量子纠缠和贝尔不等式及其在量子信息处理中的应用

衣学喜，沈宏志，王林成

(1.东北师范大学 物理学院，吉林 长春 130024;2.大连理工大学 物理学院， 辽宁 大连 116023)

在量子世界里，2个粒子在相互作用后，整体的状态不能写成这2个粒子状态的非相干叠加形式，此时这2个粒子彼此关联，对1个粒子的测量会“瞬间影响”到另外1个粒子，该现象被称为量子纠缠(Quantum entanglement). 爱因斯坦(Albert Einstein)称这种“瞬间影响”为鬼魅的超距作用. 量子纠缠是纯粹发生于量子系统的现象，在经典世界里找不到对应. 很长一段时间以来，一些物理学家，例如 Einstein，认为鬼魅超距作用的存在是因为量子力学并未完整地描述物理系统的状态[1]，亦即质疑量子力学是不完备的. 他们认为量子力学的背后隐藏了尚未发现的变量，该变量的存在可以完整解释物理系统所有可观测量的演化行为，而不存在量子纠缠的现象. 存在隐藏变量的理论(隐变量理论)由大卫·玻姆(David Bohm)于1952年提出[2]. 20世纪60年代，约翰·贝尔(John Bell)在隐变量理论的基础上提出了以其名字命名的数学不等式，即Bell不等式[3]. 而量子力学预言：某种类型的实验将违反Bell不等式. 约翰·克劳泽(John Clauser)发展并践行了Bell的想法，开展了一系列实验研究，实验结果违反了Bell不等式，支持了量子力学[4]，这意味着量子力学不能被隐变量理论所取代. 但Clauser的实验存在一些漏洞. 为避免Clauser实验中的漏洞,阿兰·阿斯佩(Alain Aspect)运用新的实验装置[5]. 为了使实验漏洞更少、更可信,安东·蔡林格(Anton Zeilinger)又进一步改进了实验[6]. 除此之外，Zeilinger的研究小组还开展了被称为量子隐形传态的实验[7]，使量子态从1个粒子传输到远处的另外1个粒子，他还开创性地完成了纠缠交换(Swapping)实验[8]，为量子信息科学的发展做出了重要贡献.

埃尔温·薛定谔(Erwin Schrödinger)在1935年指出：2个系统的初始状态可由各自状态的直积完全描述，二者发生相互作用一段时间后，就不能再通过各自状态的直积来描述其状态[9]. 该特性是量子力学的核心特性，它使量子力学完全背离了经典物理的思维逻辑. 通过相互作用，2个系统的波函数(或ψ函数)发生了纠缠，意味着他们不可分离.以在1条直线上运动的2个粒子为例，可分离意味着波函数可写成

ψ(x,y)=ψ(x)⊗Φ(y),

(1)

其中，x和y为标记的2个粒子，ψ(x)和Φ(y)分别对应2个粒子的波函数.而两体系统纯态的一般形式为

(2)

其中，ci为复数，n表示希尔伯特空间的维数，ψi(x)和Φi(y)分别对应2个粒子的波函数.不能写成式(1)形式的态被称为纠缠态. 为了阐明量子力学是如何背离经典思维逻辑的，Albert Einstein，鲍里斯·波多尔斯基(Boris Podolsky)和纳森·罗森(Nathan Rose)在1935年提出了质疑量子力学的思想实验[1]，后来被称为EPR(Einstein-Podolsky-Rosen)佯谬.

EPR佯谬实验的基本思路是：使用不对易的算符对处于纠缠态且相距很远的粒子进行测量，如图1所示. 从源S将1对纠缠粒子向相反方向发送(图中纠缠粒子对用红色虚线连接). 每个粒子的自旋方向完全不确定. 在离S不远处，每对粒子中有1个经过由Alice(A，绿色窗口所示)操作的测量装置，该装置测量z方向(蓝色箭头)的自旋分量. 测量后仪器显示粒子在z方向上具有量子化的自旋，即自旋向上或自旋向下. 由于粒子对自旋方向存在严格的反相关性，当Alice的粒子沿z轴自旋向上时，Bob(B)的粒子将呈现沿z轴自旋向下.

