三角函数公式诱导公式【对一道三角函数课本题的深入探究】
时间：2020-02-23 07:29:06 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在数学复习中，选好一道例题，通过一题多思，一题多解，一题多讲，多题一讲等形式可以巩固知识，训练思维，开拓视野. 同学们在数学学习中，往往对课本中的例题、习题重视不够. 事实上，课本中许多例题、习题具有很强的典型性，有意识地对其深化和发展、全方位探索，可以促进同学们研究课本，真正掌握基础知识，提高解题能力.
我们可以对原题条件多方面思考，寻求多角度、多视角的解法；可以对结论类比、推广、深化、发展；可以转换条件、结论，寻求更广泛的演绎与应用；可以对方法的选择做些拓展，比如代数法、解析法、向量法、几何法、三角法等的转换；可以寻求与相关知识点、学科、方法、思想的综合，等等. 下举一例希窥全豹.
教材（苏教版）必修4P107中有一道例题：在半圆形钢板上截取一块矩形材料，怎样截取能使这个矩形的面积最大？
思考方向一设角为变量，利用三角函数求最值. 方便易行.
解析1如图1，设 ∠AOB=，且为锐角，半圆的半径为R，则面积最大的矩形ABCD必内接于半圆O，且两边长分别为AB=Rsin， DA=2OA=2Rcos，则这个矩形的面积为S矩形ABCD=ABDA= R2sin2.
所以当sin2 =1(为锐角)，即=45�时，矩形ABCD的面积取得最大值R2.
答：当这个矩形的两边长与半圆的半径的比是1 2时，所截矩形的面积最大.
思考方向二建立基本函数模型，通常为二次函数或转换为二次函数，求最值. 常规方法.
解析2如图2，设AB=x，则AD=2，故 S矩形ABCD =ABAD=x2=2 = 2，当x=时，取得最大值R2.即AB=，AD=R.
答：当这个矩形的两边长分别为AB=，AD=R 时，所截矩形的面积最大.
解析3设AB=x，则AD=2，S矩形ABCD=ABAD=x2 =2=2.
记f（x）=x4R2x2，则 f "（x）=4x3 2R2x=2x（R2 2x2），令 f"（x）=0，得x = ，由导数知识，可知当 x=时，矩形面积取得最大值R2.
思考方向三设二元变量，用基本不等式求最值.
解析4设OA=x，AB=y，则x>0，y>0，且x2+y2=R2，S矩形ABCD=ABAD=2xy≤x2+y2=R2，当且仅当x=y= 时取等号.
解析5设AD=x，AB=y，则x>0，y>0，且+y2=R2，而R2=+y2=+y2≥xy，当且仅当=y= 时取等号. 所以S矩形ABCD=ABAD=xy≤R2.
思考方向四解析方法，建立直角坐标系.
解析6如图3，建立直角坐标系，设B（x，y），下同解析4，略.
解析7如图4，建立直角坐标系.
由圆的参数方程，可设B（Rcos，Rsin），则 C （Rcos，Rsin），00，当∈ ，时，f" （）
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