用于小学算术应用题自动解答系统的解题策略的分解和表示|小学三年级上册数学应用题

　　【摘要】解题策略能表明应用题中的数量关系,策略分解和表示是小学算术应用题自动解题系统中十分关键的一步。共提炼197条解题策略,将其分为三个层次,且提出策略生长图表明其层次关系,选择框架知识表示方法表示策略,以构建解题策略知识库,供自动解题程序调用。
　　【关键词】小学算术应用题;自动解答系统;解题策略;分解;知识表示
　　【中图分类号】G420 【文献标识码】A 【论文编号】1009―8097(2010)04―0024―04
　　
　　一 前言
　　
　　小学算术应用题辅助学习系统[1-4]和以小学应用题为核心内容的相关科学研究系统[5]在教学和一些心理学测验[6]的应用情境中被国内外较多地使用,但这些系统都是内置好题目和答案的,不能实现应用题的自动求解,这使得这些系统中的题目数量和题型十分有限,从而严重影响了辅助学习和科学研究的效率和效果。故此,计算机自动解答应用题成为提升小学应用题辅助学习系统等相关系统智能化和能否广泛使用的关键。
　　如欲实现应用题的自动解答,存储应用题解题策略的知识库(或称策略库)必不可少。计算机将按照策略库中的策略来决定题目中某几个数量之间的运算关系。本文即研究和提取小学应用题解题策略、提出解题策略的分层和协调机制及策略的知识表示方法,以便使得解题策略可以合理地存储在知识库中,供解题算法调用,进而实现自动解题。
　　因此本研究在该自动解题系统中的重要性不言而喻,可以说是小学算术应用题自动解题系统能够解题的关键步骤之一。
　　
　　二 国内外应用题解题策略的研究现状
　　
　　1 国内应用题解题策略研究
　　我国学者多从解答应用题技巧方面来研究解题策略。例如,我国学者孙联荣等人[7]把问题解决的策略分为两大类:综合策略和一般策略。综合策略就是问题解决的整个过程中所使用的思考策略,而一般策略是指对发现和解决问题具有帮助作用的具体策略。他们把小学数学问题解决的一般策略分为以下几项:(1)尝试和检验;(2)画图;(3)实际操作;(4)找规律;(5)制表;(6)从简单的情况入手;(7)整理数据;(8)从相反的方向去思考;(9)列方程;(10)逻辑推理;(11)改变观点。
　　又如,我国学者李明振[8]在对解决数学问题心理过程研究并借鉴他人的研究基础上,将解决数学问题的基本策略归纳为如下七种:(1)整体策略;(2)模式识别策略;(3)转化策略;(4)媒介过渡策略;(5)辩证思维策略;(6)反面思考策略;(7)记忆策略。
　　但上述研究是通用的数学问题解决策略,本文所讲的解题策略是针对不同类型的应用题所具体使用的不同策略,如:时间*速度=距离。下面,程志博士的工作与之更为接近。
　　程志博士[9]对整数一、二步和分数基本应用题的每一条解题策略作了两部分工作。一部分是“策略是什么?”另一部分是“这条策略可能对应的字串是什么?”本研究在程志博士论文的基础上,总结了小学数学一至六年级的应用题(除图形题和表格题)可能用到的大多数策略,即解决了“小学数学一至六年级应用题可能用到的大多数策略是什么?”的问题。
　　2 国外应用题解题策略研究
　　美国心理学家Greeno和Cerpenter根据问题的语义结构将加减一步算术应用题分为变化题、合并题、比较题三种类型。他们所提出的加减一步算术应用题的分类被许多的研究者广泛采用,并作为研究儿童解决算术应用题过程所选择的算术应用题研究材料的依据[10]。这三种类型应用题的具体分类为改变类包含结果量未知、改变量未知和起始量未知三个子类,合并类包含总数未知和子集未知两个子类,及比较类包含差异量未知、被比较量未知和参照量未知三个子类。
