《高中数学妙招》 [试论高中数学解题直觉思维的培养]
时间：2019-05-13 03:32:53 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要：直觉思维是对一个问题未经细致分析，仅凭借内因的感知迅速地对问题答案作出初步判断、猜想，由感知导出的思维。数学直觉思维是数学创造的源泉。解题教学是数学教学中的重要组成部分，重视数学思维方法的教学，诱发学生的直觉思维，能够提高学生的解题速度和正确率，培养学生的数学创造力。
关键词：高中数学；解题思路；直觉思维
直觉思维是“人脑对客观世界及其关系的一种非常迅速地识别和猜想，是一种整体、粗线条、高度简约、跳跃式的思维”。它不是分析性的、按部就班的逻辑推理，而是从整体上作出的直接把握。数学直觉思维是人脑对数学对象及其结构的一种迅速的识别、直接的理解、综合的判断，是数学的洞察力。数学直觉思维依托于学生对事物的直接认识，从整体上把握数学对象,经过充分的准备,接触到问题的实质,找到答案。诸如：换元、数形结合、归纳猜想、反证法等，对渗透直觉观念与思维能力的发展大有益处。许多高中数学问题的解答都是依托直觉感知得到某种猜想和预感，然后进行逻辑推理和证明，进而使问题得以解决。
一、克服学生思维的单向性，认知直觉思维
数学直觉思维是“具有意识的人脑对数学结构的某种直接的领悟和洞察”。直觉思维具有“自由性、灵活性、自发性、偶然性、不可靠性等特点”。数学是人们对生活现象与世界运行的秩序直觉的体现，再以数学的形式将思考的理性过程格式化。高中数学最初的概念都是基于直觉，数学问题的解决也离不开直觉，当一个问题不用通过逻辑证明的形式而是通过自己的直觉能收获时，那么成功将带给学生巨大的震撼，其内心将会产生一种强大的学习钻研动力，从而更加相信自己的能力。直觉思维具有快速性，能迅速肯定或否定某一思路或结论，给人以“发散”“放射”的感觉，有利于提高学生的思维品质。加强直觉思维能力的训练，对克服学生思维的单向性，提高创新思维是有利的。
二、引导学生大胆猜想，激发直觉思维
直觉思维是瞬间的思维火花，是长期积累的升华，是思维者的灵感，是侧重于感性的思维，它清晰地触及到事物的“本质”。科学家牛顿说：“没有大胆的猜想，就做不出伟大的发现”。观察、类比、归纳等方法都是应用于高中数学猜想的常用方法。在数学解题训练中教师应注意指导学生对数学习题条件、图形进行认真的观察、分析、类比、归纳，继而发现有规律性的现象。引导学生大胆进行猜想，鼓励学生猜结论，猜证法。即使猜错了也无关紧要，直觉思维也有失误的时候，错的不是思维本身，而是缘于自身还不丰富、不完善的知识储备和思维能力，激发学生的积极性。直觉思维不太可靠，但难能可贵，鼓励学生寻找猜错的原因，培养学生的数学直觉思维能力，对学生大胆猜想给予肯定，对合理成分及时给予鼓励。
例1.若数列an满足an+1=2an，（0≤an≤1）an-1，（an＞1），且a1=■，则a2012=
_____
分析：本题应引导学生看出数例题的常用解题方法，求数列通项公式，递推数列问题中的通项公式求解方法有等差、等比公式法或周期数列求通项法。
略解：由a1=■，得a2=■，a3=■，a4=■，a5=■，a6=■…
由此可得数列an是周期为5的周期数列，可得a2012=■
例2.已知函数f（x）是定义在（0，+∞）上的单调增函数，当n∈N*时f（n）∈N*，若f ［f（n）］=3n则f（5）的值等于_____
分析：这个问题若盲目地想去计算的解析式，不知要走多少弯路，但根据运算的经验可知，满足f ［f（n）］=3n的函数解析式很难计算出，可能本题的函数不存在确定的解析式，而且本题的定义域值域都是正整数，提示本题可能是一个离散的数列问题，而且不存在确定的通项，可能应该从f（1）=1开始讨论。这个假设是一种简单直觉，在脑海中迅速闪现，指明解题方向。
