上阶外微分与广义斯托克斯公式的逆向思维
时间：2023-06-08 13:25:13 来源：雅意学习网 本文已影响 人 
李华冰， 宁荣健
(1.合肥工业大学 宣城校区基础部，安徽 宣城 242000；
2.合肥工业大学 数学学院，合肥 230601)
目前，已有不少学者通过外微分对格林公式、高斯公式和斯托克斯公式进行分析和归纳，得出其下列统一表达形式.
本文通过引入上阶外微分的概念，并对上阶外微分的存在条件和表现形式进行探讨.由此讨论广义斯托克斯公式的逆向思维问题，并将其结论具体应用到格林公式、高斯公式、斯托克斯公式上去.
定义1设λ为空间区域Ω内的p(p=1,2,3)阶外微分，如果存在p-1阶外微分ω，使得λ=dω，就称ω为λ的在外微分意义下Ω内的一个上阶外微分.
由此引出了两个问题：
(i)λ应满足什么条件，才能使得λ存在上阶外微ω？
(ii)如果λ存在上阶外微分ω，那么如何求得ω？
为表达方便，记Vp={ω|dω=0,ω为p阶外微分}，p=0,1,2.
定理2(i)Vp为线性空间，p=0,1,2；
(ii)设ω0为λ的一个上阶外微分，则λ的所有上阶外微分为ω0+ω，其中ω∈Vp，p=0,1,2.
证(i)显然0∈Vp，所以Vp为非空集合.
对于任意的ω1,ω2∈Vp和常数c1,c2，由于dω1=dω2=0，故
d(c1ω1+c2ω2)=c1dω1+c2dω2=c1·0+c2·0=0，
得c1ω1+c2ω2∈Vp，所以Vp为线性空间.
(ii)对于任意的ω∈Vp，dω=0，又dω0=λ，所以d(ω0+ω)=λ+0=λ，故ω0+ω为λ的上阶外微分.
反之，对于λ的任意一个上阶外微分ω1，dω1=λ，有d(ω1-ω0)=λ-λ=0，所以ω1-ω0∈Vp，记ω=ω1-ω0，则ω1=ω0+ω，且ω∈Vp.
为便于讨论上阶外微分的存在条件和表现形式，在此给出庞加莱引理.
定理3[2](庞加莱引理)设ω为三维空间中任意外微分，其系数具有二阶连续偏导数，则d(dω)=0.
定理4设Ω为空间区域，(x0,y0,z0)为Ω内给定一点，则
(i)Pdx+Qdy+Rdz在Ω内存在上阶外微分的充分必要条件为rot{P,Q,R}=0，并且
为Pdx+Qdy+Rdz的一个上阶外微分，其中P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在Ω内具有一阶连续偏导数；
(ii)Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy在Ω内存在上阶外微分的充分必要条件为div{P,Q,R}=0，并且
为Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy的一个上阶外微分，其中P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在Ω内具有一阶连续偏导数；
证(i)如果Pdx+Qdy+Rdz存在上阶外微分ω0，则Pdx+Qdy+Rdz=dω0，由定理3，
d(dω0)=d(Adx+Bdy+Cdz)=rot{A,B,C}·{dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy}=0，
得rot{A,B,C}=0.
=P(x,y0,z0)dx+{Q(x,y,z0)dy+[P(x,y,z0)-P(x,y0,z0)]dx}
+{R(x,y,z)dz+[P(x,y,z)-P(x,y,z0)]dx+[Q(x,y,z)-Q(x,y,z0)]dy}
=P(x,y,z)dx+Q(x,y,z)dy+R(x,y,z)dz
=Pdx+Qdy+Rdz，
(ii)如果Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy存在上阶外微分ω0，则
Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy=dω0，
由定理3
d(dω0)=d[Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy]=div{P,Q,R}dx∧dy∧dz=0，
得div{P,Q,R}=0.
=P(x,y,z)dy∧dz+Q(x,y,z)dz∧dx+R(x,y,z0)dx∧dy
=P(x,y,z)dy∧dz+Q(x,y,z)dz∧dx+R(x,y,z0)dx∧dy+[R(x,y,z)-R(x,y,z0)]dx∧dy
=P(x,y,z)dy∧dz+Q(x,y,z)dz∧dx+R(x,y,z)dx∧dy
=Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy，
所以
为Pdy∧dz+Qdz∧dx+Rdx∧dy的一个上阶外微分.
(iii)由于
下面讨论Vp={ω|dω=0,ω为p阶外微分}的具体情况，p=0,1,2.
定理5(i)V0={C|C为任意实数}；
证(i)对任意的ω=f∈V0，其中f=f(x,y,z)具有一阶连续偏导数，由dω=df=gradf·{dx,dy,dz}=0，得gradf=0，进而有f=C，即ω=C，所以V0={C|C为任意实数}.