　　Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser[11]将一步乘除法分为四类:n倍测度,组合策略,合成操作和公式乘法。
　　本研究中加减法策略主要采用了美国心理学家Greeno和Cerpenter对加减法的分类方法,在此基础上丰富了各类的内容。本研究乘除法策略也采用了Siegbert Schmidt 和 Werner Weiser提出的部分理论,将前三类列为乘除法的三类低层策略,而第四类公式乘法是由前三种延伸而来,因此将公式乘法作为前三类的子策略而存在,在此基础上,本研究丰富了每类策略的内容。
　　
　　三 研究过程和主要研究方法
　　
　　研究过程中,首先应用文献分析法确定策略分类的层次和类别,用有向图(称为策略生长图)逻辑地表示各层策略的结构。然后,人工解答题库中的5672道应用题(题库中包含1至6年级各年级各单元各种题型的题目,题目内容丰富、题目难度跨度大),用比较法、归纳法和聚类分析方法从中总结策略,将总结得出的策略一一植入到策略生长图中。之后,进行人工评价,应用调查法和访谈法收集评价人的意见并修改和完善策略。再选择应用题样本,应用策略进行人工解题检验,应用访谈法收集意见并再次修订后,最终确定小学算术应用题解题策略。之后选择合适的知识表示方法将分类知识和策略模板知识表示出来。
　　四 小学算术应用题解题策略分解和逻辑表示
　　1 小学算术应用题解题策略的分解
　　小学算术应用题解题策略分为三大类:基本策略、低层策略和高层策略。
　　基本策略包含加、减、乘、除和比例5种基本运算,小学算术应用题的所有策略都是由此5种运算而来,基本策略总数共15条。
　　低层策略是由基本策略组成且无法再分解的策略。它们包含的较大的类别有整数、小数四则应用题、分数、百分数应用题、比和比例应用题、几何形体应用题、其它特殊应用题。其中共包含总结出来的低层策略105条。限于篇幅,仅以“整数、小数四则应用题”类中的部分低层策略(全部为35条)为例布列如下:
　　
　　从计算机解题角度来说,基本策略和低层策略各个策略之间是平等的、互斥的,没有重叠和包含。即,两类策略中的每一条策略都是不可缺少的,不可被替代的,但其中的变量名称可以被其近义词替换,替换前后的两条策略视为同一条策略。
　　高层策略有两层含义。一种含义是高层策略是两个或多个低层策略组合而成的策略,是可再分的策略。目前所列出的高层策略主要是某些典型题型的解题策略,如相遇问题的解题策略、鸡兔同笼问题的解题策略等等。这些策略的父策略包括两个或多个低层策略。另一种含义是高层策略的语义比低层策略更丰富,越往高层,策略的语义越丰富。高层策略中的各个策略之间不一定是平等、互斥的关系,相互之间可以有父子关系。高层策略是可扩展的。目前总结的高层策略共77条,涉及到以下一些问题:余数、和倍、和差、差倍、分割、植树、平均、相遇、双程、追及、流水、浓度、盈亏、升降、相离运动、鸡兔同笼、火车过桥、环形相遇、纳税与利息、折扣与利润等。
　　2 小学算术应用题的逻辑表示及其意义
　　由于基本策略、低层策略和高层策略之间的继承和层次关系,可以将所有的策略放在一个策略生长图中。基本策略是低层策略的父策略,低层策略是高层策略的父策略,高层策略之间也有父子关系,这样的一张策略生长图如图1所示。图的最高层是具体的应用题题目。
