天基光学空间目标监测的初轨确定

赵柯昕，甘庆波，*，刘静

1．中国科学院 国家天文台，北京 100101

2．国家航天局 空间碎片监测与应用中心，北京 100101

3．中国科学院大学，北京 100049

天基空间目标监测相比于传统地基监测具有全天时、全天候、灵活机动等优势，受到了国内外极大的关注。20世纪90年代到21世纪初，美国实施了多个空间目标监测技术试验项目，包括中段空间试验卫星（Midcourse Space Experimen， MSX）［1］、试 验 卫 星 系 统10/11（Experimental Satellite System 10/11， XSS-10/11）、微卫星技术试验A/B等（Microsatellite Technology Experiment A/B， MiTex-A/B），演示验证了低、高轨天基空间目标监视任务，囊括普查和精测技术，极大地推动了天基空间态势感知技术的发展进程［2-3］。

2009年太空跟踪与监视系统先进技术风险降低卫星（Space Tracking and Surveillance System Advanced Technology Risk Reduction satellite， STSS-ATRR）发射入轨，是典型的特定目标监视卫星，用于验证跟踪导弹能力［4］。2010年天基监视系统-1（Space-Based Surveillance System-1， SBSS-1）卫星成功发射，标志着空间目标监测正式进入天基时代［5］。预计将美国的空间目标监测能力提高50%，可以覆盖高中低轨道的各类卫星或导弹目标，并具有对特定目标的探测能力。2014年2颗地球同步轨道空间态势感知计划（Geosynchronous Space Situational Awareness Program， GSSAP）卫 星和评估局部空间自主守卫纳卫星（ARGOS Neo on a Generic Economical and Light Satellite，ANGELS）发射入轨。2016年剩余2颗GSSAP卫星以及第2颗ANGELS发射升空。由此GSSAP卫星正式完成组网，该星座大幅提高了美国对GEO目标的持续监测和抵近侦察能力［6-7］。ANGELS是位于同步轨道具有较强机动能力的微卫星，可实现对地球同步轨道（Geostationary Orbit， GEO）目 标 抵 近 侦 察［8］。2014年投用的蓝宝石（Sapphire）卫星专门用于对高轨空间目标进行跟踪监测，并为空间态势感知提 供 数 据 服 务［9］。操 作 响 应 空 间-5（Operationally Responsive Space-5， ORS-5）卫星于2017年发射入轨，能够从低地球轨道（Low Earth Orbit， LEO）扫描GEO带，协助跟踪GEO上卫星与空间碎片［10］。此外商业卫星公司和研究机构也积极参与空间目标监测任务。2013和2014年Livermore实验室发射了2颗天基空间目标星历改进（Space-based Telescopes for the Actionable Refinement of Ephemeris A/B，STARE A/B）卫星，通过对危险交会目标近距离监测以降低危险交会的虚警率［11］。

从以往项目看，空间目标监测任务以光学设备为主要载荷，以获得更多更精确的空间编目数据为首要指标。天基自主空间目标的轨道和信息确定是实现天基空间目标监测的基础，其中初轨确定是一切监测活动的前提。

天基空间目标初轨确定具有2个基本特征：观测弧段短和数学奇点（平凡解）问题。针对这些特征国内外近些年都有相关研究，提出了多种求解方法。2007年笔者等［12］指出了Laplace定轨方法在天基监测中收敛到观测平台本身的现象，并给出了一类求解方法，但是文中对一些描述并不清晰，定轨方法的适用范围和精度存在局限。2009年南京大学刘林和张巍［13］确认了改进Laplace方法收敛到观测平台这一现象。之后国防科技大学刘光明等［14-16］给出了一些基于最优化方法的解法，这类方法较难以应用于普适的天基初轨确定中，计算效率、稳定性以及置信程度在工程应用中具有局限性。2014年武汉大学桑吉章等［17］给出了一种类似Gooding方法的基于距离搜索初轨确定方法，而Gooding类型方法都要面临距离初值选取问题。从测试结果上看，如果初值选择不合理该类型方法也会收敛到平台自身轨道。

