2009年高考试卷(理数)中一道试题的新解法|高考试卷三文数
时间：2019-01-03 03:34:58 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
在2009年全国普通高等学校招生统一考试全国卷Ⅱ理工类试题中,有一道立体几何题,我认为:除了标准答案中提供的两种解法外,还有一种通俗易懂,学生易于接受的解法。 现摘录此高考题如下:如图,直三棱柱ABC-ABC中,AB⊥AC,D、E分别为AA1、B1C的中点,DE⊥平面BCC。
(Ⅰ)证明:AB=AC。
(Ⅱ)设二面角A-BD-C为60°,求BC与平面BCD所成的角的大小。
证明:(Ⅰ)如下图:取BC的中点F,连接AF,EF。
∵E是BC的中点,F是BC的中点,
∴EF∥BB,且EF=BB。
∵BB∥AA,且AA⊥底面ABC,D是AA的中点。
∴EF∥DA,EF=DA,
∴四边形DAFE是矩形,
∴AF∥DE。
∵DE⊥平面BCC,
∴AF⊥平面BCC。
∵BC?奂平面BCC,
∴AF⊥BC。
∵F是BC的中点,
∴AB=AC。
(Ⅱ)∵D是AA的中点,由(Ⅰ)知AB=AC,DA⊥AB,DA⊥AC,
∴BD=DC。
设DA=m,AB=x,
则AC=x,AB⊥AC,
∴BC=x。
由(Ⅰ)知AF⊥BC。
∴由等面积法求得AF=x。
在Rt△ABD中,BD=,
∴DC=。
在△BCD中,F是BC的中点,BC=x,
∴CF=x,
∴DF==。
∵二面角A―BD―C的大小为60°,
∴cos60°==(射影面积法),
解得x=m,即DA=m。
在Rt△ABC中,AB=AC=m,
∴AF=m,
∴矩形DEFA是正方形。
连接DF、EA,相交于O点。
则OE⊥DF。
由(Ⅰ)知AF⊥BC,
∵EF⊥BC,
∴BC⊥平面EFAD。
又EO?奂平面EFAD,
∴EO⊥BC。
又EO⊥DF,
∵BC∩DF=F,
∴EO⊥平面BCD。
连接CO,则∠ECO就是BC与平面BCD所成的角。
在Rt△EOC中,EO=EA=m,CE=BC=m,
∴sin∠EOC==,
∴∠ECO=30°
即BC与平面BCD所成的角为30°。
我认为:找二面角的平面角对学生来说是难点,上解无疑降低了本题的难度,同时也体现射影面积法在求二面角时的优越性。
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