以形助数，以数辅形|助行器
时间：2019-02-11 03:16:24 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘 要： “数形结合”既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。教师在教学中经常引导学生创设“数形结合”的情境，不仅可以沟通数与形的内在联系，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机地结合起来，从而在这种结合中寻找到解题的思想与方法，而且有利于开拓学生的解题思路，发展学生的形象思维能力。
关键词： “数形结合” 函数图像 抽象 “以形助数” “以数辅形”
恩格斯指出：“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。”“数”与“形”是数学的基本研究对象，它们之间存在着对立统一的辩证关系。我们要认识两者的辩证关系，要认识到矛盾双方的相互转化。在解决数学问题时，将抽象的数学语言同直观的图形相结合，实现抽象的概念与具体形象的联系和转化，这就是“数形结合”。在高中数学中，“数形结合”是一条重要的数学原则，主要体现在平面解析几何和立体几何中。在解决集合问题、方程、不等式及函数问题时，如果能注意数形结合的应用，寻找解题思路，就能使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。华罗庚先生说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。”在数形转化结合的过程中，必须遵循下述原则：转化等价原则，数形互补原则，求解简单原则。在教学渗透“数形结合”时，教师应指导学生掌握以下几点：
1.善于观察图形，以揭示图形中蕴含的数量关系。
2.正确绘制图形，以反映图形中相应的数量关系。
3.切实把握“数”与“形”的对应关系，以图识性，以性识图。
下面从几个方面谈一谈“数形结合”在解题中的应用。
一、“数形结合”在解决集合问题中的应用
1.利用文氏图法解决抽象集合问题。
一般用圆来表示集合，两圆相交则表示两集合有公共元素，两圆相离则表示两个集合没有公共元素。利用文氏图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。如：
例1：开校运动会时，高一（五）班共有28名同学参加比赛，有15人参加游泳比赛，有8人参加田径比赛，有14人参加球类比赛，同时参加游泳和田径比赛的有3人，同时参加游泳和球类比赛的有3人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径和球类比赛的有多少人？只参加游泳一项比赛的有多少人？
解：设A={参加游泳比赛的学生}，B={参加田径比赛的学生}，C={参加球类比赛的学生}，同时参加田径和球类比赛的学生有x人，作出符合题意的文氏图：由题意可知：card(A∩B)=3，card(A∩C)=3，card(B∩C)=x，则15+8+14-3-3-x=28，得x=3。因此，同时参加田径和球类比赛的有3人，只参加游泳一项比赛的有15-3-3=9人。
2.利用数轴解决集合的有关运算和集合的关系问题。
例2：若非空集合A={x|2a+1≤x≤3a-5}，B={x|3≤x≤22}，求使A?哿B成立的a的集合。
先在数轴上表示出集合B的范围，要使A?哿B，由包含于的关系可知集合B应该覆盖集合A，因为A为非空集合，所以2a+1≤3a-5，a≥6。又∵A?哿B，如图所示：可知2a+1≥33a-5＜22，∴1≤a≤9。综上所得：6≤a≤9。
因此，运用“数形结合”解题，往往会化抽象为具体，化复杂为简单，将集合的交、并、补的关系直观、形象地显示而有利于运算。
二、利用“数形结合”解决方程和不等式问题
1.利用二次函数的图像求一元二次不等式的解集。
一元二次不等式与一元二次函数（方程）之间的紧密关系是众所周知的。抛物线y=ax +bx+c（a＞0）与x轴的相关位置分为三种情况，这可以由一元二次方程ax +bx+c=0的判别式Δ=b -4ac的三种取值情况来确定。因此，在解不等式时一定要注意最高项系数是否为正，要分两种情况讨论。
例3：求不等式-x +2x-3＞0的解集。
分析：我们先联想对应的二次函数y=-x +2x-3的图像草图，很明显，无论x取任何值时都有y＜0，即-x +2x-3＜0，∴-x +2x-3＞0的解集为空集，因而-x +2x-3＜0的解集为全体实数。