略解：当f（1）=1时f ［f（n）］=3，即f（1）=3矛盾
当f（1）=2时f ［f（n）］=f（2）=3，ff（2）=f（3）=6，f ［f（n）］=f（6）=9，结合函数单调性可得f（4）=7，f（5）=8符合题意
当f（1）≥3时f ［f（n）］=f（3）=3矛盾。
综上f（5）=8
当学生做出了大胆的猜想之后，教师一方面要鼓励学生努力去证实自己猜想的正确性，指导学生朝正确的猜想去努力，引领学生思维的航向，以免使学生离解题目标越来越远，导致学生对自己的猜想丧失了信心，不利于学生直觉思维的发展。
三、渗透数学思想方法，培养直觉思维
渗透就是把某些抽象的高中数学思想逐渐融进具体的、实在的数学知识中，使学生对这些思想有初步的感知或直觉，但还没有从理性上认识它们。方法是解决思想、行为等问题的门路和程序，是思想的产物，是包含或体现着思想的一套程序，它既可操作又可仿效。要渗透的有集合思想、对应思想、公理化与结构思想、抽样统计思想、极限思想等。高中数学主要渗透四种思想：函数与方程思想，数形结合思想，分类讨论思想，转化与化归思想。尤其数形结合思想更能体现数学直觉思维培养的重要性，由数转化为形，抽象变直观，复杂变简单，更有效地解题。
例3.已知点M（3，5），在直线l：x-2y+2=0和y轴上分别找一点P和Q，使△MPQ的周长最小。
分析：结合图像，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称点M2，连结线段M1，M2，与l及y轴分别交于P，Q两点。由轴对称及平面几何知识可知，此时△MPQ周长最小。
略解：由M（3，5）及l可求M关于l对称点M1（5，1），M关于y轴对称点M2（-3，5），根据M1，M2可得直线M1M2∶x+2y-7=0。令x=0得Q（0，3.5）；解方程组x+2y-7=0x-2y+2=0得P（2.5，2.25）。点P，Q即为所求。
本题运用了数形结合的思想及转化的思想，把求周长最小值问题转化为图形问题，求P，Q两点坐标又运用了函数与方程思想。运用数学思想，使问题迎刃而解。在教学中教师应加强数学思想的渗透，学生就能很直观地找准数量关系，理解解题思路，得出正确答案，并在不知不觉中发展数学思想。
本题运用了转化的思想，把恒成立问题转化为求函数最值问题，运用数学思想，使问题迎刃而解。在教学中教师应加强像齐次式等一些数学思想的渗透，激发学生的直觉思维。
四、丰富数学知识组块，拓展直觉思维
高中数学直觉思维是对思维对象从整体上的考察，调动自己的全部知识经验，通过丰富的想象做出的敏锐而迅速的假设、猜想或判断，省去了分析推理的中间环节，采用“跳跃式”的形式。知识组块又称知识反应块，它们由数学中的定义、定理、公式、法则等组成，并集中地反映在一些基本问题、典型题型或方法模式中。
数学组块思维是数学直觉思维整体性的逻辑基础，学生在解决数学问题产生直觉时，经常感到有些思维加工的过程十分简略，许多细节没有被意识到，原因就在于主体的直觉思维是一种组块式的数学思维。在高中数学教学中应当重视基本问题的教学，使学生熟悉数学基本问题的解法和结论。教师经常对数学知识进行比较、归类、总结，形成完整的数学知识结构，善于把新问题转化为旧问题，将旧问题的结论运用于解决新问题，注意新旧问题的比较。在解决数学问题时要重视数学问题的定性分析，从总体和本质上对数学问题加以把握。
总之，高中数学解题的直觉思维能力的培养是一个长期的过程。教师必须在数学教学的每一个角落渗透对学生的直觉思维的培养，让学生有敏捷的思维、灵活的解题思路和很强的对以往知识结构综合利用能力。“授之以鱼，不如授之以渔”，解题方法的培养，有利于对学生的智力开发，加强逻辑思维训练。只有注重直觉思维能力的训练，才能培养出现代科技发展需要的开拓型人才。
（作者单位 江苏省苏州市相城区望亭中学）