图1 EPR思想实验示意图[11]

通过这种方式，即使没有直接对另1个粒子进行测量，通过对Alice的测量就能间接测量Bob粒子(绿色虚线窗口表示)的状态. 如果Bob选择在x方向(红色箭头)进行测量，则会出现EPR佯谬：自旋在垂直方向上有确定的值，就像对1个粒子的测量会超光速地影响到了另外1个粒子. 1951年，大卫·玻姆(David Bohm)[10]重新设计了实验，他考虑了1对处于纠缠的自旋为1/2的粒子，可用Si表示其自旋角动量算符，满足

(3)

在Bohm进行的EPR实验中，1对自旋为1/2的粒子被制备在纠缠态|ψ-〉上，其中自旋波函数是Bell类型的，表示为

(4)

在约翰·冯·诺依曼(John von Neumann)指出不可能用隐变量理论来完善量子力学之后，大多数的物理学家更倾向于Bohr的立场. 尽管如此，一些人仍在思考关于量子力学基础和诠释的问题.

1964年，Bell推导出了不等式[3]，即任何服从定域实在论的体系都必须遵守的不等式，并指出：在某些实验条件下量子力学的预言违反了这个不等式. 由于Bell在推导不等式时对探测器做出的假设是不合理的[4]，因此他提出的验证不等式的实验不容易在实验室实现. 1969年，John Clauser、迈克尔·霍恩(Michael Horne)、艾布纳·西摩尼(Abner Shimony)和理查德·霍尔特(Richard Holt)解决了实验室验证不等式中的困难：他们提出了Bell不等式的变型，即CHSH不等式. 该不等式的优点是：使用现有技术对纠缠光子进行测量即可验证该不等式[4]. 斯图尔特·弗里德曼(Stuart Freedman)和Clauser[12]率先做了实验，该实验中每个光子将遇到1个双通道偏振器，其方向可由Alice和Bob设置. 每个通道产生的信号由单光子探测器D+和D-探测，且符合计数率为

其中Ni,j(i,j=+,-)分别对应于Alice和Bob探测器D+和D+,D+和D-,D-和D+以及D-和D-同时探测记录的同步事件数.

图2所示的CHSH不等式与EPR思想实验不同. Alice可进行2个不同实验A1和A2(例如在2个不同方向a1和a2上测量自旋)；
同样，Bob可以进行B1或B2实验.假设实在论是对的，即使没有进行测量，也可完全确定每个量子系统的测量结果.与实在论相反，量子力学无法预言测量结果.若用L(A1),L(B2)等表示可能的测量结果,根据L(X)=±1(X=A1,A2,B1,B2)，则有

图2 源S产生相反方向传播的纠缠光子对[11]

L=L(A1)[L(B1)+L(B2)]+

L(A2)[L(B1)-L(B2)]=±2,

(5)

当L(A1)和L(A2)都取±1，且L(B1)+L(B2)=±2时，L(B1)-L(B2)=0；
反之亦然.在每个实验中可多次重复测量，Alice测量A1或A2，Bob测量B1或B2.在现实中，由于式(5)适用于任意的独立测量，因此只需对测量值取总体平均即可得出测量结果，即E(A1,B1)=〈L(A1)L(B1)〉.由此可以得出不等式[12]

〈L〉=|E(A1,B1)+E(A1，B2)+

E(A2,B1)-E(A2,B2)|<2.

(6)

现在将式(6)与量子理论预言的结果进行比较.如果光子对处于态|ψ-〉[由式(4)给出]，很容易证明E(A1,B1)=-a1·b1，其他E(a,b)也取类似结果，由此可知

3.1 弗里德曼-克劳泽实验

最初很少有人注意到Bell的工作，而注意到其工作的人却有这样的疑问[12]：难道量子力学不总是有效吗？为了解决该疑问，Freedman与Clauser一起着手进行CHSH不等式验证实验. 图3所示为钙的能级图.