因此，我们要求一元二次不等式的解集时，只要联想对应的二次函数的图像，确定抛物线的开口方向和与轴的交点情况，便可直观地看出所求不等式的解集。
2.利用二次函数的图像解决一元二次方程根的分布情况问题。
例4：已知关于x的方程2kx -2x-3k-2=0的两实根一个小于1，另一个大于1，求实数k的取值范围。
分析：若直接利用求根公式解答此题，则要解复杂的无理不等式组。如果从函数观点出发，令f(x)=2kx -2x-3k-2，则由根的分布，函数f(x)的图像只能如图所示。对应的条件是k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0。
解：由以上分析可知，令f(x)=2kx -2x-3k-2。为使方程f(x)=0的两个根一个小于1，另一个大于1，只需使k＞0f(1)＜0或k＜0f(1)＞0，解得k＞0或k＜-4。
一般的，关于根的分布问题均可引入函数，由函数图像的特征构造解法，使问题得以巧妙解决。
通过以上几道例题的分析求解，可知二次函数有丰富的内涵和外延。作为最基本的幂函数，可以以它为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系，可以编拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，区分出学生运用数学知识和思想方法解决数学问题的能力。
3.利用函数图像解决方程的近似解或解的个数问题，即数形对照，相互渗透。
例5：解方程3 =2-x。
分析:由方程表达式我们可以联想起函数y=3 与y=2-x，作出这两个函数的图像，这两个函数图像交点的横坐标为方程的近似解，可以看出方程的近似解为x≈0.4。
4.利用函数的图像解不等式，即由数想形，直观显现。
例6：解不等式 ＞x+1。
解：设y= ，即y =2(x+ )(x≥- ，y≥0)，对应的曲线是以A(- ，0)为顶点，开口向右的抛物线的上半支。而函数y=x+1的图像是一直线。解方程可求出抛物线上半支与直线交点的横坐标为2，取抛物线位于直线上方的部分，故得原不等式的解集是{x|- ≤x＜2}。
“数形结合”能将抽象的问题直观化、形象化，能使问题灵活直观地获解，在数学学习中我们要注意把握善于运用这种数学思想。
三、利用函数图像比较函数值的大小
一些数值大小的比较，我们可转化为对应函数的函数值，利用它们图像的直观性进行比较。
例7：试判断0.3 ，log 0.3，2 三个数的大小顺序。
分析：这三个数可以看成三个函数y =x ，y =log x，y =2 在x=0.3时所对应的函数值。在同一坐标系内作出这三个函数的图像(如图)，从图像可以直观地看出当x=0.3时，所对应的三个点P ，P ，P 的位置，从而可得出结论：2 ＞0.3 ＞log 0.3。
四、利用方程的几何意义转化“数形结合”
例8：如果实数x、y满足（x-2） +y =3，则 的最大值为（）。
解：设点A（x，y）在圆(x-2) +y =3上，圆心为C(2，0)，半径等于 。如图，则 是点A与原点连线的斜率。当OA与⊙C相切，且切点A落在第一象限时，k 有最大值，即 有最大值。因为CA= ，OC=2，所以OA= =1，所以（ ） =tan∠AOC= 。
由此可知，“数”和“形”是数学学习的两个基本对象，对于一些问题，单纯地从“数”的角度去分析探求需要分类讨论，运算会较繁冗，因此应当设法从“形”的角度去构造直观图形来刻画问题的条件和结论，使错综复杂的关系变得清晰可辨，从而起到优化解题途径的目的。
“数形结合”是一个重要数学方法，是研究数学问题的一个基本方法，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述相结合，使代数问题、几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合。应用“数形结合”，就是充分考查数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合。深刻理解这一观点，有利于提高我们发现问题、分析问题和解决问题的能力。
参考文献：
［1］刘志联.构造几何模型巧解代数题.中学数学月刊，2003，1.
［2］薛金星.中学教材全解.陕西人民教育出版社.
［3］数理化解题研究（高中版）.2006年第09期目录.
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
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