微分中值定理例题 微分中值定理和泰勒公式的一些应用
时间：2019-01-27 03:26:20 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
【摘要】微分中值定理及泰勒中值定理,是人们研究函数性质,沟通函数及其导数开通的新的渠道,是微分学的理论基础。其相关证明问题在历届考研中出题率较高,为此本文通过综合应用给予了一些示例并对常用方法做出归纳。
【关键词】导数 中值定理
1.关于微分中值定理的应用。
1.1 利用拉格朗日中值定理证明恒等式或不等式。
例1.证明:
证:设,求导得,可以根据拉格朗日中值定理的推论知(常数)
令x=0得,可知C=,所以。
方法归纳:①证明等式时,将恒等式转化为,利用证明或设辅助函数,使;②若,则有恒等式其中是区间中的某一个数。
例2.对,,证明:
证:令,则在上满足拉格朗日中值定理的条件,故存在使成立,即有
方法归纳:当证明不等式时,关键是找到适当函数,然后对其在所给范围内应用中值定理,再将作适当的放大或缩小即可得证。
1.2 在函数满足在上的假定条件下,要证至少存在一点,使得(其中G表示与的某个已知表达式)成立。有以下类题型:
题型1:在要证明的原表达式基础上构造辅助函数F(x),要求F(x)满足罗尔或拉格朗日中值定理,然后从F(x)中分离出需证明的表达式或与其相近的式子。
例3.已知上的二阶可导函数,,证明:
(1)存在,且,,成立;
(2)存在,使成立。
证:(1)令,在上满足罗尔定理条件,故存在,使成立,即成立;同理在上可以证明存在,使得成立,且知是分离的。
(2)令,在上满足罗尔定理条件,故存在,使成立,即,整理得。
方法归纳:此题采用原函数法,其一般步骤为:①将欲证结论中的换为;②通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;③用观察法或积分法求出原函数,为便于积分常数取为零;④移项使等式一边为零,则另一边即为辅助函数。
例4.设,在上连续,在内可导。
证明:存在,使得 成立。
证:①令
整理得。
由此令,则在上满足罗尔定理条件,故存在,使得成立,即
故
证:②可令,则有在上满足拉格朗日中值定理,
即即为所要证明的表达式。
方法归纳:此题采用常数k值法,其一般步骤为:①另常数部分为K;②恒等变形,使等式一端为及构成的代数式,另一端为及构成的代数式;③分析关于端点的表达式是否为对称式或轮换对称式,若是只要把端点改成,相应的函数值改成,则换变量后的端点表达式就是所求的辅助函数。
题型2:当不易找到如一中的辅助函数,则引入新的函数,构成柯西条件。
例5.设函数在上连续,在内可导,其中,证明:存在,使。
证:由于
因此要证明的等式可以改写为①②
①
②
引入函数,且对和应用柯西中值定理知,存在使得①成立。引入函数,且对和应用柯西中值定理知,存在,使得②成立,从而证明了要证明的等式。
例6.设函数在上连续,在内可导,且。证明:存在,使得成立。
证:要证的等式可以改写为
①
②
对应用拉格朗日中值定理,存在使得①成立;对和应用柯西中值定理知存在,使得②成立,从而证明了要证的等式。
题型3:当在整个区间上不易找出此时,采纳区间连分法,并利用闭区间上连续函数的性质。
例7.设函数在上连续,在内可导,且,,求证:对任给的满足的正数存在互不相等的使得成立。
证:由正数满足知,于是由连续函数的介值定理知,存在,使得。
分别在和上应用拉格朗日中值定理知,存在和,使得
例8.设函数在上二阶可导,且,,求证:则至少存在一点使得成立。
证:首先分别在和上应用拉格朗日中值定理知,存在和,使得,。
于是由得:
由要证的等式作辅助函数,显然在上连续,因此,由连续函数的最大值定理知,存在,使得。如果能证明,则。
∵有,而,有同理,由得。由(如果,则和相矛盾),得知。
方法归纳:在解答一个综合证明时,其往往是多部分知识(不等式,证明方法,闭区间上函数性质等)的联合运用。因此,在复习此部分内容时有必要将有关部分熟悉。
2.泰勒中值定理的一些综合应用。
题型1:用泰勒公式作计算或证明
例9.若函数在有二阶导数,且,则存在,使得成立。
证:以分别带函数在处的泰勒公式得
例10.设函数在(其中)上有二阶导数,且对任意有,
证明:对任意,有。
证:为将的一阶导数与及其二阶导数联系起来,利用的一阶泰勒公式。
由假定知,对中的c和x相应的存在介于c与x之间的,使得
方法归纳:用泰勒公式作计算或证明此类问题应当注意两点:其一要展开到第几项,由题目条件而定;其二是用那种余项,若为极限多用佩亚诺余项,反之多用拉格朗日余项。
题型2:用泰勒展开式求极限,应当结合诺必达法则进行分析代换、求解,并且应当熟练掌握常用函数的迈克劳林公式。
例11.用带有佩亚诺型余项的迈克劳林公式,求极限。
解:由于分式的分母,我们只需将分母中的和分别用带有佩亚诺型余项的迈克劳林公式表示,即,,于是,对上式作运算时,把两个比高阶的无穷小的代数和仍记作,故。
例12.用泰勒公式求。
方法归纳:用泰勒公式求极限时应当根据题目的具体形式,把某些初等函数展成相对应阶数的泰勒形式,并结合等阶无穷小,诺必达法则进行分析、代换、求解。熟练的掌握常用的函数的迈克劳林公式会使其极限过程变得简单。
3.谈泰勒中值定理与微分中值定理的联系与区别。
联系:泰勒中值定理的一阶表达式即为拉格朗日中值定理,可以看出泰勒中值定理是更为广泛、更为普通的拉格朗日中值定理形式;不论是泰勒中值定理还是微分中值定理,都是微分学的理论基础,是研究函数性质的重要工具,是沟通函数及其导数的桥梁;其间的联系十分紧密。
差别:而泰勒中值定理使我们能利用高阶导数,较微分中值定理更深入地研究函数的性质与形态。因此,当给了函数或其导数及其高阶导数的某些条件而要求证明关于函数或其导数及高阶导数的一个比较复杂的中值关系时,往往需用泰勒中值定理。因泰勒公式的精度极高,在求解极限时常常得到巧用。同样在利用微分中值定理时,关于低阶导数的证明也显得简单。
参考文献
1 汪光先主编.高等数学习题课教程.苏州大学出版社,2005
2 陈启浩主编.高等数学精讲精练.北京师范大学出版社, 2007
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