针对天基光学平台监测空间目标的初轨确定问题进行了深入研究。通过构建Laplace法的八次方程，分析了空间目标、观测平台和地心的相对位置与方程系数和根的性质之间的关系。对天基初轨确定收敛到平凡解的问题给出了数学表征和解决方法。对Gooding法进行了改进，提出了一种可适用于天基空间目标监测的初轨确定方法和流程。利用低轨目标监测实测数据和高轨目标监测的仿真数据对方法进行了校验。最后对未来天基空间目标监测的发展提出了长远建议。

1.1 Laplace八次方程

典型的空间目标监测问题指的是在一个时间序列ti(i=1，2，…，n）下，具有地心位置矢量Ri的地基或天基平台观测到目标，并提取出目标相对平台的方向矢量Li，由此来确定空间目标的轨道参数。单次观测时刻的空间目标、地基或天基观测平台和地心构成了三角几何，如图1所示。

图1 地基与天基目标监测几何构型Fig. 1 Geometrical configuration of ground-based and space-based space surveillance

空间目标单次观测的几何构型为

其一阶、二阶的导数分别为

空间目标的短弧运动方程遵循Kepler运动：

式中：μ为地球引力常数；
r为目标的地心距离。将式（5）代入式（3）中，经过化简可得中间观测时刻斜距ρ2为

式中：

其中：R2为中间观测时刻观测平台的地心距离、μ为地球引力常数，其他符号定义如下：

Laplace法利用式（8）获得空间目标在定轨时刻的位置与速度矢量初值即r0与ṙ0，求解斜距和斜距变率ρ0与ρ̇0，最终求解出轨道根数。

1.2 天基目标监测初轨确定的平凡解及消去

1.2.1 八次方程根的性质

八次方程包含了空间目标和观测平台的位置、速度和加速度等信息。方程中的系数取决于地心、观测平台和空间目标的相对位置。因此，方程根的性质也取决于三者的相对位置关系。方程（6）系数与根的性质可以总结为：①系数A和C是恒负的；
②系数B可能是正的也可能是负的；
③系数B<0时，方程存在1个正实根、1个负实根和6个虚根；
④系数B>0时，方程存在至多3个正实根、1个负实根和虚根。

地基初轨确定过程中，可以证明该情况下系数B<0，八次方程只会存在1个正实根。而在天基初轨过程中，八次方程往往会存在3个正实根，其中一个根为代表观测平台轨道的平凡解，可以利用1.2.2节的方法去除，但还会存在至多2个使得斜距量有意义的根，即非伪解。由Charlier提出的非伪解个数条件方程［18-19］，将距离量使用测站的地心距进行归一化后，进一步可以得到空间目标在不同相对位置时对应八次方程拥有不同非伪解数量的示意图，如图2所示。图中分界线ρ2=r2+2 3r3−5 3和以地心为圆心以观测时刻观测平台地心距R为半径的圆可以将空域分为A、B、C和D 4个区域。当空间目标位于区域A和C时，求解方程会得到2个非伪解。空间目标位于区域B和D时，方程仅会得到1个非伪解。

图2 非伪解个数与地心、观测平台和空间目标三者相对位置的关系Fig. 2 Relationship between number of non-spurious so⁃lutions and geometrical configuration of geocen⁃ter， observation platform and space target

1.2.2 天基定轨中的平凡解问题

从观测几何构型来看，天基和地基定轨不存在本质区别，即式（1）是一致的，而在利用类Laplace法进行定轨时，总会出现结果收敛到观测平台轨道的情况。这其中主要是因为式（3），空间目标的短弧运动方程基本遵循Kepler运动（以下公式中使用下标0表示定轨历元时刻）：

