二维蜂窝状光子晶体能带的数学模型与仿真研究
时间：2023-06-29 19:00:03 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
杨 之
（北京邮电大学，北京 100876）
光子晶体是由宏观光学介质代替微观粒子按一定规律周期性排列的人工微观结构，其周期阵列限制了电磁波在光子晶体中的传播，对特定波长的光子具有阻挡作用，从而形成了光子带隙[1]。根据应用需要设计光子晶体的结构，由于光子带隙的存在可以禁止光在一定频率范围内的传播，使得光子晶体有着广泛的应用，其应用包括窄带滤波器、分复用器等[2-5]。获得宽的光子晶体带隙是设计高性能光子晶体器件的基础[6]，所以如何设计光子晶体结构来获得更宽的带隙一直是光子晶体领域的研究重点。
已有研究结果表明，二维蜂窝状光子晶体具有较大的带隙[7]，且带隙大小和介质柱的半径大小与介电常数密切相关[8-9]。改变光子晶体的晶格结构、降低结构对称性和引入新材料等措施都可以增大光子晶体的带隙，但是由于直接进行实验来设计新型光子晶体结构的成本巨大，现在一般先采用数值模拟方法进行结构设计，以期获得结构设计的指导。目前，数值模拟二维光子晶体带隙的常用方法有平面波展开法[10-11]、时域有限差分法[2，12]和有限元方法[13]，其中有限元方法因其计算效率较高，常用于三角晶格光子晶体和正方晶格光子晶体的数值模拟，但目前在蜂窝状光子晶体领域研究较少。
本文采用有限元法研究二维蜂窝状光子晶体的能带结构，以往在对蜂窝晶格光子晶体进行建模时通常选择正六边形结构作为单元晶格，本文在数值模拟过程中直接采用了易于操作的三角晶格胞元，使建模仿真和边界处理更加容易。并利用COMSOL 软件计算了二维蜂窝状光子晶体的能带结构，通过对比文献[14]的结果，验证了方法的正确性和有效性。进一步，本文采用数值模拟的方法探究了二维蜂窝状光子晶体的参数与带隙的关系，并通过在蜂窝状光子晶体中应用新型材料构造了宽带隙的新型二维蜂窝状光子晶体结构。
在本节中，将介绍二维蜂窝状光子晶体能带求解的数学模型。考虑由周期介电圆柱组成的二维蜂窝状光子晶体阵列，如图1（a）所示，a0为晶格常数，即相邻2 个正六边形中心的距离，a1和a2是长度a0的向量。放大的单个六角蜂窝晶格如图1（b）所示，其中R 为六边形的边长，d 为圆柱体的直径，εa和εb分别是周围背景和介电圆柱的介电常数。本文采用三角晶格胞元进行数值计算，光子晶体等效至xoy 平面后选取的三角形晶格胞元，如图1（c）所示，其边长为a0。
图1 蜂窝状光子晶体示意图
图2 三角晶格第一布里渊区
下面根据图1（c）所示的三角单元晶格，推导光子晶体特征值问题。在经典电磁理论中，电磁现象可由Maxwell 方程组（1）描述。在光子晶体中，研究的对象是电磁波，其在光子晶体中传播时满足Maxwell 方程组
式中：E 是电场强度；
H 是磁场强度。对于二维光子晶体，直接对Maxwell 方程进行求解比较困难，由于电磁波可分解为简谐波，即有E（r，t）=E（r）e-iωt，H（r，t）=H（r）e-iωt，这里ω 是频率。代入式（1）可得到与时间变量无关的Helmholtz 方程，即电场方程（2）和磁场方程（3）
考虑二维光子晶体带隙问题时，可简化为TM 和TE 两种偏振情形。在TM 模式下，有E（r）=（0，0，ER（））；
在TE 模式下，有H（r）=（0，0，HR（））。这里是二维坐标（x，y）。代入式（2）和（3），分别可以得到TM 模的电场波动方程（4）和TE 模的磁场波动方程（5）
由于二维光子晶体的周期性，满足Bloch 定理，可将上述波动方程化至单位原胞上再进行数值实验。在二维情况下，记，k=（a，b）表示的是二维平面空间内的波矢矢量，其取值范围为不可约布里渊区B。首先考虑TM 模
Ω 是求解的二维集合区域，在单位原胞边界∏=∂Ω上，满足边界条件
式中：Γ1和Γ3是单位原胞的一组对边；
Γ2和Γ4是单位原胞的另一组对边。求解区域如图1（c）三角单元晶格所示。
求解TE 模的过程类似，为方便讨论变分过程，可将2 种模式统一记成如下特征值形式，给定矢量k，求λ 和uR使得
