导数的切线方程公式_例谈曲线的切线方程的类型与解法
时间：2018-12-27 03:32:06 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
摘要： 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，在近几年的全国高考试题中常有出现，但学生在解这类问题时经常出现偏差或错误，究其原因，主要是对曲线的切线的定义，导数的几何意义等关键知识理解不透，对求曲线的切线方程的关键点把握不准。求曲线的切线方程的关键在于确定切点，只要切点确定，就可求出切线的斜率，从而求出切线方程。
关键词： 曲线 切线方程 关键 类型
曲线的切线方程是导数的重要应用之一，在近几年的全国高考试题中常有出现。在教学过程中，我发现学生在解这类问题时经常出现偏差或错误，究其原因，主要是对曲线的切线的定义、导数的几何意义等关键知识理解不透，对求曲线的切线方程的关键点把握不准。
什么叫曲线的切线？如图：当点P 趋近点P时，割线PP 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线PT叫做曲线y=f（x）在点P处的切线，点P叫切点。特别要注意的是，曲线y=f（x）的切线不一定与曲线y=f（x）只有一个公共点，可能有多个公共点；切点一定是曲线与切线的公共点，但曲线与切线的公共点不一定是切点。
由导数的几何意义可知，对可导函数y=f（x）而言，曲线y=f（x）在点P（x ，f（x ））处的切线的斜率等于函数y=f（x）在x=x 处的导数f′（x ）。
所以，求曲线的切线方程的关键在于确定切点，只要切点确定，就可求出切线的斜率，从而求出切线方程。如何确定切点？要具体问题具体分析。求曲线的切线方程的基本流程是：1.确定切点的坐标；2.确定切线的斜率；3.借助直线方程的“点斜式”求切线方程。求曲线的切线方程问题大致可分为以下几种类型。
一、曲线、切点均确定型
例1.求曲线f（x）= 在点P（π，0）处的切线方程。
分析：题中给出“在点P（π，0）处”是指明切点的明显标记。
解：∵f′（x）= ′=
∴曲线f（x）= 在点P（π，0）处的切线的斜率为
f′（π）= =-
则所求的切线方程为y-0=- （x-π），即x+πy-π=0。
变式：设曲线f（x）=1-e 与x轴相交于点M，求该曲线在点M处的切线方程。
分析：切点确定，但不具体，先求切点M的坐标，然后仿例1求解即可。
点评：曲线、切点均确定型，只需按求导数→求斜率→代入点斜式方程的顺序就可求得切线方程。但当切点是曲线与坐标轴、直线或其它曲线的交点时，则应先求出切点。
二、切点确定，曲线未定型
例2.求曲线f（x）=ax-x 在点（1，3）处的切线方程。
分析：显然点（1，3）是切点，切点一定是曲线与切线的公共点。
解：由点（1，3）在曲线f（x）=ax-x 上得3=a-1，即a=4，
则f（x）=4x-x ，f′（x）=（4x-x ）′=4-3x 。
曲线f（x）=4x-x 在点（1，3）处的切线的斜率为f′（1）=4-3=1，
则所求的切线方程为y-3=x-1，即x-y+2=0。
变式：若函数f（x）=ax +bx +cx在x=1时取得极0，求函数f（x）在点（2，2）处的切线方程。
分析：由函数f（x）在x=1时取得极0与点（2，2）为切点，得方程组f（1）=0f′（1）=0f（2）=0，先确定函数f（x）的表达式，然后仿例1求解即可。
点评：切点确定，曲线未定型，关键抓住“切点一定是曲线与切线的公共点”或其它的条件先求出曲线方程，从而归结为类型一。
三、曲线确定，切点未定型
例3.求斜率为4且与曲线f（x）=x +2x-1相切的直线方程。
分析：题中没有给出切点，但给出了切线的斜率，可设切点，再求切点。
解：设切点为M（x ，f（x ））
∵f′（x）=（x +2x-1）′=2x+2，由4=f′（x ）=2x +2得x =1，则f（x ）=1+2-1=2，即M（1，2），
∴所求的切线方程为y-2=4（x-1），即4x-y-2=0。
例4.求过点M（1，0）且与曲线f（x）=x 相切的直线方程。
分析：题中给出了点，但该点不是切点（点不在曲线上），可设切点。
解：已知点M（1，0）不在曲线f（x）=x 上，即点M（1，0）不是切点。
设切点为N（x ，x），显然x ≠1，则所求切线的斜率为 。
又∵f′（x）=（x ）′=2x，由f′（x ）=2x = ，得x =0或x =2，
则所求切线的斜率为f′（0）=0或f′（2）=4，
∴所求的切线方程为y-0=0（x-1）或y-0=4（x-1），
即y=0或4x-y-4=0。
例5.求过点A（1，2）且与曲线f（x）=x+x 相切的直线方程。
分析：题中给出了点，该点也在曲线上，要分是切点、不是切点进行讨论。
解：已点A（1，2）在曲线f（x）=x+x 上，
（1）当点A（1，2）是切点时
∵f′（x）=（x+x ）′=1+3x ，则所求切线的斜率为f′（1）=4，
所求的切线方程为y-2=4（x-1），即4x-y-2=0。
（2）当点A（1，2）不是切点时，设切点为B（x ，x +x），显然x ≠1，则所求切线的斜率为 。
∵f′（x）=（x+x ）′=1+3x ，
由f′（x ）=1+3x= ，得x =- ，
则所求切线的斜率为f′（- ）=1+3×（- ） = ，
所求的切线方程为y-2= （x-1），即7x-4y+1=0。
点评：从例3、例4、例5可以看到“曲线确定，切点未定型”所涉及的情况稍显复杂，但总结成下面的结构图则可一目了然了。
这种类型一般的做法是：设切点为（x ，f（x ）），由切线的斜率等于函数f（x）在x=x 的导数f′（x ）先求出x ，从而求出切点（如例3）或切线的斜率（如例4、例5），最后求得切线方程。尤其要注意的是，若题目给出了切线经过的点A，则要先讨论点A是否在曲线上，若在曲线上，还要就点A是否是切点进行讨论。
参考文献：
［1］木玉.有关曲线的切线方程的几点注意［N］.数学教学通讯（教师阅读），2006，（11）.
注：“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文。”
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