式（3）右边的R̈代表观测平台的运动，当观测平台位于地面上时，R̈遵循的是地球表面测站的运动［18］：

而当观测平台被发射入轨后，R̈则遵循与空间目标一样的Kepler运动：

式中：R0为观测平台的地心距离。

由此进行归一化后，原八次方程出现一个公因子(r0−R0)，则式（7）可表示为

因此迭代计算时会收敛到如下平凡解：

将式（15）代入式（1），得到的解是观测平台自身的轨道参数，这就是天基定轨中出现收敛到观测平台轨道的本因。所以在天基初轨确定中，首先要提前消去平凡解消去。

1.2.3 消去平凡解的七次方程及求解

经过消除平凡解操作后，原八次方程降阶为七次方程为式（14），可利用牛顿迭代法进行求解：

式中：r0k为r0迭代第k次的值，经过迭代计算得到初值r0，从而可以得到空间目标的斜距与斜距变率的估计值：

由此利用式（1）与式（2）就可以获得定轨时刻空间目标的位置和速度。

1.2.4 方法的适用性和精度

1.2.1~1.2.3节所述的方法本质上还是Laplace型的，其特点是对平凡解进行了消除，对初值的敏感度不高。从仿真结果来看，对高中低轨目标，初值设置为1倍地球半径时，都会收敛到真解附近。但是该方法也存在局限性：①面对超短弧段，定轨结果并不理想，在低轨观测弧段不足1 min，高轨弧段低于10 min的情况，定轨精度都很差；
②如果观测资料稀疏，造成对方向矢量的拟合精度太差，也会使得方法得到不理想的解［12］。

1975年 及1993年，Gooding［20］在 基 于 其 对Lambert问题求解方法研究，并受到Escobal［21］提出的双r迭代算法的影响，提出了一类基于距离搜索的初轨确定方法。Gooding法适用于各种轨道，具有很好的收敛特性，近年来应用较多。著名的卫星工具包软件STK的定轨模块ODTK和法国Orekit软件包也使用了该方法。Vallado［22］对Gooding法应用于天基监测的效果也做了数值仿真。

2.1 Gooding方法原理

求解Lambert问题确定人造卫星的初始轨道非常适用于雷达观测数据。雷达观测数据一般可以直接获得方位角、俯仰角和相对伪距。通过坐标转换可以获得空间目标在观测时刻的地心位置矢量，从而建立Lambert方程直接求解观测首末时刻的位置与速度。然而利用光学望远镜观测时获得的是测角资料，缺少相对距离信息，因此需要进行大量迭代计算求解。以三次方向观测为定轨最小原型，详述基于Lambert问题的测角资料的初轨确定方法。

首先定义三次方向观测量：

3个量分别是观测时刻t、赤经α和赤纬δ，下标为观测次序。算法的基本流程是：利用第1次和第3次观测数据构建Lambert方程，以第2次观测为外复合判断标准。因此在第1次和第3次观测之间建立Kepler无摄运动，进行迭代计算，直到搜索到的轨道能和第2次观测量最佳逼近。将该问题转变为第1和第3观测时刻相对斜距变量的寻优问题。

可以采用微分改进法构建具体算法。定义微分改进量为第1和第3次观测时刻的相对斜距变量(ρ1，ρ3)。目标函数为第2次观测时刻由计算得到的位置矢量r2o和实测的位置矢量r2c重合，即

式中：f、g是以(ρ1，ρ3)为变量的，即

(f，g)为r2c在垂直r2o相平面上的2个分量。显然当(f，g)=(0，0)时，计算得到的位置矢量与观测矢量为最佳逼近状态。由于法向没有距离观测信息，因此不做第3个条件方程。