图3 钙的能级图[12]

图4所示为实验装置示意图，图中探测器之间的距离为5 m. 该实验测量了在J=0→J=1→J=0原子级联中发射的2个光子(γ1和γ2)的线偏振相关性.衰减原子由2个对称放置的光学系统进行观察，每个光学系统由2个透镜、1个波长滤光片、1个偏振器(可旋转和移动)和1个单光子探测器组成.该装置测量了下面的量：双光子检测的符合计数率R(φ)(作为由插入偏振器方向定义的线偏振平面之间角度φ的函数)；
去除偏振器2时的符合计数率R1；
去除偏振器1的符合计数率R2；
去除2个偏振器的符合计数率R0.

图4 Freedman和Clauser使用的仪器和相关电子设备示意图[12]

此外，假设入射到探测器上的所有光子都有被探测到的概率，且这与光子是否通过偏振器无关，则上述假设可以通过以下不等式来限制符合计数率：-1≤Δ(φ)≤0，其中

Freedman和Clauser[12]根据实验可测的量将不等式改写为

(7)

图5 实验测得的比率随偏振器轴之间夹角的变化曲线[11]

3.2 阿斯佩实验

1976年，Aspect实验[5]实现了声光器件在更短时间(小于20 ns)内将光子切换到实验装置的2个不同分支上，实验示意图如图6所示. 图中钙级联源发射的光子首先到达光开关CⅠ和CⅡ，光子可以传输到偏振片和探测器PM1和PM2，或者被反射到另1组偏振片和探测器PM1′和PM2′. 2个通道之间的切换大约每10 nm发生1次，偏振器之间的距离为12 m. 光开关是2个电声转换器产生反向传播的声波间干涉所产生的超声波驻波. 这相当于在极短时间内改变了偏振器的取向.

图6 Aspect实验示意图[16]

Bell不等式是在某些假设下推导出来的，其中的1个假设是：2个观察者Alice和Bob随机选择彼此独立的测量对象. 要做到这一点，必须确保Alice无法向Bob发送关于是否测量A1或A2的消息，即使发送了，Bob在决定测量B1或B2之前也收不到该消息. 即Alice不能影响Bob的选择. 而Freedman和Clauser的实验不能保证这一点. 这是该实验的1个漏洞.

Aspect首次设计出了避免定域性“漏洞”的实验. 1981-1982年 Aspect与其合作者菲利普·格兰杰(Phillipe Grangier)、杰拉德·罗杰(Gérard Roger)和琼·达利巴德(Jean Dalibard)使用改进的技术和新型仪器进行了系列实验[14-16]. 第1个实验[14]：通过双光子吸收，使用2束激光直接激发61S0态，该实验比使用过滤氢(氘)弧光灯和通过61P1→61S0跃迁填充61S0态更加有效(见图3). 第2个实验[15]：使用双通道偏振器进行双色测量，获得了很好的统计数据结果，并且最大限度违背了Bell不等式. 第3个实验[16]引起研究者的关注最多. 众所周知，在与光子飞行时间可以比较的时间尺度上，改变偏振器的取向是不可能的：钙光子源到每个偏振器的距离约为6 m，这就要求偏振器改变方向所需的时间不能超过20 ns.

该实验中的光学器件比早期实验中的要复杂得多，并且只使用了单通道偏振片. 采用不等式-1≤S≤0[16],其中

S包括3部分：a.在1次实验中测量的4个符合计数率[N(a,b),N(a′,b),等]；
b.去除所有偏振器后的4个对应的符合计数率[N(∞,∞),N(∞′,∞),等]；
c.每侧移除1个偏振器的2个符合计数率[N(a′，∞),N(∞,b)][16].为了测试Bell不等式，进行了2次实验.在每次实验中，都选择了导致量子力学和Bell不等式之间的预测具有最大冲突的方向[(a,b)=(b,a′)=(a′,b′)=22.5°;(a,b′)=67.5°].2次实验的平均值为S=0.101±0.020,明显违反了Bell不等式S≤0(5个标准差)，并与量子力学所预言的值0.112几乎一致.

