[巧妙放置圆周角]巧妙放置机顶盒

时间：2018-12-27 03:36:09　来源：雅意学习网本文已影响人

　　圆周角是把圆的有关曲线问题转化为直线问题的的中间桥梁，是数学化归思想解决曲线问题的体现。灵活运用圆周角的性质可以使许多问题变得简单直观。　　定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于所对的圆心角的一半。
　　如图1，C是优弧上一点，随着C点在优弧的移动到与A、B不重合的任意位置，∠C的大小是一个定值（等于的度数的一半）。我们可以根据问题需要，利用圆周角这一变化中的不变性，巧妙放置∠C的位置，从而拓宽解题的思路。
　　
　　一、放置在一般三角形中
　　
　　例1：如图2：“世界杯”赛场上李铁、邵佳一、郝海东三名队员互相配合向对方球门进攻，当李带球冲到如图C点时，邵、郝也分别跟随冲到图中的D点、E点，从射门的角度大小考虑，李应把球传给谁好？请你从数学角度帮忙合情说理，分析说明。
　　分析：如图2问题的实质是比较∠C、∠D、∠E的大小问题；将C点看成动点，设AD交⊙O于F，连接BF，延长AE交⊙O于G，连接BG。
　　由∠C大小的在优弧上运动的不变性，当C点运动到F点时，将∠C与∠D的大小比较转化为∠AFB与∠D的大小比较，显然∠C＞∠D；当C点运动到G点位置时，又将∠AEB与∠C的大小比较转化为∠AEB与∠G的大小比较，易得∠AEB＞∠C。从而∠AEB＞∠C＞∠D，即：李应该把球传给冲到E点的郝海东更好。
　　说明：本题解法中并没有直接去比较∠C与∠AEB、∠D的大小，而是根据∠C的运动不变性，巧妙地将它“放置”在了△DBF和△BEG中解决的。
　　
　　二、放置在直角三角形中
　　
　　例2：已知如图3，△ABC内接于半径为R的⊙O中，∠A的对边BC=a。
　　（1）求证： =2R。
　　（2）若R=2，BC=2 ，A是圆弧上的一动点（与B、C不重合），求S 的最大值。
　　分析：要证明（1）结论，需把BC和∠A放在直角三角形中；对于（2），因为△ABC的一边BC是定值，所以只需BC边上的高最大时（即：A运动到BC的垂直平分线上时），S 最大。
　　解：（1）如图3，连接BO并延长交圆于A′，连接BA′得Rt△A′BC，即：把∠A放在了∠A′的位置。
　　在Rt△A′BC中，sinA′= = 变形得 =2R。又因为∠A和∠A′都是所对的圆周角，所以∠A=∠A′；所以 =2R。
　　（2）如图3，过O作OG⊥BC于G，延长GO交⊙O于A″；连接A″B、A″C；即A运动到A″时，S 的值最大值。
　　∵OG⊥BC，∴BG= ；在Rt△BOG中可得OG=1，∴AG=OG+OA=3，∴S = ×BC×A″G= ×2 ×3=3
　　即：S 的最大值为3 。
　　
　　三、放置在相似三角形中
　　
　　例3：已知如图4，⊙O中，弦AB=AC=4，弦AD=9，AD与BC交于E。求AE的长。
　　分析：构造含有AD、AE的相似三角形，连接CD，可得∠B=∠D，即把∠B放在圆上D点的位置，可得△ACE∽△ADC，从而可得AC =AE•AD，即：4 =AE×9，所以AE= 。
　　
　　四、转化为圆心角
　　
　　例4：P是⊙O直径AB延长线上一点，过P作直线交⊙O于C、D两点，作弦DF⊥AB，垂足为H，CF交AB于点E。
　　（1）若H点在OA上，如图5，求证：PD•PC=PO•PE。
　　（2）若垂足H在OB上，如图6，（1）中的结论PD•PC=PO•PE还成立吗？
　　（3）在图5中，若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长。
　　分析：（1）如图5，要证结论，需证△POD∽△PCE：∠P是公共角，由于圆周角∠FCD= ∠FOD，由垂径定理可得∠DOA= ∠FOD，∴∠FCD=∠DOA，∴∠PCE=∠POD，∴△POD∽△PCE，∴ = ，∴PD•PC=PO•PE。
　　（2）如图5，连接DO，由（1）中分析可得∠DCF=∠DOA，∴∠PCE=∠POD，又∵∠P是公共角，∴△POD∽△PCE，可知结论成立。
　　（3）如图6，∵∠CEP=∠AEF=45°，∠P=15°，∴∠DCF=∠DOA=60°；在Rt△DOH中，可得OH=1，DH= ，∴DF=2 。∵△DEF是等腰直角三角形，∴DE=FE= 。又∵在Rt△DEC中，∠DCF=60°，∴EC= ，∴FC= + 。
　　
　　五、转化为弧的度数
　　
　　例5：已知如图7，PAB、PCD是⊙Ｏ的两条割线，分别交⊙Ｏ于点A、B和点C、D。且 = = ；若∠P=40°，求α和β的度数。
　　分析：要求α、β的度数，只需建立圆周角α与β的两个方程，由已知条件可将α、β的度数转化为所对弧的度数，根据整个圆周的度数是360°可得到一个方程，再根据α是△PCB的外角可得另一方程。
　　解：∵ 的度数= 的度数= 的度数=2α；的度数=2β，∴2α+2α+2α+2β=360°（1），α=β+40°（2），解得α=55°，β=15°。
　　总之，在解决圆的许多问题时，都会牵涉到圆周角定理，只要我们巧妙地放置好圆周角的位置，问题往往就变得更简单，易解决。
　　
　　注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
　　
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