一个简单的方式是利用牛顿迭代法求解，具体推导过程如下：

从而得到改正量：

显然这是一个线性迭代过程，如果需要提高精度也可以采用高阶进行改进。即由牛顿线性迭代拓展为二阶泰勒展开：

进行迭代计算直到满足收敛条件。其中fx、gx、fx、gx分别 为f、g对变 量x或g的一阶偏导数；
fxx、fxy、fyy、gxx、gxy、gyy分别为f、g对变量x或g的二阶偏导数。

常规Gooding法中得到目标地心距后再通过Lambert方程可以获得中间时刻的速度矢量，由此直接求解出6个轨道根数。而实际上，在迭代过程中已经获得了3个时刻地心位置矢量，由于随着微分阶数上升而计算精度下降，之后获得的速度矢量精度并不高，且初轨确定又是短弧段定轨问题，因此可以使用三矢量定轨算法，也就是Gibbs方法或Herrick-Gibbs方法［22］。

2.2 利用三矢量定轨算法方法改进

经过以上过程，可以相对精确地获得3个观测时刻的位置矢量(t1；
r1)、(t2；
r2)和(t3；
r3)。下一步采用Gibbs方法或Herrick-Gibbs方法确定目标速度矢量。

Gibbs方法是直接由3个位置矢量经过变换得到第2观测时刻速度矢量的分析解［22］：

式中：

而Herrick-Gibbs方法采用了以时间展开的方法［22］：

当观测弧段的地心张角超过1°，采用Gibbs方法，如果小于1°，则采用Herrick-Gibbs方法。

该方法的特点是收敛性好，适用于各种类型的轨道。但是该方法依然存在距离搜索初值选择的问题，在初值提供不准确以及弧段超短的情况下，定轨依然会出现收敛到平台轨道或者不收敛的情况，这从Lambert问题的定义不难理解，从Vallado［22］的仿真计算结果也说明了这个问题。因此可以采用第1节中介绍的消去平凡解的方法求出初值，再利用第2节提出的流程进行迭代求解。

3.1 低轨天基平台观测定轨

采集某光学卫星对某空间目标的观测图像，3次采样的中心时刻点、观测平台地心位置矢量和观测数据平滑结果如表1所示，角度测量精度为10ʺ。观测时刻使用简约儒略日（Modified Julian Date， MJD）表示。距离量的单位为地球半径REarth=6 378.14 km。测角数据和观测平台位置矢量都位于J2000地心天球坐标系下。

由表1中数据以式（7）形式构建八次方程，方程系数分别为A=−35.882 525，B=88.510 190，C=−56.428 083。求解该方程所得8个根：1.083 742 08，1.093 472 53，5.955 225 33，−6.024 001 75，−0.588 654 67+0.874 109 39i，−0.588 654 67−0.874 109 39i，−0.465 564 43+0.989 148 32i，−0.465 564 43−0.989 148 32i。

共有3个正实根，1个负实根和4个虚根。Vallado［22］指出代表目标真实轨道的根是3个正实根中的一个，而该方程存在多个使得斜距有意义的根，真解的选择较为困难。经过进一步计算，3个正实根对应3个观测时刻的斜距量如表2所示。

利用1.2节的方法构建七次方程求解，可以去除代表观测平台轨道的根，即第1个正实根。而在低轨观测平台观测低轨目标时，斜距不应过大，可以去除第3个正实根。因此，可以得到真解为r0=1.903 472 53。

为了直观的观察原八次方程和降阶后七次方程根的情况，分别绘制了f(r)和随r的变化趋势，如图3所示。图3（a）为r/REarth从−10变化到10的情况，图3（b）为f(r)和在0附近放大的情况。实线和虚线分别为八次方程f(r)和七次方程的变化趋势，点划线为f(r)=0的直线。

表1 低轨平台观测低轨目标的实测数据Table 1 Actual measurements from LEO observation platform to LEO target

表2 正实根所对应的观测时刻斜距值Table 2 Slant-ranges corresponding to positive real roots at observed times