(ii)对任意的ω=Adx+Bdy+Cdz∈V1，其中A=A(x,y,z),B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)具有二阶连续偏导数，由
dω=d(Adx+Bdy+Cdz)=rot{A,B,C}·{dy∧dz,dz∧dx,dx∧dy}=0，
φ1(y,z)dy+φ2(y,z)dz=dφ(y,z)，
所以
其中A=A(x,y,z)为具有二阶连续偏导数的任意函数，φ(y,z)为具有一阶连续偏导数的任意函数.
由于
以及由定理3知d(dφ(y,z))=0，所以dω=0，ω∈V1.
(iii)对任意的ω=Ady∧dz+Bdz∧dx+Cdx∧dy∈V2，其中A=A(x,y,z),B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)具有一阶连续偏导数，由
dω=d[Ady∧dz+Bdz∧dx+Cdx∧dy]=div{A,B,C}dx∧dy∧dz=0，
其中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z),φ(y,z)为具有一阶连续偏导数的任意函数.
反之，如果
由于d[φ(y,z)dy∧dz]=0，则有
因此得ω∈V2.
由定理2、定理4和定理5可得上阶外微分的存在条件和表现形式，并且其表现形式不唯一.
如果只考虑平面情形，则有
为Pdx+Qdy的所有上阶外微分.
推论2设R=R(x,y)在平面区域D内连续，(x0,y0)为D内给定一点，则
为Rdx∧dy的所有原函数，其中A=A(x,y)为具有一阶偏导数的任意函数，c(y)为具有一阶连续导数的任意函数.
下面举例介绍上阶外微分的存在条件和求法.
例1验证yezdx+xezdy+xyezdz存在上阶外微分，并求其所有上阶外微分.
解法一由于rot{yez,xez,xyez}=0，所以由定理4(i)知yezdx+xezdy+xyezdz存在上阶外微分.
取(x0,y0,z0)=(0,0,0)，故由定理2、定理4(i)和定理5(i)得yezdx+xezdy+xyezdz的所有上阶外微分为
其中C为任意常数.
解法二由于
yezdx+xezdy+xyezdz=ezd(xy)+xyezdz=d(xyez)，
所以yezdx+xezdy+xyezdz存在上阶外微分，且yezdx+xezdy+xyezdz的所有上阶外微分为xyez+C，其中C为任意常数.
本例中，解法一为运用本文结论的求解方法，解法二为全微分法，两者结论完全一样.
定理4(iii)表明当f(x,y,z)在Ω内的连续时，f(x,y,z)dx∧dy∧dz在Ω内总存在上阶外微分，下面举例说明其上阶外微分的求法.
例2求ydx∧dy∧dz的所有上阶外微分.
解取(x0,y0,z0)=(0,0,0)，由定理2、定理4(iii)和定理5(iii)得其所有上阶外微分为
其中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z),φ(y,z)为具有一阶偏导数的任意函数.
例3问xdy∧dz+ydz∧dx+zdx∧dy是否存在上阶外微分？
例4验证2(y-z)dy∧dz+2(z-x)dz∧dx+2(x-y)dx∧dy存在上阶外微分，并求其所有上阶外微分.
解由于
所以由定理4(ii)知2(y-z)dy∧dz+2(z-x)dz∧dx+2(x-y)dx∧dy存在上阶外微分.
取(x0,y0,z0)=(0,0,0)，由定理2、定理4(ii)和定理5(ii)得其所有上阶外微分为
其中A=A(x,y,z)为具有二阶连续偏导数的任意函数，φ(y,z)为具有一阶连续偏导数的任意函数.
例3和例4为2阶外微分的上阶外微分存在性以及求法举例.在例4中，若取A(x,y,z)=2xy-y2，φ(y,z)=y2z-yz2，则得其一个上阶外微分为
(z2-2xz)dx+(x2-2xy)dy+(y2-2yz)dz；
若取A(x,y,z)=2xy+2xz,φ(y,z)=y2z，则得其另一个上阶外微分为
(y2+z2)dx+(z2+x2)dy+(x2+y2)dz.
从形式上看，两者并无联系，但却有相同的外微分.
下面给出一个二元外微分的上阶外微分求法举例.
例5求二维平面的2阶外微分xydx∧dy的所有上阶外微分.
解取(x0,y0)=(0,0)，由推论2得xydx∧dy的所有上阶外微分为
其中A=A(x,y)为具有一阶偏导数的任意函数，c(y)为具有一阶导数的任意函数.
利用上阶外微分的概念以及上述有关结论，可以帮助解决引言中提到的广义斯托克斯公式的逆向思维问题.
下面是广义斯托克斯公式的逆向思维问题在格林公式、高斯公式、斯托克斯公式中的具体表现.
