分式函数求值域判别式_什么情况下不能直接用判别式法求分式函数的值域
时间：2019-01-03 03:23:15 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
求函数的值域是高考数学的基本要求之一,出现的频率高。用判别式法求函数的值域是常见常用的方法。但并不是所有出现二次函数的形式的函数都能用判别式法,有些函数求值域是不能用判别式法的。什么情况下能直接用,什么情况下不能直接用呢?我认为一般情况下当分式函数的定义域为一切实数时,可以直接用判别式法。将问题转化为关于以x为未知数(y看作系数)的一元二次方程有实数解得问题。比如:求函数y=的值域是?摇?摇 ?摇?摇?摇。因为函数的定义域为一切实数R,即x有实数解,原等式可化为:
y(x-x+1)=2x-2x+3?圯(y-2)x-(y-2)x+y-3=0,由Δ≥0,y≠2?圯y∈(2,]。
但是,对于定义域不是一切实数R的分式函数,就不能直接用判别式法,如果要用判别式法,容易出差错。比如:求函数y=的值域。
略解:由x+x-6≠0得x≠2,x≠-3。
∴函数的定义域为{x|x∈R,x≠2,x≠-3},
由原函数变形得:(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0。
关于x的方程(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0有实数根且至少有一根不为2且不为-3。
(1)当y=1时,代入方程求得x=-3,而x≠-3,因此y≠1。
(2)当y≠1时关于x的方程(y-1)x+(y-4)x-6y-3=0为一元二次方程,可以验证x=-3为该方程的根,x=2不是该方程的根,因此只有两个根都为-3时不满足题意,其余都符合题意,因此只需△≠0,即可得出即可得出y≠,由上可知:原函数的值域为{y|y≠1,y≠}。
显然,这样的解法很麻烦,学生不易理解,且容易出错。因此,我建议对定义域不是实数R的分式函数求值域问题,不用判别式法,可以用下述的办法来解决,既直观形象又不容易出错。
1.借助反比例函数求分式函数的值域
【例题1】求函数y=的值域。
解析:借助反比例函数的图像研究分式函数的值域。
y====1+,x≠-3且x≠2。因为≠0,从而得知y≠1,再把x=-3代入,得知y≠。故原函数的值域为{y|y≠1,y≠}。
这样的解法把问题转化为初中阶段已学过的熟悉的反比例函数,学生易于接受。
也可以结合反比例函数的图像,这样更直观。
【例题2】求函数y=的值域。
y==
===-≠。
根据图像y=-,且x≠-1,(图略)。
所以y∈(-∞,)∪(,4)∪(4,+∞)。
拓展训练:
①y=,x∈(-,+∞);答案:y∈(-∞,)。
②y=,x∈(-,1]。答案:y∈(-∞,-)。
2.利用基本不等式求分式函数的值域
【例题3】求函数y=,x∈(3,+∞)的值域。
解析:不能根据Δ≥0,因为定义域不是任意实数。
y==2[(x-3)++6]≥22+6=24,当且仅当x-3=?圯x=6时,等号成立。或令t=x-3,根据分式(双钩)函数的图像,考虑到t>0。
3.利用换元法求分式函数的值域
【例题4】求函数f(x)=,x∈[2,5]的值域。
解析:不能根据Δ≥0,因为定义域不是任意实数。
令t=x-1,则x=t+1,t∈[1,4]
g(t)=t+-2
y∈[2-2,9]。
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