图3 LEO f(r)和随r/REarth变化趋势Fig. 3 Trend off(r) andwithr/REarthof LEO

由此可以直观的发现，原八次方程在r=1附近存在2个十分接近的根，而七次方程则可以消去平凡解，在r=1附近仅有1个根，避免后续计算收敛到观测平台轨道。

使用求解出的斜距作为Gooding法的初值，并使用Gibbs法可以求得空间目标在中间观测时刻的Kepler轨道根数为

式中：a、e、i、Ω、ω、M分别为轨道半长轴、偏心率、轨道倾角、升交点赤经、近地点幅角和平近点角。

为进一步分析本方法的性能，选取不同的斜距作为Gooding法的初值，考察迭代次数和最终收敛到的斜距值，计算结果如表3所示。

表3 LEO目标不同斜距的迭代次数和收敛结果Table 3 Iterations and convergence results of LEO target corresponding to different slant-ranges

由此可以看出，当初值选择与真实情况偏差较大时，计算结果会收敛到观测平台自身轨道或错解。当选择初值在真实轨道附近时，则会收敛到相同的轨道，但与真实轨道相差越远所需要迭代的次数越多。从低轨观测平台观测低轨目标的情况来看，使用消去平凡解方程计算出的初值可以有效的避免Gooding法收敛到观测平台自身轨道和伪解的情况，同时可以使用最少的迭代次数收敛到正确轨道。

3.2 高轨天基平台观测定轨

利用同步轨道平台观测空间目标，特别是观测同步轨道卫星，近些年越来越受到关注。由于没有实测资料，采用仿真光学观测数据。观测平台和空间目标轨道外推考虑了J2摄动、太阳和月球引力摄动的影响。截取了仿真数据中间隔10 min的3个采样点，对角度量增加了5ʺ的随机误差，使用的仿真数据如表4所示。

使用表4数据构建八次方程，方程系数分别为A=−5 105.372，B=2 727 175.455，C=−367 101 221.891。求解该方程所得8个根分别为：6.427 777 89，6.499 000 30，71.399 459 37，−71.399 459 37，−3.384 905 13+5.404 027 43i，−3.384 905 13−5.404 027 43i，−3.026 168 26+5.759 754 17i，−3.026 168 26−5.759 754 17i。同样共有3个正实根，1个负实根和4个虚根。3个正实根所对应的3个观测时刻的斜距量如表5所示。

表4 GEO平台观测GEO目标的仿真数据Table 4 Simulation measurements from GEO observation platform to GEO target

表5 正实根所对应的观测时刻斜距值Table 5 Slant-ranges corresponding to positive real roots at observed times

利用1.2节操作可以去除第1个正实根，而第3个正实根对应的斜距太大不符合条件，由此可以选择出第2个正实根为所需要的代表目标真实情况的根。

同样分别绘制了f(r)和随r变化的趋势，如图4所示。图4（a）为r从−10变化 到10的情况，图4（b）为f(r)和在0附近放大的情况。实线和虚线分别为八次方程f(r)和七次方程的变化趋势，点划线为f(r)=0的直线。

由此可以直观的发现，原八次方程在r=6.5附近存在2个根，而七次方程则可以消去平凡解，使得在此附近仅存在1个根，避免了后续计算收敛到观测平台轨道。且由八次方程和七次方程所得的真解差别很小，也保证了计算精度。

使用求解出的斜距作为Gooding法的初值，并使用Gibbs法可以求得空间目标在中间观测时刻的Kepler轨道根数为

图4 GEOf(r)和随r/REarth变化趋势Fig. 4 Trend off(r) andwithr/REarthof GEO

选取不同的斜距作为Gooding法的初值，考察迭代次数和最终收敛的结果，计算结果如表6所示。

由此可以看出，当初值比真实情况差别较大时，同样会导致结果收敛到观测平台本身，而使用本文的初值选择方法，不仅可以避免此类情况的发生，还可以将迭代次数降至最小。

表6 GEO目标不同斜距的迭代次数和收敛结果Table 6 Iterations and convergence results of GEO target corresponding to different slant-ranges