　　策略生长图可以逻辑地、立体地表示各种简单和复杂策略间的关系,一个比较复杂的应用题题目可对应高层策略来解答,简单的应用题则对应低层策略或基本策略解答,包含多个运算的复合运算的题目由几个策略联合起来解答。
　　本文的解题策略是自动解题中需要的解题知识,存入解题策略知识库中,程序根据对题目的理解调用知识库中的知识,调用知识的过程中必然会遇到知识冲突的问题,即同一个题目可以对应超过1条知识来解答,这是由自然语言理解的深度来决定的,本文提出的分层的策略的逻辑表示将十分有利于知识的冲突消解。
　　
　　
　　五 小学算术应用题解题策略的检验
　　
　　1 小学算术应用题样本抽取
　　为了检验小学算术应用题解题策略的完备性、合理性、有效性、简洁度和是否存在冗余,从5672道小学算术应用题的题库中,利用分层取样和随机取样结合的方法,从1-6年级,每个年级随机抽取18道应用题,共108道应用题,组成待验样本。
　　2 样本检验结果
　　(1) 完备性。样本题目共108道,能够用以总结的策略库中的策略解答的题目有102道,不能够解答的题目有6道。因此样本的解题率为94.4%。
　　(2) 合理性。目前总结的策略库中的策略大部分较易被理解,分类比较合理,能够被检验者接受。
　　(3) 有效性。经过检验,大部分策略能够有效地解答应用题题目,但还需要总结大量的常识知识,来辅助计算机理解题目,并找到准确的策略。
　　(4) 简洁度。检验者认为绝大部分策略表达简洁明了,个别策略中的变量易产生歧义。因此,本研究给出了变量歧义说明,此不赘述。
　　(5) 冗余度:经过检验,某些题目,既可以用低层策略解答,也可以用高层策略解答。但这并非是策略冗余的表现。从计算机解题角度来说,这两条策略不可互相替代,因为他们分别与题库中两种不同问题相对应。对于高层策略来说,对应的题目范围相对较小,而低层策略对应题目的范围比较大。既然低层策略可以解题,那么高层策略存在的理由是高层策略语义更丰富,更容易与题目进行匹配关联,且高层策略与题型相关度比较大,便于以后对学生进行解题辅导。
　　总体来说,本研究的解题策略分解和表示能够比较准确全面地解答小学算术应用题。
　　
　　六 小学算术应用题解题策略的表示方法
　　
　　本文比较了常用的知识表示方法,最终根据策略知识的特点选择了框架知识表示法来表示解题策略及这些策略之间的逻辑关系。限于篇幅,仅举一例如下:
　　例1:基本策略中的SB1(加数+加数=和)的框架表示
　　框架名:
　　本策略:
　　编号:SB1
　　名称:加数+加数=和
　　描述:加法运算,求两数之和。
　　父策略:
　　编号:0
　　运算与变量:
　　运算符:+
　　变量数:3
　　变量1:
　　名称:加数
　　代码:P25
　　近义词:
　　实例:数词+“加”+数词(245加上235);
　　“比”+数词+“多”+数词(比67多129)
　　变量2:
　　名称:加数
　　代码:P25
　　近义词:
　　实例:数词+“加”+数词(245加上235);
　　“比”+数词+“多”+数词(比67多129)
　　变量3:
　　名称:和
　　代码:P26
　　近义词:
　　实例:“和”“是”+数词(和是多少?);
　　匹配字串:
　　字串1:……加上……是……?
　　字串2:……加上……,和是……?
　　字串3:比……多……的数是……?
　　字串4:……加上……,得……?
　　字串5:……,……的和是……?
　　例题:
　　例题1:675加上286是多少?
　　例题2:245加上121,和是多少?
　　例题3:比78060多3042的数是多少?
　　例题4:905加上235,得多少?
　　例题5:475,936的和是多少?
