二次函数的解析式有时也可以从其对称轴入手，利用解析式y=a（x-h）+k来解题.解析式y=a（x-h）+k的对称轴为x=h，由对称轴得到h，再找两个不同的点代入式子中，求得a，k，从而求得其解析式.二次函数的对称轴有时可从图像上直接获得，有时可从表格中通过函数值的对称性可获得，有时也可以通过观察题目给出的点的纵坐标得到.
　　例3：如图1，已知二次函数的图像经过点A（0，1），B（3，0），求它的解析式．
　　分析：从图像上可以得到二次函数的对称轴为x=2，则可设其解析式为y=a（x-2）+k，再把A，B两点代入式子中，组成二元一次方程组，从而可解得a，k，进而得出所求解析式.
　　解：依题意设二次函数的解析式为y=a（x-2）+k，把A，B两点代入式子中，则有
　　1=a（0-2）+k0=a（3-2）+k解得：a=k=-
　　∴此二次函数解析式为y=（x-2）-.
　　例4：已知二次函数y=ax+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
　　求该二次函数的解析式.
　　分析：观察表格发现，y的值在x=2两边成对称出现，所以可以判定这个二次函数的对称轴为x=1，即h=2，通过观察还可以发现，此二次函数的顶点坐标为（2，1），故可设其解析式为y=a（x-2）+1，再找一个点代入解析式中，解出a即可.
　　解：依题意设此二次函数的解析式为y=a（x-2）+1，则有：2=a（1-2）+1，解得a=1.
　　∴此二次函数解析式为y=（x-2）+1.
　　四、从一般式入手
　　有时候题目中不会直接给出顶点或对称轴，此时可以利用一般式y=ax+bx+c来解决.从图上或题目中找到抛物线上不同的三个点，代入式子中，组成三元一次方程组，解出系数a，b，c，就可以得到二次函数的解析式了.
　　例5：已知二次函数经过点（2，1），且与x轴的交点为（3，0），与y轴的交点为（0，4），求此二次函数的解析式.
　　分析：函数经过三个不同的点，可以设其解析式为y=ax+bx+c，再把点（2，1），（3，0），（0，4）代入式子中，组成三元一次方程组，求得系数a，b，c即可.
　　解：依题意设此二次函数的解析式为y=ax+bx+c，则有：
　　1=4a+2b+c0=9a+3b+c4=c，解得a=b=-c=4
　　∴此二次函数的解析式为y=x-x+4.
　　五、从两根式入手
　　二次函数y=ax+bx+c（a≠0）与一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）有很密切的关系，一元二次方程可以看做是二次函数y=ax+bx+c（a≠0）与x轴相交时的情形.当知道二次函数与x轴的交点坐标时，我们可以用两根式y=a（x-x）（x-x）（a≠0）.
　　二次函数解析式的表达形式是多种多样的，所以要求学生在牢固掌握基础知识的同时，灵活运用，善于分析，善于总结.
　　
　　参考文献：
　　［1］王庚.数学文化与数学教育―数学文化报告集.北京：科学出版社，2004.1.
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