从总体定轨情况来看，结果是较满意的。低轨平台天基监测定案例虽然使用的弧段较长，但是采用了实测数据，定轨结果较有说服力。高轨监测平台仿真案例采用了10 min弧段，高轨对高轨的监视依然能快速收敛到标称轨道参数附近，说明本文方法具有良好的性能。

从实测数据和仿真数据校验的结果上看，平凡解去除方法和Gooding方法可以做到互补。在短弧资料情况下，可以利用消去平凡解的方法获得第1和第3时刻斜距，作为Gooding法的初值进行计算，最后利用Gibbs法或Herrick-Gibbs法得到轨道参数。具体流程如下：

步骤1 基于光学望远镜拍摄的空间目标图像，经过平滑和拟合等操作，提取出预处理后的角度测量值。

步骤2 以时间跨度长和图像成像质量好为标准，优选出首末观测时刻和中间观测时刻的角度测量值。

步骤3 利用观测值构建消去平凡解的七次方程，求解该方程并选择出正确的解，经计算得到选取的观测时刻目标斜距值。

步骤4 将计算得到的目标斜距值作为Gooding方法的初值进行迭代，求解得到3个观测时刻空间目标的地心距离。

步骤5 根据观测弧段长度选择Gibbs或Herrick-Gibbs方法进行改进，得到定轨时刻目标速度，最后计算目标的轨道根数。

天基空间目标监测在具备良好初轨算法的基础上可以实现自主的空间目标编目，并能获得更实时、更高精度、更高维度信息的能力。现对天基空间目标监测提出几点展望与建议：

1）泛在组网监测

在近地轨道上广泛分布着光学卫星，这些卫星中相当一部分卫星具有对空间目标成像的能力，如果能提前规划，将自动构成一张泛在的空间目标监视网络。

2） 基于软件定义网络的弹性空间目标监测

软 件 定 义 网 络（Software Definition Network，SDN）近年来在信息科学领域逐渐兴起并应用。同样，对于天基泛在网络，也可采用SDN技术，按需重构天基监测功能与任务，得到定制的产品，如轨道、特征以及行为意图等。

3） 人工智能优化调度与信息关联

天基监视无论是个体还是泛在网络，都将获得大量的观测数据，人工智能算法对观测数据关联、发现新目标或异常目标、对任务的规划调度都将发挥重要的作用。

4） 面向更实时更高精度更高维度信息边缘计算

空间目标监测不满足于目标轨道参数的认知以及编目库的定期维护与更新，必将追求更实时、更高维度特征信息（姿态、材质、来源、辐射）等，而天基监测庞大的信息量必将给下行链路带来负荷，因此，可以利用边缘计算等新计算新概念，在传感器端或在区域小网络端获得产品，极大地减少链路和中心的负担。

通过构建Laplace法的八次方程分析了方程系数和根的性质，讨论了空间目标与地心、观测平台处于不同的相对位置时所得到的非伪解的个数情况。针对天基空间目标监测时遇到计算过程中收敛到平凡解的情况，给出了数学表征和消去方法。通过对平凡解的消除，可获得相对距离初值。

对Gooding方法应用于空间目标监测流程进行了改进，提出了一种可适用于天基空间目标监测的初轨确定方法和流程。该方法能有效解决收敛到平凡解的问题，降低了距离初值在定轨过程中的敏感度。针对低轨天基监测和高轨天基监测进行了数值验证，结果表明，本文所提方法性能优良。

最后给出了对未来天基空间目标监测发展的建议，认为随着高速互联的大型星座开始部署运行，天基空间目标监视将会构成泛在的网络，能自主、智能地监测编目，并基于先进的天基网络技术以及信息技术，使天基空间目标监测成为空间态势感知的主要手段。

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