定理7(格林公式的逆向思维形式)设D是由平面上分段光滑的封闭曲线L所围成的平面闭区域，并且L取正向，如果函数f(x,y)在D上具有连续，(x0,y0)为D内给定一点，则
解得
解法二在定理7中取y0=0.由于
定理8(高斯公式的逆向思维形式)设空间区域Ω是由分片光滑的封闭曲面Σ所围成，并且Σ取外侧，如果函数f(x,y,z)在Ω上连续，(x0,y0,z0)为Ω内给定一点，则
其中B=B(x,y,z),C=C(x,y,z)为具有一阶连续偏导数的任意函数.
分析 本例中，由于Ω为球体x2+y2+z2≤1在平面x+z+y=0的上方部分，因此直接利用直角坐标的投影法、截面法和对称性方法，以及利用柱面坐标和球面坐标等方法都不易计算.下面介绍利用旋转变换方法和高斯公式的逆向思维方法计算此三重积分.
解法一利用旋转变换方法计算三重积分
利用三重积分的奇偶对称性，得
所以
最后利用球面坐标计算得
解法二利用高斯公式的逆向思维方法三重积分
记Σ为Ω的外侧边界曲面，由题意知，Σ是由球面x2+y2+z2=1在平面x+z+y=0上方部分Σ1和平面x+z+y=0含在球面x2+y2+z2=1内部部分Σ2两部分组成.在定理8中取x0=0,B=C=0，并记f(x,y,z)=(3x2+y2+z2-1)(2x+y+z)-2x3，则
由定理8得
以上解答中，解法一的解题过程有些繁琐，解法二的计算量相对少一点.虽说本例中三重积分的被积函数(3x2+y2+z2-1)(2x+y+z)-2x3有刻意构造因素，但解法二的解题思路还是具有一定的理论价值和应用价值.
定理9(斯托克斯公式的逆向思维形式)设Γ为空间光滑或分段光滑的有向封闭曲线，Σ是以Γ为边界曲线张成的光滑或分片光滑的有向曲面，Γ的方向和Σ的侧符合右手法则，如果函数P=P(x,y,z)，Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在包含Σ的空间区域Ω内具有一阶连续偏导数，并且div{P,Q,R}=0，(x0,y0,z0)为Ω内给定一点，则
考虑到∮Γdφ(y,z)=0，定理8由定理4(ii)、定理5(ii)和定理6即可证得.
解法一补充Σ1为平面z=y含在球面x2+y2+z2=1内部部分，取下侧.并记Σ与Σ1所围的空间区域为Ω，Σ1在xOy平面上的投影区域为D:x2+2y2≤1.利用高斯公式得
所以
由z=y得z′x=0,z′y=1，因此利用曲面积分的三合一投影法，得
解法二记Σ的边界曲线为Γ，且Σ与Γ成右手法则.由于
div{x,2z-1,-(y+z)}=1+0-1=0，
在定理9中取y0=z0=0，所以
以上解法一和解法二都得力于div{x,2z-1,-(y+z)}=0.解法一的本质为曲面积分与路径无关的问题；
解法二采用的是斯托克斯公式的逆向思维.
为Pdx+Qdy+Rdz的一个原函数.因此说上阶外微分是原函数的进一步引伸.
注2 本文的定理4和定理5结论的形式不唯一，从而也导致定理7、定理8和定理9中结论的表现形式也不唯一.如定理4(i)中，当rot{P,Q,R}=0时，
因此定理8的结论也可换作
限于篇幅，此处不再一一赘述，请感兴趣的同仁们不妨自行演算一下.
逆向思维是数学教学和数学研究中的一种常用数学思想和数学方法，是为了实现某一创新理念或解决某一正向思维难以解决的问题，而采取“反其道而行之”的思维途径，对问题的相反面进行深入地探索，因此，逆向思维是摆脱正向思维羁绊的一种具有创造性的思维方式.例如，利用导数的定义或定积分的定义求极限，利用二重积分计算定积分，利用全微分求偏导数等等，都体现了逆向思维的数学思想.
本文中涉及到的格林公式、高斯公式和斯托克斯公式是数学分析或高等数学课程中的重要理论.通常情况下，通过格林公式将曲线积分转化为二重积分进行计算，通过高斯公式将曲面积分转化为三重积分进行计算，通过斯托克斯公式将曲线积分转化为曲面积分进行计算.这里通过引入上阶外微分的概念，采用逆向思维，建立广义斯托克斯公式的逆向思维形式，利用曲线积分计算二重积分，利用曲面积分计算三重积分，利用曲线积分计算曲面积分，探索多元函数积分之间的内在联系，丰富多元函数积分计算的理论和方法.
致谢感谢在本文的写作过程中给予支持和帮助的各位同仁和朋友.感谢审稿人提出的宝贵意见.
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