uR表示待求场量即特征向量。只要矢量k 遍历第一不可约布里渊区域的边界，就能够绘制出能带结构图。
下面针对式（8），给出其有限元变分过程和离散过程。首先，定义Sobolev 空间
对于固定的波矢k，当求解区域是线性三角元时，u、v在单元e 内的近似ue、ve，取线性三角元的基函数和的线性组合，这里所说的基函数是关于（x，y）的势函数，不妨取试探函数ve为单元基函数，则有
这里x 取值{i，j，k}，而ui，uj，uk是待定常数。
根据SRSS评分,拟定疗效评定标准,分为显效、有效、无效3个指标:(1)显效:治疗后,SRSS评分降低>50%。(2)有效:治疗后,SRSS评分降低25%-50%。(3)无效:治疗后,SRSS评分降低<25%[3]。
由此得到单元刚度矩阵，然后根据线性三角元局部编号和整体编号关系，生成总刚度矩阵A 和B，得到变分问题对应的离散特征值问题：
在求解广义特征值问题时，还需要考虑周期边界条件（7），从而得到最终的待求解广义特征值问题
对于形如（14）的广义特征值问题，在二维蜂窝状光子晶体带隙模型中，矩阵A 和B 常具有正定性，则有Cholesky 三角分解
则对式（14）两侧的左侧乘L-1，并在右侧整理提出因子LT得
式（16）可以看成以λ 为特征值，LT为特征向量的特征值问题，并且式（16）和（14）具有相同的特征值，系数矩阵仍满足正定性，这样就将广义特征值问题（14）转化为特征值问题（16），可利用直接法或迭代法进行求解特征值问题（16）。
2.1 算例1：二维蜂窝状光子晶体仿真
本节考虑图1 所示的二维蜂窝状光子晶体，周围背景的介电常数是εa=1，圆柱体的介电常数是εb=11.7，六边形的长度为R，圆柱体截面圆形的直径为d且d=2/3R。选择三角单元晶格模拟得到的能带图如图3 所示，在其他参数不变的情况下，仅改变晶格参数的大小，此时三角晶格中圆形的大小和位置会发生改变。对不同参数取值下的能带结构进行仿真，结果如图3所示，当a0/R=3.125 时，带隙归一化频率在0.48～0.51之间；
当a0/R=3 时，带隙完全消失；
当a0/R=2.8 时，带隙归一化频率在0.44～0.48 之间。3 种情况下的计算结果均和文献[14]中的仿真结果一致，并且仿真所用时间比采用常见三角晶格进行仿真时间更短、效率更高。
图3 二维蜂窝状光子晶体的TM 模式的能带图
图4 TM 模式下改变晶格参数的Gap map 变化
2.2 算例2：二维新结构蜂窝状光子晶体仿真
下面，研究当改变2.1 节中晶格结构时光子晶体的能带结构。在每个六角蜂窝晶格的中心加入材质为Si（介电常数为17.64），半径r 同样为d/2 的介电圆柱，周围背景为空气介电常数εa=1，周围的圆柱介电常数仍为εb=11.7，每个晶格中中心圆柱的介电常数为εc=17.64，其余参数不变，对这种新结构进行仿真。新结构蜂窝状光子晶体示意图如图5 所示。
图5 新结构蜂窝状光子晶体示意图
取晶格参数a0/R=3 时为例，由2.1 节可知图1 所示的蜂窝状光子晶体在此晶格参数条件下并无任何带隙产生，而新结构的能带结构如图6 所示，此时会产生1 条新的带隙，与2.1 节中结构相比新结构光子晶体产生的带隙位置向低频方向移动。此时产生的带隙归一化频率范围为[0.264 954 9，0.279 614 2]，宽度为0.014 659 2。
图6 新结构蜂窝状光子晶体得到的能带图
为探究新结构的带隙随参数的变化情况，类似2.1节中保持其他参数不变仅改变晶格参数a0/R，a0/R 的取值从2.7～7.7，得到新结构TM 模式下蜂窝状光子晶体的带隙变化图，如图7 所示。由图7 可知，当晶格参数a0/R=5.6 时可产生最宽带隙，此时有3 条带隙，宽度分别为0.037 548，0.002 096 和0.134 911。
图7 改变晶格参数a0/R 得到的Gap map
为进一步探究蜂窝状光子晶体带隙的产生和变化情况，改变蜂窝晶格中心处介质圆柱的截面半径r，得到带隙变化如图8 所示，当r 取0.75d 时可获得最宽的带隙，此时有4 条带隙存在。
图8 改变中心圆柱截面半径r 得到的Gap map
2.3 算例3：二维蜂窝状复合胶体光子晶体仿真