因为偏振片之间的距离太小，无法进行真正的随机设置，所以实验结果并不理想. 1998年，Zeilinger团队在距离为400 m的观察者之间，借助一些技术上的改进，在严格的定域条件下检验了不等式[17]，发现不等式仍然是违背的.

3.3 安东·蔡林格工作

Anton Zeilinger长期从事量子物理和量子信息研究工作，是世界上量子物理基础检验和量子信息领域的先驱者，他对量子物理基础检验的理论和实验研究做出了开创性的贡献：Zeilinger与其合作者一起，首次进行了中子、原子和大分子的量子干涉实验，实现了无定域性漏洞、无探测效率漏洞的量子力学非定域性检验，提出并且在实验中产生了第1个多粒子纠缠态(Greenberger-Horne-Zeilinger态)，这在量子力学基础检验和量子信息中发挥着重要作用. Zeilinger与其合作者从量子物理基础检验出发，系统地发展了多光子干涉度量学，并且发现了量子信息处理中的广泛应用，包括量子密集编码、隐形传态、纠缠交换、纠缠纯化、远距离量子通信、光量子计算和基于纠缠的成像等. 其中1997年首次实现量子隐形传态的工作[7]被认为是量子信息实验研究的开山之作，该内容与纠缠交换及应用会在下文进行详细讨论.

4.1 量子隐形传态

Clauser和Aspect的实验让物理学界看到了纠缠的重要性，让科学家看到了相距很远但仍然纠缠的光子作为量子资源的可能性[18-19].

|ψ〉123=|χ〉1⊗|φ-〉23,

(8)

其中，Alice拥有粒子1和2，Bob拥有粒子3.态2和态3处于Bell态|φ-〉.通过代数运算，可将上面的态重写为

|ψ+〉12⊗V2|χ〉3+|ψ-〉12⊗V1|χ〉3]，

(9)

|ψ〉123→|φ-〉12⊗V4|χ〉3.

(10)

4.2 量子纠缠交换

纠缠交换可以实现纠缠向2个独立且此前从未相互作用的粒子上转移，如图7所示. 具体过程如下：1个源发射的光子1和光子2处于Bell态，另1个源发射的光子3和光子4处于另1个Bell态. Alice和Bob分别接收到光子1和光子4，而光子2和3被安排同时到达Cecilia. 使用与上面相同的符号，这4个光子的态可写为

图7 纠缠交换示意图[20]

|ψ〉1234=|φ+〉12⊗|φ+〉34,

(11)

通过类似于量子隐形传态的操作，可将4个光子的态改写为

|φ+〉14⊗|φ+〉23-|φ-〉14⊗|φ-〉23).

(12)

Cecilia对2和3进行4个Bell态之一的联合测量，类似于量子隐形传态. 如果测量结果为态|ψ-〉23上,则光子态塌缩为

|ψ〉1234→-|ψ-〉14⊗|ψ-〉23.

(13)

尽管光子1和光子4从未彼此靠近过，但现在纠缠在一起,Alice和Bob共用1个Bell对. 以上理论由班尼特(Bennett)等人首次提出，同年，马雷克·祖科夫斯基(Marek Zukowski)、Zeilinger、Horne和阿图尔·埃克特(Artur Ekert)提出了“纠缠交换”的概念[8]. 1998年，潘建伟(Pan Jianwei)、迪克·鲍米斯特尔(Dik Bouwmeester)、哈拉尔德·温弗特(Harald Weinfurter)和Zeilinger[20]发表了首篇纠缠交换的实验论文.

