【切线问题,关键是切点】导数的切线方程公式
时间：2019-01-06 03:20:38 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
切线问题是考查导数的几何意义及其应用的常见问题,解切线问题的关键是切点。下面我分析了几例试题以说明切线问题的一般求解策略,供大家教习时参考。 一、已知切点
例1.(2010苏、锡、常、镇高考三模)在平面直角坐标系xoy中,点P(0,1)在曲线C:y=x-x-ax+b(a、b为实数)上,已知曲线C在点P处的切线方程为y=2x+1,则a+b=?摇?摇?摇?摇。
分析:本题已知点P(0,1)为切点,根据导数的几何意义:曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率是f′(x),以及切点在曲线y=f(x)上,联立方程组,即可确定a、b的值,从而求出(a+b)的值。
解:∵f′(x)=3x-2x-a,P(0,1)为切点,
∴f′(0)=2f(0)=1,∴-a=2b=1,∴a+b=-1。
评注:对于已知切点的问题,要充分利用好切点的三个几何性质:①曲线y=f(x)在点P(x,f(x))处的切线的斜率是f′(x);②切点在曲线y=f(x)上;③切点在切线上。只要抓住这几点,切线问题就迎刃而解了。
二、已知切点的横坐标
例2.(2010高考北京卷18)已知函数f(x)=ln(1+x)-x+x(k≥0),求:
(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)略。
分析:本题虽然只给出切点的横坐标,但当k=2时,f(x)的解析式已知,从而可以求出切点坐标,再根据导数的几何意义求出该点处的切线的斜率,最后由点斜式写出直线方程。
解:当k=2时,f(x)=ln(1+x)-x+x,代入x=1,得切点坐标为(1,ln2)。又∵f′(x)=-1+2x,∴所求切线的斜率k=f′(1)=,∴所求切线方程为y-ln2=(x-1),即3x-2y-3+2ln2=0。
评注:对于已知切点的横坐标问题,往往根据切点既在曲线y=f(x)上又在切线上这个性质确定切点的坐标,这样就化归为例1的问题了。
三、未知切点,设而求出
例3.(2010南京高考三模)设直线y=-3x+b是曲线y=x-3x的一条切线,则实数b的值是?摇?摇?摇?摇。
分析:本题没有给出切点坐标,但切点仍是解决本题的关键,故需设出切点坐标,用待定系数法求出切点坐标,然后然后代入切线方程即可求出b值。
解:设切点坐标为(x,x-3x),∵y′=3x-6x,∴3x-6x=-3,解得x=1,∴切点坐标为(1,-2),代入方程y=-3x+b,得b=1。
评注:求切点坐标时,往往采用待定系数法,设切点时,也要注意技巧,可以利用切点既在已知曲线上又在切线上的性质,用一个参数设坐标,这样可以减少方程(组)中元的个数,从而更快地求出切点坐标。
四、未知切点,设而不求
例4.(2008高考湖北卷)已知定义在正实数集上的函数f(x)=x+2ax,g(x)=3alnx+b,其中a>0。若两曲线有公共点,且在该点处的切线相同,试用a表示b。
分析:设公共点坐标为(x,y),抓住公共点处的切线相同,利用切点的三个几何性质构造关于x、y的方程,再消去x、y,进而求出a、b的关系。
解:设两曲线的公共点为(x,y),由题意知两曲线在(x,y)处的切线相同。∵f′(x)=x+2a,g′(x)=,
∴f(x)=g(x),f′(x)=g′(x)
∴x+2ax=3alnx+bx+2a=,
由x+2a=得x=a或x=-3a(舍去)。
将x=a代入方程x+2ax=3alnx+b,
可得b=a+2a-3alna=a-3alna。
评注:在两曲线公共点处的公切线,表明了该点的多重身份,它同在两曲线上,两函数在该点处的函数值和导数值均相等,这是处理公切线问题的关键。
通过上述几个例题我们不难体会到,切点在求解切线问题中的重要作用。抓住切点,熟练运用切点的三个几何性质,是解决切线问题关键。
五、有兴趣的读者可以尝试下面问题
1.(2010高考江苏卷)函数y=x(x>0)的图像在点(a,a)处的切线与x轴交点的横坐标为a,k为正整数,a=16,则a+a+a=?摇?摇?摇?摇。
2.(2009高考江苏卷)在平面直角坐标系xoy中,点P在曲线C:y=x-10x+3上,且在第二象限内,已知曲线C在点P处的切线的斜率为2,则点P的坐标为?摇?摇?摇?摇。
3.(2008高考江苏卷)直线y=x+b是曲线y=lnx(x>0)的一条切线,则实数b=?摇?摇?摇?摇。
【答案】
1.解析:因为y′=2x,所以在点(a,a)处的切线斜率为2a,所以在点(a,a)处的切线方程为y-a=2a(x-a)。
当y=0时,解得x=,所以a=,a+a+a=16+4+1=21。
2.解析:设P(x,x-10x+3),因为y′=3x-10,所以3x-10=2,解得x=±2。又点P在第二象限内,所以x=-2,所以点P的坐标为(-2,15)。
3.解析:设P(x,lnx),因为y′=,由=得x=2,故切点为(2,ln2),代入直线方程得ln2=×2+b,所以b=ln2-1。
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