当前的光子晶体能带研究主要是针对人为可控的物理参数的对比研究，但是对于不同尺寸粒子混合形成的胶体光子晶体的光子带隙则少有研究。胶体光子晶体是一类利用交替纳米颗粒通过自组装而成的周期有序结构的材料，可以保留2 种材料的光学特性，具有制备简单、易于实现功能化和成本低廉等优势，可应用于传感器、防伪图案和显示器件等领域。这种光子晶体由于其独特的结构特征及光学特性的广泛应用，近年来已成为光子晶体领域的研究热点。
采用这种新型材料，由大粒径聚苯乙烯（PS）和小粒径二氧化硅（SiO2）组成二维复合胶体光子晶体，其结构如图9 所示，背景介质为空气εa=1；
在此种结构中大的微球（PS）介电常数为2.53，半径为d/2；
小的微球（SiO2）介电常数为2.13，其半径为r=d/4。本文基于有限元法，利用COMSOL 软件的波动光学模块建立光子晶体模型，并使用Floquet 周期性边界条件，探究不同参数下胶体光子晶体的带隙宽度。
利用COMSOL 软件对图9 所示的胶体光子晶体的光子带隙进行了仿真模拟，结果如图10 所示，此时在[0.847 558 0，0.840 933 8]的归一化频率的区间产生一条宽度为0.006 624 2 的带隙。
图9 由PS 和SiO2 组成的二维复合胶体光子晶体结构
图10 二维复合胶体光子晶体仿真结果图
采用二维复合胶体光子晶体可以产生如上所述的带隙，而如果仅使用一种材料PS，此时能带结构无任何带隙产生，如图11 所示。由此可见，引入二维复合胶体材料能有效地增大蜂窝状光子晶体的带隙宽度，同时还可以保留2 种材料的光学特性。
图11 仅由PS 材料构成的光子晶体能带图
取上面讨论的最佳参数：晶格常数选取a0/R=5.6，中心圆柱界面半径r 取0.75d 时，可获得宽带隙，此时应用新材料的蜂窝状光子晶体的能带图如图12 所示，此时会产生3 条带隙。第一条带隙的归一化频率范围为[0.467 225，0.487 643]，带宽为0.020 717；
第二条带隙的归一化频率范围为[0.827 783，0.831 438]，带宽为0.003 655；
第三条带隙的归一化频率范围为[0.929 49，0.953 844]，带宽为0.024 347。由图10 和图12 比较可知，选取合适的晶格参数a0/R 和圆形半径r来获得宽带隙的方法是有效的。
图12 最优参数下二维复合胶体光子晶体仿真结果图
本文采用了有限元方法,研究了二维蜂窝状光子晶体的能带结构数值模拟和宽带隙的结构设计问题。对有限元方法和COMSOL 软件的结合运用，使得光子晶体能带结构的求解变得简单高效。数值模拟方法是新材料运用、新结构设计的一种非常高效、便捷的方法，通过优化蜂窝状光子晶体的晶格参数及应用新材料，基于数值模拟方法探究了二维蜂窝状光子晶体的参数与带隙的关系，通过选取最佳参数构造了宽带隙的新型二维蜂窝状光子晶体结构。本文的研究为二维蜂窝状光子晶体的能带结构求解提供了一种有效求解途径，有望为光子晶体设备的制备提供指导和数值算法支撑。
猜你喜欢蜂窝状带隙能带密度泛函理论计算半导体材料的带隙误差研究济南大学学报（自然科学版）(2021年6期)2021-11-10吃东西时注意多小天使·聪聪画刊(2021年2期)2021-09-10颗粒和蜂窝状废弃活性炭再生方法的探究建材发展导向(2021年12期)2021-07-22汽车转向管柱吸能带变形研究和仿真优化汽车零部件(2020年10期)2020-11-09一种基于BJT工艺的无运放低温度系数的带隙基准源成都信息工程大学学报(2019年3期)2019-09-25Life OR Death Decision汉语世界(The World of Chinese)(2019年6期)2019-09-10间距比对双振子局域共振轴纵振带隙的影响振动工程学报(2017年4期)2018-05-31一款高PSRR低温度系数的带隙基准电压源的设计电子制作(2018年1期)2018-04-04我国科学家在新型二维材料硼烯制备方面取得重要突破石河子科技(2018年4期)2018-03-31板式降膜蒸发器激光焊蜂窝状波纹传热板中国造纸(2015年7期)2015-12-16