4.3 可能的应用

4.3.1 量子通信

量子技术的重要目标之一是将纠缠的2个光子分发到非常远的距离，为量子加密通讯服务. 实现分发最简单的方法是利用光纤传输光子，但光会损失，从而容易导致传输失败. 在传统的通信网络中，该问题可通过沿光纤线路放置放大器来解决. 因为经典放大器的工作原理是对原始信息进行多次复制，但量子世界有量子不可克隆定理，因此经典放大器不能在量子系统中使用. 那么如何解决光子损失呢？最简单的解决方案是利用卫星向太空发送信号来避免信号损失. 由于大气层的有效厚度约为10 km，而在真空中光的损耗非常小，所以可以通过量子通信卫星“墨子号”[21-22]建立远距离纠缠. 远距离量子通信的第2种方法是使用基于纠缠交换的量子中继器. 中继器可将通信线路分成很多短线路，并基于纠缠交换通过几个节点将纠缠在相距遥远的Alice和Bob间建立联系.

4.3.2 量子密钥

纠缠还可以实现量子密钥分发(Quantum key distribution,QKD)[23-25]，量子密钥分发的功能是以安全的方式分发Alice和Bob共享的密钥. 1991年，Artur Ekert提出了基于纠缠的QKD协议[26]，其工作原理如下：Alice和Bob共用1个来自独立源的Bell对. 然后Alice在ai(i=1,2,3)上测量自旋(方向是随机选取的)，Bob在bi方向上做同样的测量. 测量结束后，Alice和Bob公布测量结果，并将事件分为2组：a.包含相同自旋方向的结果;b.包含不同方向的结果. 接着公开第2组的测量结果. 然后使用该数据构造变量L[如式(5)]进行Bell不等式检验. 如果结果违背Bell不等式，那么第1组中完全反相关的事件就可用来创建密钥. 2006年,Zeilinger团队使用该方案在相隔144 km的2个加那利群岛(Canary)之间建立了1个安全密钥[27].

4.3.3 量子领域应用最新成果

近几年，量子科技发展突飞猛进，成为新一轮科技革命和产业变革的前沿领域，量子计算机更是各国科学家研发的热点. 2021年3月，IBM发布了超导量子计算机开源电子设计自动化软件Qiskit Metal，这是首个专门针对量子计算机的电子设计自动化工具. 2021年11月，悉尼大学和微软的科学家与工程师发明了工作温度比深空温度低40倍的单芯片，只需2根传输信息的线缆作为输入，即可产生数千个量子比特的控制信号. 2021年12月，谷歌与加州理工学院的一项合作表明，在某些条件下，量子机器可以从比传统要求的实验数量少得多的实验中了解物理系统. 这一新方法通过使用40个量子比特和1 300个量子操作进行了实验验证，证明了即使使用嘈杂的量子处理器，也具有巨大的量子优势. 2021年12月，剑桥量子公司利用霍尼韦尔量子计算机创建了随机数，并推出了世界上首个量子计算驱动的加密密钥生成平台. 中国的量子科学家在这方面的研究也取得了重要进展，在量子科技领域取得了较好成果. 2021年2月，本源量子的国产工程化超导量子计算机正式上线，并发布了首款国产量子计算机操作系统. 2021年5月，中国科学技术大学研究团队成功研制了62比特可编程超导量子计算原型机，并在此基础上实现了可编程的二维量子行走. 2021年3月，国盾量子推出了优化版本的超导量子计算操控系统21版，并于同年10月，该系统助力66比特超导量子计算原型机实现了量子计算优越性. 2021年10月，腾讯量子实验室实现快速、高保真、易扩展的超导量子比特初始化方案，与业内已有工作相比，该初始化方案具有速度快、保真度高、对周围比特影响小、扩展性强的优势.

量子力学是在质疑声中建立、完善和发展起来的，其中薛定谔猫和EPR佯谬是质疑声中最响亮的2个声音. 薛定谔猫和EPR佯谬质疑了量子世界的特有属性：相干叠加和量子纠缠. 而这2个质疑声被2022年3位诺贝尔物理学奖得主的精巧实验所击碎. 贝尔不等式实验前后经历了近半个世纪，科学家们坚持不懈、精益求精和潜心钻研的精神必将激励广大科研工作者踔厉奋发、笃行不怠地探索神秘而有趣的量子世界，从而进一步推动量子科学与技术的发展，为全人类谋福利.

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