　　
　　七 总结
　　
　　本文对小学算术应用题自动解题中需要应用的解题策略进行了研究,对策略分类、分层时主要考虑并合理解决了以下问题:一、怎样提高总结的解题策略的可读性,以使后续工作可以以之为基础顺利进行;二、怎样利于后续的计算机自动解题和自动辅导时进行策略调用。三、小学算术应用题的所有解题策略应该运用一种什么方法将其紧紧联系起来,如何清楚地将各策略之间的关系表示出来,便于计算机存储和调用。
　　本研究主要的创新之处为:(1)国外研究内容主要是一步加减法和一步乘除法的策略整体上的分类。(2)程志博士主要对整数一、二步和分数一步应用题的每一条解题策略做了两部分工作。一部分是“策略是什么”,另一部分是“这条策略可能对应的字串是什么”。而本研究总结了小学数学一至六年级的应用题(包括一步、二步和多步应用题,除图形题和表格题)可能用到的大多数策略,即解决了“小学数学一至六年级应用题可能用到的大多数策略是什么”的问题。但本文并非仅仅是策略数量上的增加,而是定义了一套合理的策略分类、分层体系、并使各层策略协调、联动起来,制定了合理的策略属性,为计算机存储策略、调用策略从而正确解题提供了方便。(3)本研究将常识知识和解题策略分开总结。制定了区分常识知识和解题策略的原则。解题策略是指具有运算符号的等式,而不具有这个特点但又是解题不可缺少的知识是常识知识,经过总结、整理,存储为常识库。当策略库中的策略无法解决问题时,计算机程序就需要到常识库中查找相关常识,根据常识知识转化已知条件,形成新的已知条件,再从策略库中寻找解题策略。
　　后续工作是为每条策略总结匹配的字串,才能最终作为解题策略被计算机调用。目前本课题组正在基于数据挖掘理论和算法探索关键字串自动生成的方法。
　　
　　参考文献
　　[1] Wong.WK,Hsu, SC, Wu, SH, et al. LIM-G: Learner-initiating instruction model based on cognitive knowledge for geometry word problem comprehension[J]. Computers & Education.,2007, 48(4)::582-601.
　　[2]Chee-Kit Looi, Boon Tee Tan. WORDMATH:A Computer-Based Environment for Learning Word Problem Solving[A]. Proceeding of third CALISCE International Conference: Computer Aided Learning and Instruction in Science and Engineering[C]. San Sebastian, Spain, 1996,1108:78-86.
　　[3] Bethany Rittle-Johnson,Kenneth R. Koedinger.Designing Knowledge Scaffolds to Support Mathematical Problem Solving [A]. Proceeding of 24th Annual Meeting of the North American Chapter of the International-Group-for-the-Psychology-of-Mathematics- Education [C]. COGNITIONAND INSTRUCTION. 2005,23 (3): 313-349.
　　[4] Chang, KE, Sung. YT, Lin.SF. Computer-assisted learning for mathematical problem solving[J].Computers & Education. 2006,46(2): 140�151.
　　[5] Tsukasa Hirashima, Takuro Yokoyama, Masahiko Okamoto,et al. An Experimental Use of Learning Environment for Problem-Posing as Sentence-Integration in Arithmetical Word Problems[A]. Intelligent Tutoring System: the Proceedings of the 9th International Conference on Intelligent Tutoring Systems[C]. 2008:687-689
　　[6] Ahmad A, Salim SS, Zainuddin R. MINDA:A Cognitive Tool for Fraction Word Problem Solving[A]. International Symposium of Information Technology: the Proceedings of International Symposium on Information Technology[C]. 2008:1358-1365
　　[7] 孙联荣.小学数学问题解决策略的研究[J].上海教育科研,2000,(10):51-53.
　　[8] 李明振.数学问题解决策略及其训练研究[J].贵州师范大学学报(自然科学版),1998,(02):72-76.
　　[9] 程志.小学数学应用题自动解答系统的研究――以整数一、二步和分数基本应用题为例[D].北京:北京师范大学,2007.
　　[10] 刘广珠.儿童解决算术应用题认知加工过程及比较图式形成的实验研究[J].心理发展与教育,1996,(02):1-5.
　　[11] Siegbert Schmidt, Werner Weiser.Semantic Structures Of One-step Word Problems Involving Multiplication Or Division[J]. Educational Studies in Mathematics,1995, Vol. 28, No. 1:55-72.

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